Juliamengen

Seit man Juliamengen auf dem Computer berechnen kann, sind Postkarten und Poster mit den farbig schillernden Gebilden sehr beliebt.

Wir beginnen mit einem einfachen Rezept, das man beispielsweise programmieren kann. Es lautet folgendermassen:

Nimm eine komplexe Zahl. (Diese Zahl nennen wir den Startwert.) $z_0=c$
Quadriere diese Zahl und subtrahiere $1$ von der quadrierten Zahl. $z_1 = c^2-1$
Nimm die so entstandene neue Zahl und wiederhole die Schritte $2.$ und $3.$ bis in alle Unendlichkeit ... $z_{k+1}=z_k^2-1,\quad z_0=c$

Wenn man dieses Rezept wirklich programmieren wollte, müsste natürlich noch eine Abbruchbedingung eingebaut werden.

Example 1

Als Startwert nehmen wir die Zahl $2$ . Wir schreiben $z_0 = 2$ . Damit drücken wir aus, dass $2$ der Startwert unserer Zahlenfolge ist. Nach dem Rezept sollen wir $2$ nun quadrieren und anschliessend $1$ abziehen. Dadurch erhalten wir $2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$ . Diesen neuen Wert nennen wir $z_1$ . Es ist also $z_1 = 3$ . Gemäss dem Rezept sollen wir nun wieder den zweiten und dritten Schritt ausführen, diesmal mit der Zahl $3$ statt $2$ . Wir erhalten $3^2 -1 = 9-1 = 8$ . Diese Zahl nennen wir $z_2$ . Es ist also $z_2 = 8$ . Wir können nun immer weiter fortfahren und erhalten neue Zahlen $z_3, z_4, z_5$ , usw. Insgesamt erhalten wir eine Zahlenfolge $z_0, z_1, z_2, z_3, z_4, z_5,\dots$ .

Exercise 1

Berechne mit dem TR die Folgeglieder $z_3$ bis $z_6$ .

Solution

Aus $z_2=8$ folgt: $z_3 = 8^2 - 1 = 63$ $z_4 = 63^2 - 1 = 3968$ $z_5 = 3968^2 - 1 = 1572863$ $z_6 = 1572863^2 - 1 = 2479999992066$

Wir können die Zahlenfolge, die auf diese Weise entsteht, durch eine Rechenvorschrift angeben:

z_0 = 2,\quad z_{k+1} = z_k^2-1\quad\forall n\geq0

Wie wir gesehen haben, werden bei der Folge oben die Folgeglieder immer grösser. Ist das immer so? Was passiert, wenn wir statt $2$ einen anderen Startwert $z_0$ wählen?

Exercise 2: Verschiedene Startwerte

Berechne für folgende Startwerte $z_1$ bis $z_4$ .

a) $z_0=0$

b) $z_0=1+\mathrm{i}$

c) $z_0=\frac{1}{2}$

Berechne auch die Folge der Beträge.

Solution

a) $z_0=0$ : $z_1 = 0^2 - 1 = -1$ , $|z_1|=1$ $z_2 = (-1)^2 - 1 = 0$ , $|z_2|=0$ $z_3 = 0^2 - 1 = -1$ , $|z_3|=1$ $z_4 = (-1)^2 - 1 = 0$ , $|z_4|=0$ Die Werte wechseln periodisch zwischen $0$ und $-1$ (Beträge zwischen $0$ und $1$ ).

b) $z_0 = 1+\mathrm{i}$ : $z_1 = (1+\mathrm{i})^2 - 1 = (1+2\mathrm{i}-1) - 1 = 2\mathrm{i} - 1$ , $|z_1| = \sqrt{(-1)^2+2^2}=\sqrt{5}$ $z_2 = (-1+2\mathrm{i})^2 - 1 = (1 - 4 - 4\mathrm{i}) - 1 = -4\mathrm{i} - 4$ , $|z_2| = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{32}$ $z_3 = (-4-4\mathrm{i})^2 - 1 = (16 + 32\mathrm{i} - 16) - 1 = 32\mathrm{i} - 1$ , $|z_3| = \sqrt{(-1)^2 + 32^2} = \sqrt{1025}$ Die Beträge steigen stark an.

c) $z_0 = \frac12$ : $z_1 = \left(\frac12\right)^2 - 1 = \frac14 - 1 = -\frac34$ , Betrag $\frac34$ $z_2 = \left(-\frac34\right)^2 - 1 = \frac{9}{16} - 1 = -\frac{7}{16}$ , Betrag $\frac{7}{16}$ $z_3 = \left(-\frac{7}{16}\right)^2 - 1 = \frac{49}{256} - 1 = -\frac{207}{256}$ , Betrag $\frac{207}{256}$ $z_4 = \left(-\frac{207}{256}\right)^2 - 1 = \frac{42849}{65536} - 1 = -\frac{22687}{65536}$ , Betrag $<1$ Die Beträge bleiben kleiner als $1$ .

