Lineares and exponentielles Wachstum

In unserem Alltag beobachten wir häufig, dass verschiedene Grössen zunehmen oder abnehmen. Diese Veränderungen folgen bestimmten Mustern, die als Wachstumsgesetze bekannt sind. In dieser Diskussion konzentrieren wir uns auf zwei Haupttypen solcher Gesetze: das lineare und das exponentielle Wachstum.

Wir beginnen damit, zu messen, wie sich etwas im Laufe der Zeit verändert, indem wir uns zunächst einen festen Zeitschritt $\tau$ festlegen (in Minuten, Tagen, Jahren, ...) und dann in jedem Zeitschritt $\tau$ Messungen vornehmen, beginnend zu einem bestimmten Zeitpunkt $x_0$ . So erhalten wir eine Folge von Messungen

\begin{array}{rllll} \text{Messungen}:& y_0 &\xrightarrow[]{} & y_1 &\xrightarrow[]{} & ... & \xrightarrow[]{} & y\\ \text{Zeit}:& x_0 & \xrightarrow[]{+\tau} & x_1 &\xrightarrow[]{+\tau} & ... &\xrightarrow[]{+\tau} & x\\ \end{array}

Im obigen Diagramm ist $y_0$ die erste Messung zum Zeitpunkt $x_0$ , $y_1$ die zweite Messung zum Zeitpunkt $x_1$ ( $\tau$ Einheiten später), und so weiter. Der Zeitpunkt $x$ bezeichnet einen beliebigen Zeitpunkt, und $y$ ist die entsprechende Messung zum Zeitpunkt $x$ . Im Allgemeinen wollen wir wissen, ob es eine Regel zur Bestimmung von $y$ für jeden Zeitpunkt $x$ gibt.

Lineares Wachstum

Example 1

In einer Studie wird das Wachstum eines Waldes untersucht. Im Jahr $x_0=2010$ enthält der Wald $y_0=500$ Bäume. Alle $\tau=10$ Jahre wird die Anzahl der Bäume im Wald gezählt. Im Jahr $x_1=2020$ gibt es $y_1=600$ Bäume, und weitere zehn Jahre später, in $x_2=2030$ , sind es $y_3=700$ Bäume, und so weiter. Das Diagramm ist

\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{+100} & 600 &\xrightarrow[]{+100}& 700 &\xrightarrow[]{+100} & ... & \xrightarrow[]{+100} & y\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 &\xrightarrow[]{+10} & 2030 &\xrightarrow[]{+10} & ... &\xrightarrow[]{+10} & x\\ \end{array}

Gibt es eine Regel, nach der die Anzahl der Bäume in einem Wald wächst, d.h. gibt es eine Regel, mit der man die Anzahl der Bäume $y$ für einen beliebigen Zeitpunkt $x$ bestimmen kann? Zum Beispiel, wie viele Bäume wird es im Jahr $x=4040$ geben? Natürlich brauchen wir mehr Daten, aber anhand der drei Datenpunkte, die wir haben, können wir die Regel aufstellen, dass alle $10$ Jahre $100$ neue Bäume entstanden sind. Dies ist ein Beispiel für lineares Wachstum.

Hier ist die formale Definition:

Definition 1

Eine Grösse wächst linear, falls sich die Grösse nach jedem Zeitschritt $\tau$ um den selben Betrag $u$ vergrössert (oder immer verkleinert):

\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& y_0 &\xrightarrow[]{+u} & y_1 &\xrightarrow[]{+u} & ... & \xrightarrow[]{+u} & y\\ \text{Zeit}:& x_0 & \xrightarrow[]{+\tau} & x_1 &\xrightarrow[]{+\tau} & ... &\xrightarrow[]{+\tau} & x\\ \end{array}

$u$ ist also die Zunahme (oder Abnahme) der Grösse nach jedem Zeitschritt. Der Begriff lineares Wachstum kann in beiden Fällen verwendet werden (Zunahme oder Abnahme), aber wir können auch spezifischer von linearer Zunahme oder linearer Abnahme sprechen.

