Volumen von Köpern

Wir unterteilen die Körper (drei dimensionale geometrische Objekte) in solche, welche oben gegen einen Spitz zulaufen (das sind Pyramide, schiefe Pyramide, Kegel, schiefer Kegel) und solche, die "open" und "unten" die gleiche parallele Fläche besitzen (also Würfel, Quader, Parallelpiped, Zylinder, schiefer Zylinder, Prisma, schiefes Prisma). Ebenfalls haben wir die Kugel.

Theorem 1

Bei den unten abgebildeten Körpern sind die Flächen oben und unten immer gleich. Das Volumen ist immer

V=Ah\boxed{V=A h}

wobei AA der Inhalt der Grundfläche ist und hh die Höhe.

Falls die obere Fläche durch eine Spitze ersetzt wird, erhalten wir die Pyramide und den Kegel. Das Volumen ist

V=13Ah\boxed{V=\frac{1}{3} A h}

wobei AA der Inhalt der Grundfläche ist, und hh die Höhe.

Die Kugel hat ein Volumen von

V=43r3π\boxed{V=\frac{4}{3} r^3\pi}

wobei rr der Radius der Kugel ist.

Exercise 1

  1. Skizziere die Körper auf einem Blatt Papier.

  2. Wie gross muss das Volumen eines Würfels mindestens sein, damit eine Kugel vom Radius rr hineinpasst?

Solution
  • ...
  • Die Seitenlänge des Würfels muss 2r2r sein, also ein Volumen von
    • V=(2r)3=8r3V=(2r)^3=8r^3

    Wir wollen nun ein paar Argumente für diese Volumenformeln geben. Betrachten wir zuerst das Volumen einer Pyramide, und zeigen, dass zumindest für eine ganz spezielle Pyramide die Volumenformel gilt.

    Exercise 2

    Gegeben sei eine Pyramide mit einem Quadrat der Seitenlänge aa als Grundfläche (sechs dieser Pyramiden sind unten abgebildet), und mit der Höhe h=a2h=\frac{a}{2}. Beweise mit Hilfe der Skizze unten, dass diese Pyramide das Volumnen

    V=13AhV=\frac{1}{3} A h

    besitzt.

    Solution

    Mit sechs dieser Pyramiden lässt sich ein Würfel mit Seitenlänge aa bilden. Das Volumen des Würfels ist somit a3a^3. Wenn sechs dieser Pyramiden das Volumen a3a^3. Eine Pyramide besitzt somit das Volumen

    Vpyr=a36V_{pyr} = \frac{a^3}{6}

    Dies ist aber gerade ide Volumenformel, denn mit A=a2A=a^2 Grundfläche der Pyramide, und h=a2h=\frac{a}{2} (Höhe der Pyramide) gilt ja

    Vpyr=a36=a2⋅a3⋅2=a23a2=13a2a2=13AhV_{pyr} = \frac{a^3}{6}=\frac{a^2\cdot a}{3\cdot 2}=\frac{a^2}{3}\frac{a}{2}=\frac{1}{3}a^2\frac{a}{2}=\frac{1}{3}Ah

    In der Volumenbestimmung ist das Prinzip von Cavalieri von grosser Wichtigkeit. Es ist recht intuitiv und besagt das folgende: können wir zwei Körper in eine Stapel Zettel so zerlegen, dass die Zettel gleicher Höhe die gleiche Fläche besitzen, so habe die Körper das gleiche Volumen. (siehe Bild unten).

    Wohl gemerkt, die Zettel gleicher Höhe müssen nicht die gleiche Form besitzen, nur den gleichen Flächeninhalt! Dies ist zum Beispiel im Bild unten der Fall. Die beiden Körper auf jeder Höhe den gleichen Querschnitt, und haben somit das gleiche Volumen.

