Die logarithmische Spirale

In der Natur und im Alltag kommen eine Vielzahl von Spiralformen vor. Die Kerne von Sonnenblumen sind spiralförmig um den Mittelpunkt angeordnet, Schneckenhäuser wachsen spiralförmig, Luftschlangen sind als Spirale aufgewickelt.

Exercise 1: Potenzieren

Es sei

z=1+i.z=1+\mathrm{i}.

Berechne z2,z3,…,z8z^2,z^3,\dots,z^8 und zeichne die entstehenden Zahlen zusammen mit zz als Punkte in ein Koordinatensystem. Verbinde anschliessend die Punkte durch Strecken.

Solution

Wir schreiben zz in Polarform: z=2 eiπ/4z=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4}.

  • z1=2 eiπ/4=1+iz^1 = \sqrt{2} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/4} = 1+\mathrm{i}
  • z2=2 eiπ/2=2iz^2 = 2 \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2} = 2\mathrm{i}
  • z3=22 ei3π/4=−2+2iz^3 = 2\sqrt{2} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}3\pi/4} = -2+2\mathrm{i}
  • z4=4 eiπ=−4z^4 = 4 \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} = -4
  • z5=42 ei5π/4=−4−4iz^5 = 4\sqrt{2} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}5\pi/4} = -4-4\mathrm{i}
  • z6=8 ei3π/2=−8iz^6 = 8 \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}3\pi/2} = -8\mathrm{i}
  • z7=82 ei7π/4=8−8iz^7 = 8\sqrt{2} \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}7\pi/4} = 8-8\mathrm{i}
  • z8=16 ei2π=16z^8 = 16 \,\mathrm{e}^{\mathrm{i}2\pi} = 16

Diese Punkte liegen auf einer Spiralbahn, die bei Verbindung eine Art Polygonzug ergibt, der sich vom Ursprung wegschraubt.

Eine vollständige logarithmische Spirale erhält man, wenn man von den diskreten Exponenten 1,2,…,81, 2,\dots, 8 zu einem kontinuierlichen Exponenten t∈Rt \in \mathbb{R} übergeht. Statt z1,z2,…z^1,z^2,\dots betrachten wir ztz^t mit t∈Rt\in\mathbb{R}.

Example 1

Wir betrachten

1+i=2 eiπ41+\mathrm{i}=\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}

kontinuierlich. Es ist

(1+i)t=(2 eiπ4)t=2t2⋅eiπ4t=:w(t).(1+\mathrm{i})^t=\left(\sqrt{2}\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}\right)^t=2^\frac{t}{2}\cdot \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}t}=:w(t).

Zu jedem Wert tt kann die Zahl w(t)w(t) bestimmt werden und der zugehörige Punkt in der Gauss'schen Zahlenebene eingezeichnet werden. Alle diese Punkte bilden eine Spirale, eine sogenannte logarithmische Spirale

Auf den ersten Blick erscheint es sinnvoll, die folgende Vorschrift zu verwenden:

Wenn zz eine nicht reelle Zahl ist, dann betrachten wir die Kurve w(t)=zt,t∈Rw(t)=z^t,\quad t\in\mathbb{R}.

Exercise 2: Ausnahmen

Was passiert, wenn man z=iz = \mathrm{i} wählt? Welche anderen komplexen Zahlen verwendet man demnach auch nicht, um eine logarithmische Spirale zu erzeugen?

Solution

Für z=iz=\mathrm{i} gilt ∣z∣=1|z|=1. In Polarform: i=eiπ/2\mathrm{i} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi/2}, also

it=ei(π/2)t\mathrm{i}^t = \mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pi/2)t}

für reelles tt. Der Betrag ist immer 11, nur das Argument ändert sich linear mit tt. Die Punkte liegen somit auf einem Kreis um den Ursprung, keine Spiralform. Allgemein gilt: Hat zz den Betrag ∣z∣=1|z|=1, so beschreibt w(t)=ztw(t)=z^t ebenfalls nur einen Kreis. Solche Zahlen (auf dem Einheitskreis) eignen sich nicht für die Erzeugung einer logarithmischen Spirale.

Definition 1: Logarithmische Spirale

Es sei zz eine nicht reelle Zahl mit ∣z∣≠1|z| \neq 1. Die durch die Gleichung

w(t)=zt,t∈R,w(t) = z^t,\quad t\in\mathbb{R},

gegebene Kurve heisst logarithmische Spirale.