Exponentielles Wachstum

Example 2

Eine Untersuchung eines anderen Waldes ergibt Folgendes: Im Jahr $x_0=2010$ enthält der Wald $y_0=500$ Bäume. Dann, zehn Jahre später, im Jahr $x_1=2020$ , gibt es $y_1=1000$ Bäume, und weitere zehn Jahre später, im Jahr $x_2=2030$ , gibt es $y_2=2000$ Bäume, und so weiter.

\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & 1000 &\xrightarrow[]{\cdot 2}& 2000 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & ... & \xrightarrow[]{\cdot 2} & y\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 &\xrightarrow[]{+10} & 2030 &\xrightarrow[]{+10} & ... &\xrightarrow[]{+10} & x\\ \end{array}

Die Anzahl Bäume verdoppelt sich also alle $10$ Jahre. Dies ist ein Beispiel von exponentiellem Wachstum.

Hier ist die genaue Definition:

Definition 2

Eine Grösse wächst exponentiell, wenn sie nach jedem Zeitschritt $\tau$ um den gleichen Faktor $u$ zunimmt (oder abnimmt):

\begin{array}{rllll} \text{Grösse}:& y_0 &\xrightarrow[]{\cdot u} & y_1 &\xrightarrow[]{\cdot u} & ... & \xrightarrow[]{\cdot u} & y\\ \text{Zeit}:& x_0 & \xrightarrow[]{+\tau} & x_1 &\xrightarrow[]{+\tau} & ... &\xrightarrow[]{+\tau} & x\\ \end{array}

$u$ wird Wachstumsfaktor genannt. Für $u>1$ wächst die Grösse, für $0<u<1$ vermindert sich (oder zerfällt) die Grösse. Der Begriff exponentielles Wachstum kann in beiden Situationen gebraucht werden, wir können aber beim Fall $0<u<1$ auch von exponentiellem Zerfall reden und $u$ wird dann oft auch Zerfallsfaktor genannt (nicht zu verwechseln mit der Zerfallskonstanten aus der Biologie, Chemie und Physik).

Formeln für lineares und exponentielles Wachstum

Wir wollen Formeln finden, um die Grösse $y$ zu einem bestimmten Zeitpunkt $x$ zu finden. In beiden Fällen (lineares und exponentielles Wachstum) ermitteln wir zunächst die Anzahl der Schritte der Grösse $\tau$ , die wir benötigen, um vom Zeitpunkt der ersten Messung $x_0$ zu $x$ zu gelangen. Wenn wir diese Zahl mit $n$ bezeichnen, können wir $n$ wie folgt berechnen:

n=\frac{x-x_0}{\tau}

In der Tat ist ja $x-x_0$ die Distanz zwischen $x_0$ und $x$ , und aus $n\cdot \tau=x-x_0$ erhalten wir die obige Formel für $n$ . Bei $x_0$ ist die Menge nun $y_0$ , und bei jedem Zeitschritt wächst die Menge um den Betrag $u$ . Bei linearem Wachstum wird bei jedem Schritt der Betrag $u$ hinzugefügt:

\begin{array}{lll} y&=&y_0+\underbrace{u+u+...+u}_{n \text{ Schritte}}\\ &=&y_0+n\cdot u\\ &=&y_0+u\cdot \frac{x-x_0}{\tau} \end{array}

und für exponentielles Wachstum wird bei jedem Schritt die Grösse mit $u$ multipliziert:

\begin{array}{lll} y&=&y_0\cdot\underbrace{u\cdot u\cdot ... \cdot u}_{n \text{ steps}}\\ &=&y_0\cdot u^n\\ &=&y_0\cdot u^{(x-x_0)/\tau} \end{array}

Wir haben also:

Theorem 1: Lineares und exponentielles Wachstum:

Eine Grösse ist $y_0$ zum Zeitpunkt $x_0$ , und in jedem Zeitschritt $\tau$ wird die Menge gemessen.

