Mengenoperationen

Betrachten wir zwei Mengen $A$ und $B$ . Mit den folgenden Operationen können wir Mengen umwandelen in andere Mengen, oder auch nur eine Zahl.

Definition 1

Die Anzahl der verschiedenen Elemente in einer Menge $A$ heisst Kardinalität von $A$ und wird mit

Equation 1

\vert A \vert

Kardinalität der Menge $A$ .

bezeichnet.

Warning

Da eine Menge nur verschiedene Elemente enthält, auch wenn sie mehrfach aufgelistet sind, ist $|\{1,2,2,2,2\}|=2$

Exercise 1

Finde die Kardinalität der folgenden Mengen.

$A=\{1,4,6\}$
$B=\{1,1,1,4,4,6,6,6,6\}$
$\{2,4,6,8,...,20\}$
$\{2,4,6,8,...\}$ (alle geraden Zahlen)

Solution

|A|=3

|B|=3

(da die Kardinalität die minimale Anzahl an Elementen in der Menge ist, und wir können schreiben

B=\{1,4,6\}

|\{2,4,6,8,...,20\}|=10

|\{2,4,6,8,...\}|=\infty

(unendlich)

Definition 2

Die Schnittmenge von $A$ und $B$ , geschrieben

Equation 2

A\cap B

Die Schnittmenge, oder logisches Und.

ist definiert als die Menge aller Elemente, die in $A$ und in $B$ sind. Somit enthält $A \cap B$ die gemeinsamen Elemente von $A$ und $B$ . Im Venn-Diagramm ist dies der Teil, in dem sich $A$ und $B$ überschneiden (unten, links):

$A$ und $B$ heissen disjunkt, wenn $A$ und $B$ sich nicht schneiden und somit keine Elemente gemeinsam haben, d.h. wenn

Equation 3

A\cap B=\{\}

Disjunkte Mengen

Im Venn-Diagramm überschneiden sich $A$ und $B$ nicht (oben, rechts).

Example 1

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $B=\{3,4,5,6\}$ ist $A\cap B=\{4,6\}$ .
Für $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{4,5\}$ ist $A\cap B=\{\}$ (disjunkt)

Warning

Im Fall von drei Mengen $A, B$ und $C$ muss das Venn-Diagramm so gezeichnet werden, dass sich alle Kreis überschneiden, so dass alle möglichen Schnittmengen präsent sind (siehe unten). Das Zeichnen von Venn-Diagrammen mit mehr als drei Mengen wird unpraktisch.

Definition 3

Die Vereinigungsmenge von $A$ und $B$ , geschrieben

Equation 4

A\cup B

Die Vereinigungsmenge, mit dem inklusiven Oder.

ist definiert als die Menge aller Elemente, die in $A$ oder in $B$ sind. Hier meinen wir das inklusives ODER, daher $A \cup B$ enthält alle Elemente die in $A$ , in $B$ , wie auch in beiden Mengen sind (sie werden zusammengeführt). Im Venn-Diagramm ist dies die gesamte Fläche von $A$ und $B$ (unten, links):

Das Venn-Diagramm oben rechts zeigt die Mengenoperation

Equation 5

A\Delta B

Exklusives Oder.

welches dem exklusiven ODER entspricht. Es enthält alle Element, die entweder in $A$ oder in $B$ sind, aber nicht in beiden.

Example 2

Gegeben sind die Mengen $A=\{2,3,4,5\}$ und $B=\{4,5,6,7,8\}$ .

$A\cup B=\{2,3,4,5,6,7,8\}$ (alle Elemente aus $A$ , $B$ )
$A\Delta B=\{2,3,6,7,8\}$ (die Schnittmenge $A\cap B=\{4,5\}$ ist nicht enthalten)

Definition 4

Die Differenzmenge A ohne B, geschrieben

Equation 6

A \setminus B\; (\text{oder} A-B)

Die Differenzmenge A ohne B.

ist definiert als die Menge aller Elemente in $A$ , die nicht in $B$ sind. Im Venn-Diagramm (unten, links) ist dies der Teil von $A$ ohne $B$ :

Example 3

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $B=\{3,4,5,6\}$ ist $A\setminus B=\{2,8\}$ (wir nehmen alle Elemente von $B$ aus $A$ heraus).

Definition 5

Die Komplementärmenge von $A$ , geschrieben

Equation 7

A^c \text{ oder } \overline{A}, A^{\prime}

Komplementärmenge.

ist die Menge aller Elemente in der Universalmenge von $U$ , die NICHT in $A$ liegen. Wir können also schreiben

Equation 8

A^c=U\setminus A

Komplementärmenge geschrieben also Differenzenmenge.

Das Venn-Diagramm ist unten dargestellt.

Example 4

Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ gilt $A^c=\{1,3,5,7,9,10\}$ .
Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{2,4,6,8,9\}$ gilt $A^c=\{9\}$ .
Für $A=\{2,4,6,8\}$ und $U=\{2,4,6,8\}$ gilt $A^c=\{\}$ .

Warning

Aus dem obigen Beispiel geht hervor, dass das Komplement von $A$ stark von der Universalmenge $U$ abhängig ist. Ohne diese Menge zu kennen, können wir das Komplement nicht bilden.

Definition 6

Die Potenzmenge einer Menge $A$ , geschrieben als

Equation 9

P(A)

Potenzmenge

ist die Menge aller Teilmengen von $A$ .

Example 5

Gegeben sei die Menge $A=\{1,2\}$ . Die Teilmengen von $A$ sind

\{\},\{1\},\{2\},\{1,2\}

Wir haben also

P(A)=\{ \{\},\{1\},\{2\},\{1,2\} \}