Aussagen - richtig oder falsch

Definition 1

Zwei Mengen AA und BB heissen gleich, falls sie die gleichen Elemente besitzen. Die Notation ist

Equation 1
A=B  (gleich)A≠B  (ungleich)A=B\;\text{(gleich)}\qquad A\neq B\; (\text{ungleich})

Gleichheit und Ungleichheit von Mengen

Exercise 1

Gilt die Aussage A=BA=B?

  1. A={1,4,5,4},B={5,4,2}A=\{1,4,5,4\}, B=\{5,4,2\}

  2. A={rot,−2,gross,Haus},B={Haus,gross,−2,−2,−2}A=\{\text{rot},-2,\text{gross}, \text{Haus}\}, B=\{\text{Haus}, \text{gross}, -2, -2, -2\}

  3. A={1,4,5,4},B={1,1,4,5,5,5}A=\{1,4,5,4\}, B=\{1,1,4,5,5,5\}

Solution
  1. nein
  2. nein
  3. ja
Definition 2

Gegeben sei eine Menge AA, die in der Universalmenge UU eingebettet ist, und ein Element uu, das in UU ist. Nun, uu ist in AA oder ist nicht in AA. Notation:

Equation 2
u∈A  (ist in A)u∉A  (ist nicht in A)u \in A\;\text{(ist in $A$)}\qquad u \not\in A\;\text{(ist nicht in $A$)}

Ist element von

Wir sagen: uu ist ein Element von AA oder uu ist kein Element von AA.

Exercise 2

Welche dieser Aussagen sind richtig? Nehmen wir an, dass die Universalmenge

U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}

ist (dies ist hier aber nicht wirklich wichtig).

  1. 1∈{2,3,4}1\in \{2,3,4\}

  2. 3∈{4,3,3,2,1}3\in \{4,3,3,2,1\}

  3. {3}∈{1,2,3,4,5}\{3\} \in \{1,2,3,4,5\}

Solution
  1. nein
  2. ja
  3. nein, da {3}\{3\} da nicht in {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} ist. Das Element {3}\{3\} wäre in {1,2,{3},4,5}\{1,2,\{3\},4,5\}.
Definition 3

Betrachte zwei Mengen AA und BB. Wir sagen, dass AA eine Teilmenge von BB ist, wenn jedes Element von AA auch in BB enthalten ist. Notation

Equation 3
A⊂B  (ist Teilmenge)A⊄B  (ist keine Teilmenge)A \subset B\;\text{(ist Teilmenge)}\qquad A\not\subset B\;\text{(ist keine Teilmenge)}

Ist und ist keine Teilmenge

Exercise 3
  1. Für A={1,2,5}A=\{1,2,5\} und B={1,2,3,4,5}B=\{1,2,3,4,5\} gilt die Aussage A⊂BA\subset B?
  2. Für A={1,2,2,5,1,5}A=\{1,2,2,5,1,5\} und B={1,2,3,4,5}B=\{1,2,3,4,5\} gilt die Aussage A⊂BA\subset B?
  3. Für A={1,2,5}A=\{1,2,5\} und B={1,2,6}B=\{1,2,6\} gilt die Aussage A⊄BA\not\subset B?
Solution
  • ja
  • ja
  • ja
    • Theorem 1

    Die folgenden Aussagen sind immer richtig:

    1. A⊂AA \subset A
    2. {}⊂A\{\} \subset A (es gibt nichts zu prüfen, also ist die Aussage "jedes Element von {}\{\} ist in AA" nicht falsch, also richtig).
    3. falls A⊂BA\subset B und B⊂AB\subset A (AA enthält BB und BB enthält AA), dann müssen die beiden Mengen die gleichen Elemente haben und sind daher gleich, d.h. es muss gelten A=BA=B.
    Exercise 4
    1. Welche Paare von Mengen sind Teilmengen voneinander?
      1. A={2}A=\{2\}
      2. BB="alle geraden Zahlen"
      3. CC="alle Primzahlen"
      4. DD="alle ungeraden Zahlen"
    2. Welche Aussagen sind richtig?
      1. 3∈{1,2,3}3 \in \{1,2,3\}
      2. {3}∈{1,2,3}\{3\} \in \{1,2,3\}
      3. {3}⊂{1,2,3}\{3\} \subset \{1,2,3\}
    Solution
    1. A⊂B,A⊂CA\subset B, A\subset C
    2. Es ist
      1. ja
      2. nein
      3. ja