Wächst die Grösse linear um den Betrag $u$ , so kann die Grösse zum Zeitpunkt $x$ mit Hilfe der linearen Funktion

f(x)=y_0+u\cdot \frac{x-x_0}{\tau}

berechnet werden. Wächst die Grösse exponentiell um den Faktor $u$ , so kann die Grösse zum Zeitpunkt $x$ mit der Exponentialfunktion

f(x)= y_0\cdot u^{(x-x_0)/\tau}

berechnet werden.

Zwei Beispiele sollen dies veranschaulichen:

Example 3

Versuche, die folgenden Aufgaben auf die gleiche Weise zu lösen, wie oben gezeigt wurde, d.h. bestimme zuerst die Anzahl der benötigten Schritte $n$ um von $x_0$ nach $x$ zu kommen, und dann, um wie viel nach jedem Schritt addiert oder multipliziert werden muss.

Jede zweite Woche bekommst du $20$ CHF von deinen Eltern. In Woche 1 hast du $15$ CHF. Wie viel Geld hast du
1. in der Woche $27$ ?
2. in der Woche $x$ ?
Ausgehend von $6$ Zellen (zur Stunde $0$ ), teilt sich jede Zelle eines wachsenden Menschen im Durchschnitt alle $20$ Stunden. Wie viele Zellen gibt es
1. nach $360$ Stunden?
2. nach $x$ Stunden?

Solution

Es sind $\tau=2$ Wochen, $u=20$ CHF, $x_0=1$ Woche, und $y_0=15$ CHF. $\begin{array}{rllll} \text{money}:& 15 &\xrightarrow[]{+20} & 35 &\xrightarrow[]{+20} & ... & \xrightarrow[]{+20} & y\\ \text{week}:& 1 & \xrightarrow[]{+2} & 3 &\xrightarrow[]{+2} & ... &\xrightarrow[]{+2} & x\\ \end{array}$
1. Die Anzahl der Schritte, um von Woche $x_0=1$ zu Woche $x=27$ zu gelangen, beträgt $n=(27-1)/2=13$ Schritte. In jedem Schritt fügen wir $20$ CHF hinzu, der Geldbetrag in Woche $27$ ist deshalb $y=15+\underbrace{20 + 20 + ... + 20}_{n=13 \text{ times}} =15 + 20 \cdot 13 = \underline{275}$
2. Die Anzahl der Schritte, um von Woche $1$ zu Woche $x$ zu gelangen, ist $n=(x-1)/2$ , also ist der Geldbetrag in Woche $x$ $y=15+\underbrace{20 + 20 + ... + 20}_{n=(x-1)/2 \text{ times}} = 15 + 20\cdot \frac{x-1}{2}=\underline{10x+5}$
Es ist $\tau=20$ Stunden, $u=2$ , $x_0=0$ Stunde, und $y_0=6$ Zellen. $\begin{array}{rllll} \text{cells}:& 6 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & 12 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & ... & \xrightarrow[]{\cdot 2} & y\\ \text{hour}:& 0 & \xrightarrow[]{+20} & 20 &\xrightarrow[]{+20} & ... &\xrightarrow[]{+20} & x\\ \end{array}$
1. Die Anzahl der Schritte, um von der Stunde $x_0=0$ zur Stunde $x=360$ zu gelangen, beträgt $n=(360-0)/20=18$ Schritte. In jedem Schritt multiplizieren wir den vorhergehenden Betrag mit dem Faktor $2$ , die Anzahl der Zellen in der Stunde $360$ ist also $f(360)=6\cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot ... \cdot 2}_{n=18 \text{ times}} = 6\cdot 2^{18}$
2. Die Anzahl der Schritte, um von der Stunde $x_0=0$ zur Stunde $x$ zu gelangen, ist $n=(x-0)/20=x/20$ , also ist der Geldbetrag in der Woche $x$ $y=6\cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot \cdot ... \cdot 2}_{n=(x-1)/2 \text{ times}} = \underline{6\cdot 2^{x/20}}$

