Geometrische planare Grundformen

Schreibe in jede geoemtrische Grundform

1. den Namen
2. eine kurze, prägnante Beschreibung
3. die dazugehörige Flächenformel
4. die dazugehörige Umfangsformel

Seiten- und Höhenbezeichnungen müssen ebenfalls eingetragen werden, so dass klar wird, wie die Formeln angewendet werden können.

Namen:

• Trapez
• Quadrat
• Parallelogramm
• allgemeines Dreieck
• Kreis
• Rechteck
• Kreissegment
• Rhombus
• gleichschenkliges Dreieck
• gleichseitiges Dreieck

Flächenformeln:

• $A=a^2$
• $A=\frac{a+b}{2}\cdot h$
• $A=r^2\pi$
• $A=a\cdot h$
• $A=a\cdot b$
• $A=r^2\pi\cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$
• $A=\frac{ah}{2}$

Umfangsformeln:

• $U=2a+2b$
• $U=a+2b$
• $U=2r\pi$
• $U=a+b+c+d$
• $U=4a$
• $U=2r\pi\cdot \frac{\alpha}{360^\circ}$
• $U=3a$
• $U=a+b+c$

Solution

Q1

Überlege, wie die Flächenformel für das allgemeine Dreieck und für das Parallelogramm aus der Flächenformel für das Rechteck erhalten werden kann.

Q2

Bestimme den Flächeninhalt und Umfang eines Kreissektors mit Radius $5 cm$ und Winkel $30^\circ$.

Q3

Bestimme die Flächeninhalte durch Zerlegung in Vierecke, Dreiecke und Kreise oder Kreisektoren. Alle Zahlen sind in $cm$.

Q4

Beweise die Trapez Flächenformel.

Q5

Zeige, dass die Flächenformel für ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge $s$ gegeben ist durch

Q6

Zeige, dass die Flächenformel für ein Parallelogramm mit Seiten $a$ und $b$ gegeben ist durch

wobei $\alpha$ der Winkel zwischen $a$ und $b$ ist.

Solution

Q1

Q2

Fläche: $A=r^2\pi\frac{\alpha}{360^\circ}=5^2 \pi \frac{30^\circ}{360^\circ}=6.54cm^2$

Umfang: $U=2r\pi \frac{30^\circ}{360^\circ}= 2\cdot 5 \cdot \pi \frac{30^\circ}{360^\circ}=2.62cm$

Q3

Achtung: In Aufgabe d) wird die Fläche 3 zweimal statt nur einmal addiert. Das Endresultat sollte $A=5060$ sein.

Q4

Aus der Figure unten sehen wir, dass die Trapezfläche gegeben ist durch

$$A=h\cdot (b+u+v)$$

Wegen $b+u+v=a-u-v \rightarrow 2u+2v=a-b \rightarrow u+v=\frac{a-b}{2}$

folgt somit, dass

$$\begin{array}{lll} A & = & h\cdot (b+\underbrace{u+v}_{\frac{a-b}{2}})\\ &=& h\cdot (b+\frac{a-b}{2})\\ &=& h\cdot (\frac{2b}{2}+\frac{a-b}{2})\\ &=& h\cdot (\frac{2b+a-b}{2})\\ &=& h\cdot (\frac{a+b}{2})\\ \end{array}$$

Beachte, dass $\frac{a+b}{2}$ gerade der Durschnitt ist der beiden Seitenlängen $a$ und $b$.

Q5

Mache eine Skizze! Es ist

$$A=\frac{1}{2}s h$$

Und mit Pythagoras können wir $h$ mit Hilfe von $s$ ausdrücken:

$$h=\sqrt{s^2-\left(\frac{s}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{4s^2}{4}-\frac{s^2}{4}}=\sqrt{\frac{3s^2}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}s$$

Es folgt also

$$A=\frac{1}{2}s h = \frac{1}{2}s\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}s = \frac{\sqrt{3}}{4}s^2$$

Q6

Es ist ja $A=ah$, wobei $h$ die Höhe des Parallelogramms ist. Wir können aber $h$ auch mit Hilfe von $b$ ausdrücken:

$$\sin(\alpha)=\frac{h}{b} \rightarrow h=b\cdot \sin(\alpha)$$

Also ist

$$A=ah=ab\sin(\alpha)$$