Wenn man weitere Startwerte wählt, stellt man fest, dass neue Folgen entstehen. Manche pendeln zwischen einigen wenigen Werten hin und her, manche werden betragsmässig immer grösser, und bei manchen scheinen die Beträge der Zahlen einen bestimmten Wert nie zu überschreiten, selbst wenn sie nicht nur zwischen zwei Werten hin und her schwanken.

Wir benutzen nun unsere Zahlenfolgen, um die Punkte der Gauss'schen Zahlenebene auf eine bestimmte Art und Weise zu färben. Dabei gehen wir nach folgendem Schema vor:

Wir nehmen eine komplexe Zahl $z_0$ in der Gauss'schen Zahlenebene.
Diese Zahl nehmen wir als Startwert für eine Folge von Zahlen, die nach dem oben beschriebenen Rezept berechnet wird.
Jetzt färben wir den Punkt $z_0$ in der Gauss'schen Zahlenebene entweder schwarz oder weiss. Und zwar entscheiden wir nach folgendem Kriterium:
- Wachsen die Beträge der (theoretisch unendlich vielen) Zahlen in der Folge über alle Grenzen, so färben wir den Punkt schwarz.
- Andernfalls färben wir den Punkt weiss.

Nach und nach führen wir dies mit allen Punkten der Gauss'schen Zahlenebene durch. Wir erhalten so ein schwarz-weisses Muster. Alle weissen Punkte in der Ebene zusammen sind eine Juliamenge! Und so sieht sie aus:

Weitere Juliamengen

Es gibt nicht nur eine Juliamenge, sondern unendlich viele verschiedene. Sehen wir uns doch noch einmal die Rechenvorschrift an, die zu unserer Juliamenge gehört. Zu einem Startpunkt $z_0$ haben wir die Folgenglieder der zugehörigen Folge berechnet durch

z_{k+1} = z_k^2-1 \quad \forall n \geq 0

Wir haben vom Quadrat eines Folgenglieds immer $1$ abgezogen. Oder anders ausgedrückt: $-1$ dazu addiert. Jetzt wollen wir die Rechenvorschrift ein wenig abändern: Wir addieren nicht mehr $-1$ dazu, sondern $\frac{1}{2}\mathrm{i}$ . Wir berechnen dann zu einem Startpunkt $z_0$ die Folgenglieder der zugehörigen Folge durch die Vorschrift

z_{k+1} = z_k^2+\frac{1}{2}\mathrm{i} \quad \forall n \geq 0

Danach gehen wir ganz genauso vor wie im ersten Beispiel: Wir färben einen Punkt der Ebene schwarz, wenn die Beträge der zugehörigen Folgenglieder über alle Grenzen anwachsen, und andernfalls weiss. Dadurch erhalten wir wieder eine Juliamenge. Sie sieht so aus:

Note 1

Dieses Bild wurde mit Mathematica erzeugt:

    Julia[zo_] := Module[{z = zo, i = 0},
      While[i < 100 && Abs[z] < 2,
        z = z^2 + c; i++]; i]; c = 0.5*I;
      DensityPlot[Sqrt[Julia[x + I y]],
        {x, -1.5, 1.5}, {y, -1.5, 1.5},
        PlotPoints -> 275, Mesh -> False,
        Frame -> False, ColorFunction -> Hue]

Auf diese Weise können wir unendlich viele Juliamengen erzeugen. Die allgemeine Formulierung der Rechenvorschrift, mit der wir zu einem Startpunkt $z_0$ die Folgenglieder der zugehörigen Folge berechnen, lautet

z_{k+1} = z_k^2+c, \quad \forall n \geq 0

wobei $c$ eine komplexe Zahl sein soll. Für jede komplexe Zahl $c$ erhalten wir eine Juliamenge.