Exercise 1

Im Jahr $1998$ beträgt die Zahl der Einwohner eines Dorfes $5000$ . Die Zahl der Einwohner wird alle $12$ Jahre gezählt. Finde die Funktionsgleichung der Funktion, welche die Anzahl der Einwohner zum Zeitpunkt $x$ angibt, wenn
1. im Jahr $2010$ die Zahl der Einwohner $5150$ beträgt und das Wachstum linear ist.
2. im Jahr $2010$ die Zahl der Einwohner $5150$ beträgt und das Wachstum exponentiell ist.
3. Die Zahl der Einwohner sich alle $12$ Jahre verdreifacht.
4. Die Zahl der Einwohner alle $12$ Jahre gedrittelt wird.
Das Wachstum einer Bevölkerung wird durch die Funktion $f(x)=2x+1$ beschrieben, wobei $x$ Jahre die Jahre angibt. Bestimme die Zunahme $u$ für den Zeitschritt $\tau=5$ Jahre.
Das Wachstum einer Bevölkerung wird durch die Funktion $f(x)=3 \cdot 4^{0.25x}$ beschrieben, wobei $x$ die Jahre angibt. Bestimme den Wachstumsfaktor für den Zeitschritt $\tau=2$ Jahre.

Solution

$x_0=1998$ , $y_0=5000$ , $\tau=12$ Jahre.
1. Zuwachs $u=5150-5000=150$ , also $f(x)=\underline{5000+150\cdot \frac{x-1998}{12}}$
2. Wachstumsfaktor $u=\frac{5150}{5000}=1.03$ , also $f(x)=\underline{5000\cdot 1.03^{(x-1998)/12}}$
3. Wachstumsfaktor $u=3$ , also $f(x)=\underline{5000\cdot 3^{(x-1998)/12}}$
4. Wachstumsfaktor $u=\frac{1}{3}$ , also $f(x)=\underline{5000\cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{(x-1998)/12}}$
In jedem Zeitschritt $\tau=5$ , etwa von $x=0$ nach $x=5$ ist die Zunahme der Grösse $u=f(5)-f(0)=11-1=\underline{10}$
In jedem Zeitschritt $\tau=5$ , etwa von $x=0$ nach $x=5$ ist die Zunahme der Grösse $u=\frac{f(2)}{f(0)}=\frac{3\cdot 4^{0.5}}{3\cdot 4^0}=\underline{2}$

Ein grundlegender Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum ist die Geschwindigkeit, mit der eine Menge wächst Exponentielles Wachstum ist viel schneller. Siehe die folgende Aufgabe:

Exercise 2

Im Jahr 1805 hat eine Eiche eine Höhe von $5.25 m$ , im Jahr 1827 beträgt die Höhe $11.15 m$ . Ermittle die Höhe des Baumes im Jahr 2017 unter der Annahme, dass

das Wachstum linear ist.
das Wachstum exponentiell ist.

Welches Wachstumsmodell ist realistischer?

Solution

Es ist $\tau=22$ Jahre, $x_0=1805$ , $y_0=5.25 m$ . Das Diagramm ist also

\begin{array}{rllll} \text{height}:& 5.25 &\xrightarrow[]{} & 11.15 &\xrightarrow[]{} & ... & \xrightarrow[]{} & y\\ \text{year}:& 1805 & \xrightarrow[]{+22} & 1827 &\xrightarrow[]{+22} & ... &\xrightarrow[]{+22} & 2017\\ \end{array}

Lineares Wachstum: $u=11.15-5.25=5.9$ , also $f(x)=5.25+5.9\cdot \frac{x-1805}{22}$ und somit $f(2017)=5.25+5.9\cdot \frac{2017-1805}{22}=\underline{62.1 m}$
Exponentielles Wachstum: $u=\frac{11.15}{5.25}=2.123$ , also $f(x)=5.25\cdot 2.123^{(x-1805)/22}$ und somit $f(2017)=5.25\cdot 2.123^{(2017-1805)/22}=\underline{7453.5m}$ Lineares Wachstum ist hier realistischer.