Laplace Experiment

Wie wir gesehen haben, ist es nicht ganz einfach, die genaue Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei einem Zufallsexperiment zu ermitteln. Es erfordert viele Wiederholungen der Zufallsexperiments. Für einen gewissen Typ von Zufallsexperimenten können wir die Ergebniswahrscheinlichkeiten aber auch berechnen, ohne den Weg über die vielen Wiederholungen gehen zu müssen. Wir diskutieren nun diesen Typ.

Definition 1

Ein Zufallsexperiment wird Laplace Experiment genannt, falls alle möglichen Ergebnisse des Experiments die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzt, einzutreffen. Daher, hat das Experiment $m$ mögliche Ergebnisse, und bezweichen wir sie mit $o_1, ..., o_m$ , so gilt

p(o_1)=...=p(o_m)

Dies ist natürlich eine sehr restriktive Annahme und trifft auf die meisten Experimente nicht zu. Dennoch ist dies für einige populäre Experimente eine recht vernünftige Annahme, wie zum Beispiel

Eine faire Münze. Das Wort fair impliziert, dass es keine Bevorzugung einer Seite gibt, daher, dass bei vielen Wiederholungen jede Seite gleich oft vorkommt, daher $p(H)=p(K)$ .
Ein fairer Würfel. Auch hier wird impliziert, dass jede Seite des Würfels gleich häufig vorkommt, daher $p(1)=p(2)=...=p(6)$ .
Die zufällige Auswahl einer Kugel aus einem mit Kugeln gefüllten Korb. Damit dies ein Laplace Experiment ist, müssen wir sagen, dass jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden. Falls also $m$ Kugeln im liegen, haben wir $p(1)=p(2)=...=p(m)$ . Das könnte zum Beispiel der Fall sein, wenn alle Kugeln die gleiche Grösse haben und die Auswahl blind erfolgt.

Hier folgt nun die Berechnung der Wahrscheinlichkeit,

Theorem 1

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis in einem Laplace Experiment mit $m$ möglichen Ergebnissen ist gegeben durch

p=\frac{1}{m}

Die Wahrscheinlikeit für ein Ereignis mit $r$ Ergebnissen ist

p=\frac{r}{m}=\frac{\text{Anzahl gewünschte Ergebnisse}}{\text{Anzal mögliche Ergebnisse}}

wobei hier die Anzahl der gewünschten Ergebnisse die Anzahl der Ergebnisse im Ereignis sind.

Proof

Es seien $o_1,...,o_m$ die möglichen Ergebnisse des Zufallsexperiment. Da es ein Laplace experiment ist, haben alle Ergebeniise die gleiche Wahrscheinlichkeit $p$ einzutreten:

p=p(o_1)=...=p(o_m)

Da immer gilt

p(o_1)+p(o_2)+...+p(o_m)=1

folgt somit $m\cdot p=1$ , und somit $p=\frac{1}{m}$ .

Es sei nun $E=\{o_1,...,o_r}\}$ das Ereignis mit den $r$ Ergebnissen. Es ist dann (siehe Kapitel vorher)

\begin{array}{lll} p(E)&=&p(o_1)+...+p(o_r)\\ &=&\frac{1}{n}+...+\frac{}{n}\\[0.5em] &=&r \cdot \frac{1}{n}\\[0.5em] &=&=\frac{r}{n} \end{array}

Example 1

Ein fairer Würfel wird geworfen. Dies ist ein Laplace experiment und die Anzahl mögliche Erebnisse ist $m=6$ . Die Wahrscheinlichkeit für

eine $4$ ist somit $p(4)=\frac{1}{6}$ .
eine gerade Zahl ist $p=\frac{3}{6}=0.5$ , da die Anzahl gewünschten Ergebnisse $r=3$ ist ( $E=\{2,4,6\}$ ).
eine Zahl grösser $2$ ist $p=\frac{4}{6}=0.\overline{6}$ , da die Anzahl gewünschten Ergebnisse $r=4$ ist ( $E=\{3,4,5,6\}$ ).

Exercise 1

Begründe, ob es sich bei den folgenden Zufallsexperimenten um Laplace Experimente handelt. Berechne die angegebene Wahrscheinlichkeit.

Du wählst zufällig einen Buchstaben aus dem Wort "MARKE" aus, p("A")=?
Du wählst zufällig einen Buchstaben aus dem Wort "HALLO", p("L")=?

Solution

Ja, denn zufällige Auswahl bedeutet, dass jede Position langfristig mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt wird. Also wird jeder Buchstabe mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt. Also $S=\{M,A, R, K, E\}$ und $p=1/5$ .
Nein. Obwohl jede Position langfristig mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt wird, wird $L$ häufiger ausgewählt als die anderen Buchstaben (da es zwei $L$ in dem Wort gibt). Unterscheiden wir die beiden $L$ künstlich ( $L_1$ und $L_2$ ), dann ist die Wahrscheinlichkeit, ein $L$ zu ziehen, gegeben durch $p(L_1)+p(L_2)=0.2+0.2=0.4$ .

Exercise 2

Eine gezinkte Münze mit $p(K)=0.7$ wird zweimal geworfen. Ist dies ein Laplace Experiment? Argumentiere.

Solution

Nein, wenn das Experiment viele Male wiederholt wird, ist der Prozentsatz der beobachteten $KK$ viel höher als der Prozentsatz der Beobachtung von $ZZ$ (da $H$ viel öfter vorkommt als $Z$ ). Also haben nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreten, es handelt sich also nicht um ein Laplace Experiment.