    Exercise 3

    Argumentiere:

    1. Quader und Parallelpiped mit gleicher Grundflächen und Höhe haben das gleiche Volumen.

    2. Prisma und schiefes Prisma mit gleicher Grundfläche und Höhe haben das gleiche Volumen.

    3. Zylinder und schiefer Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe haben das gleiche Volumen.

    4. Pyramide und schiefe Pyamide mit gleicher Grundfläche und Höhe haben das gleiche Volumen.

    5. Kegel und schiefer Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe haben das gleiche Volumen.

    Solution

    Es kann immer das Prinzip von Cavalieri angewendet werden. Die schiefen Versionen haben auf jeder Höhe die gleichen Zettel, und somit den gleichen Flächeninhalt, wie die geraden Versionen.

    Exercise 4

    Beweise mit Hilfe der Skizze unten und mit Hilfe der Formel für das Kegelvolumen, dass das Kugelvolumen gegeben ist durch

    V=43r3πV=\frac{4}{3}r^3\pi
    Solution

    Im Zylinder mit radius rr und Höhe h=rh=r werde ein Zylinder herausgeschnitten (siehe Bild rechts). Auf jeder Höhe xx besitzt der resultierende Körper einen Zelltel in Ringform (siehe Bild 3 von links). Der Ring hat einen äusseren Radius von rr und einen inneren Radius von xx (siehe wiederum Bild 3). Die Fläche des Ringes ist also

    r2π−x2πr^2\pi - x^2\pi

    Der Zettel der Halbkugel mit Radius rr auf Höhe xx ist ein Kreis mitRadius rx=r2−x2r_x=\sqrt{r^2-x^2} (Pythogaros, siehe Bild rechts), und hat somit einen Flächeninhalt von

    rx2π=(r2−x2)π=r2π−x2πr_x^2\pi = (r^2-x^2)\pi = r^2\pi - x^2\pi

    Die Zettel haben also auf jeder Höhe xx die gleiche Fläche, und somit haben die beiden Körper das gleiche Volumen:

    VHalbkugel=VZylinder−VKegel=r2π⋅r−13r2π⋅r=23r3πV_{Halbkugel} = V_{Zylinder}-V_{Kegel} = r^2\pi\cdot r - \frac{1}{3}r^2\pi \cdot r = \frac{2}{3}r^3\pi

    Die ganze Kugel hat somit das Volumen

    VKugel=2⋅23r3π=43r3πV_{Kugel} = 2\cdot \frac{2}{3}r^3\pi = \frac{4}{3}r^3\pi
    Exercise 5

    1. Eine Regentonne ist 1.5m1.5 m hoch und hat ebenfalls einen Durchmesser von 1.5m1.5 m. Wie viele Liter Wasser passen in die Tonne? Tipp: 11 Liter Wasser hat das Volumen von 1dm31dm^3.

    2. Ein Raum ist 5m5 m lang, 4.5m4.5 m breit und 2.7m2.7 m hoch. Wie viel cm3cm^3 Luft befindet sich in diesem Raum?

    3. Ein kleiner Planet soll als Kugel angesehen werden. Der Umfang beträgt ca. 6283km6283 km. Welches Volumen hat der Planet?

    4. Ein Würfel hat eine Kantenlänge von 1m1 m. Wie hoch ist ein Kegel mit dem gleichen Volumen, wenn der Kreis der Grundfläche des Kegels einen Durchmesser von 70cm70 cm hat.

    Solution
  • Wandle vor der Rechnung zuerst alles in dmdm. Anzahl Liter: 2650.7‾\underline{2650.7} Liter
  • Wandle vor der Rechnung zuerst alles in cmcm um. V=60 750 000cm3‾V=\underline{60\,750\,000 cm^3}
  • Der Umfang ist U=2rπU=2r\pi, und somit folgt r=1000kmr=1000km. Das Volumen ist somit V=4 188 790 204km3‾V=\underline{4\,188\,790\,204 km^3}
  • Wandle vor der Rechnung zuerst alles in mm um. Die Höhe ist h=7.80m‾h=\underline{7.80 m}.