Zeitschritte verändern

Betrachte nochmals das Beispiel mit den Bäumen:

Anzahl Ba¨ume:500→⋅21000→⋅22000→⋅2...→⋅2yZeit:2010→+102020→+102030→+5...→+5x\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & 1000 &\xrightarrow[]{\cdot 2}& 2000 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & ... & \xrightarrow[]{\cdot 2} & y\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 &\xrightarrow[]{+10} & 2030 &\xrightarrow[]{+5} & ... &\xrightarrow[]{+5} & x\\ \end{array}

Für den Zeitschritt τ=10\tau=10 Jahre beträgt der Wachstumsfaktor u=2u=2. Wie hoch ist der Wachstumsfaktor uu für die Schrittweite τ=5\tau=5, d.h. um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Bäume alle 55 Jahre? Es ist klar, dass uu kleiner als 22 sein wird, aber wie lautet die genaue Zahl? Um das herauszufinden, zeichnen wir erneut das Diagramm, aber mit der Schrittweite τ=5\tau=5:

Anzahl Ba¨ume:500→⋅u?→⋅u1000Zeit:2010→+52015→+52020\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{\cdot u} & ? &\xrightarrow[]{\cdot u}& 1000\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+5} & 2015 &\xrightarrow[]{+5} & 2020\\ \end{array}

Es gilt:

500⋅u⋅u=1000500u2=2∣:500u2=2∣u=2\begin{array}{rll} 500\cdot u\cdot u &=& 1000\\ 500 u^2&=& 2\quad \vert :500\\ u^2 &=& 2\quad \vert \sqrt{}\\ u&=&\sqrt{2} \end{array}

Wir sehen also, dass wenn wir den Zeitschritt halbieren, wir den neue Wachstumsfaktor bekommen, in dem wir die Wurzel nehmen (oder hoch 1/21/2 rechnen). Und wenn wir den Zeitschritt verdoppeln, daher für τ=20\tau=20?

Anzahl Ba¨ume:500→⋅21000→⋅22000Zeit:2010→+102020→+102030\begin{array}{rr} \text{Anzahl Bäume}:& 500 & \xrightarrow[]{\cdot 2} & 1000 & \xrightarrow[]{\cdot 2} & 2000\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 & \xrightarrow[]{+10} & 2030\\ \end{array}

Und um von 20102010 auf 20302030 zu kommen, müssen wir uu quadrieren:

u=2⋅2=22=4u=2\cdot 2=2^2 = 4

Allgemein haben wir die folgende Regel:

Theorem 1: Änderung des Zeitschritts
Proof

Wir wollen das beweisen. Nehmen wir an, die Menge zum Zeitpunkt x0x_0 sei y0y_0. Für den Zeitschritt τ\tau ist der Wachstumsfaktor uu, wir haben also

f(x)=y0⋅u(x−x0)/τf(x)=y_0\cdot u^{(x-x_0)/\tau}

Wir gross ist der Wachstumsfaktor für den Zeitschritt aτa\tau? Wir können die Grösse yy zur Zeit x0+aτx_0+a\tau mit ff berechnen:

f(x0+τ)=y0⋅u(x0+aτ−x0)/τ=y0⋅ua\begin{array}{lll} f(x_0+\tau)&=&y_0\cdot u^{(x_0+a\tau-x_0)/\tau}\\ &=&y_0\cdot u^a\\ \end{array}

Wir sehen also, dass wir y0y_0 mit dem Faktor uau^a multiplizieren müssen, um von x0x_0 zu x0+aτx_0+a\tau zu gelangen. Der neue Wachstumsfaktor ist also uau^a.

Eine Grösse wachse exponentiell mit Wachstumsfaktor uu für den Zeitschritt τ\tau. Wird der Zeitschritt mit aa multipliziert (aa eine positive Zahl), so ist der neue Wachstumsfaktor gegeben durch uau^a:

aτ→uaa\tau \rightarrow u^a

Im obigen Beispiel hatten wir eine Schrittweite τ=10\tau=10 und der Wachstumsfaktor war u=2u=2. Wir haben dann gesehen, dass für die Schrittweite 55 (d.h. a=0.5a=0.5) der Wachstumsfaktor 20.5=22^{0.5}=\sqrt{2} ist, und für die Schrittweite 2020 (d.h. a=2a=2) haben wir gesehen, dass der Wachstumsfaktor 22=42^2=4 ist.

Exercise 1

Die Anzahl der Zellen in eine Petrischale beträgt 55, und die Zellen verdoppeln sich jede Viertelstunde. Bestimme den Wachstumsfaktor für

  1. jede Stunde

  2. alle 1010 Minuten

Solution

Wir messen die Zeit in Stunden. Der Wachstumsfaktor ist u=2u=2 für τ=14\tau=\frac{1}{4} Stunde.

  1. a=4a=4, also wird die Zellzahl jede Stunde mit 24=16‾2^4=\underline{16} multipliziert.
  2. 1010 Minuten sind 2/3 einer Viertelstunde, also a=23a=\frac{2}{3}. Die Anzahl Zellen multipliziert sich also alle 1010 Minuten mit dem Faktor 223=1.587‾2^\frac{2}{3}=\underline{1.587}.