Weitere Eigenschaften von Mengen

Wir führen noch zwei weitere Operation zwischen Mengen ein. Wir brauchen fürs kreieren von neuen Ereingissen. Ereingisse sind ja nichts anderes als Teilmengen des Ereignisraums $S$ eines Zufallsexperiments.

Definition 1

Gegeben seien zwei Teilmengen $A$ und $B$ einer Mengen $S$ . Wir können wie folgt 3 neue Teilmengen generieren:

$A\cup B$ = "die Menge aller Elemente, die in $A$ oder in $B$ enthalten sind (oder in beiden)". Dies is die Vereinigungsmenge von A und B. Wir sagen " $A$ vereinigt mit $B$ ".
$A\cap B$ = "die Menge aller Elemente, die in $A$ und in $B$ enthalten sind". Dies ist die Schnittmenge von A und B. Wir sagen " $A$ geschnitten $B$ ".
$A^\prime$ ="die Menge aller Elemente in $S$ die nicht" in $A$ sind. Dies ist die Komplementärmenge von A. Wir sagen " $A$ komplement".

Wir sehen, dass $\cup$ dem logischen (oder sprachlichen) oder entspricht, $\cap$ dem logischen und und das Komplement $^\prime$ dem logischen nicht.

Warning

Beachte, dass wir im sprachlichen Umgang oder oft als entweder oder (also ein Element ist entweder in $A$ oder in $B$ enthalten, aber nicht in beiden Mengen). Diese entweder-oder wird exklusives oder genannt. Im Kontext der Wahrscheinlichkeit verstehen wir unter oder immer das inklusive oder (also ein Element ist entweder in $A$ oder in $B$ enthalten oder in beiden Mengen).

Hier ist ein Beispiel. Es zeigt auch, wie Mengen und Mengenoperation typischerweise mit dem Venn-Diagramm dargestellt werden können (das Rechteck mit den Kreisen).

Example 1

Es sei $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ . $A=\{1,2,3,4\}$ und $B=\{3,4,5,6,7\}$ sind Teilmengen von $S$ . Es gilt dann

$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7\}$ (Elemente in $A$ oder $B$ ). Beachte, dass doppelte Elemente immer nur einmal aufgeührt werden in Mengen oder Teilmengen.
$A\cap B=\{3,4\}$ (Elemente in $A$ und $B$ ).
$A^\prime=\{5,6,7,8,9,10\}$ (Elemente nicht in $A$ , aber immer noch in $S$ ).

Und die Venn-Diagramme:

Wir führen noch die folgenden Definitionen ein.

Definition 2

Zwei Teilmengen $A$ und $B$ heissen disjunkt, falls gilt

A\cap B=\{\}

daher, wenn $A$ und $B$ keine gemeinsamen Elemente besitzen und die Schnittmenge somit die leere Menge ist.

Example 2

Es sei $S=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$ . $A$ ="Primzahl in $S$ " und $B$ ="Zahl in $S$ grösser als $4$ " sind Teilmengen von $S$ . Bestimme die Teilmengen

$A\cup B$
$A\cap B$
$A^\prime$
$B^\prime$

Solution

Es ist $A=\{2,3,5,7\}$ und $B=\{5,6,7,8,9,10\}$

$A\cup B=\{2,3,5,6,7,8,9,10\}$
$A\cap B=\{5,7\}$
$A^\prime=\{1,4,6,8,9,10\}$
$B^\prime=\{1,2,3,4\}$

Definition 3

Die Anzahl Elemente in einer Menge (oder Teilmenge $A$ ) wird mit $|A|$ bezeichnet). Die Anzahl Elemente in $A$ wird auch als Kardinalität von $A$ bezeichnet.

Exercise 1

Bestimme die Kardinalität der folgenden Mengen:

$\{1,2,5\}$
$\{1,1,2,2,2,5,5,5\}$
$\{\}$
alle natürlichen Zahlen

Solution

$3$
$3$ (da mehrfach vorkommende Elemente nur einfach gezählt werden, und somit auch $\{1,1,2,2,2,5,5,5\}=\{1,2,3\}$ )
0 (da keine Elemente Enthalten sind)
$\infty$

Theorem 1

Gegeben sei eine Menge $S$ und zwei Teilmengen $A \subset S$ und $B \subset S$ .

Es gilt immer, dass $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$
Falls $A$ und $B$ disjunkt sind, gilt sogar $|A\cup B|=|A|+|B|$
$|A^\prime|=|S|-|A|$

Proof

Siehe Bild unten. Aussage (1) wird in der oberen Hälfte des Bildes gezeigt, Aussage (2) in der unteren Hälfte. Aussage (2) folgt übrigens von Aussage (1), da für disjunkte Mengen gilt $|A\cap B|=|\{\}|=0$ .

Aussage (3) ist sehr intuitiv: da $A^\prime$ alle Elemente in $S$ enthält, die nicht in $A$ sind, muss ja gelten $|A^\prime|=|S|-|A|$

Exercise 2

Überprüfe die obigen Formeln (1) und (3) anhand von Beispiel 2.

Solution

Es ist $|S|=10,$ |A|=|{2,3,5,7}|=4 $und$ |B|=|{5,6,7,8,9,10}|=6 $, und$ |A\cap B|=|{5,7}|$

$|A\cup B|=|\{2,3,5,6,7,8,9,10\}|=8$ . Mit der Formel (1) erhalten wir $|A|+|B|-|A\cap B|=4+6-2=8$ . Stimmt also.
$|A^\prime|=|\{1,4,6,8,9,10\}|=6$ . Mit der Formel (3) erhalten wir $|A^\prime|=|S|-|A|=10-4=6$ . Stimmt also auch.

Exercise 3

In einem Dorf von 100 Personen lesen 30 Personen Zeitung $1$ und $50$ Personen lesen Zeitung $2$ . Von diesen Personen lesen $10$ Personen beide Zeitungen. Wieviele Personen im Dorf lesen keine dieser zwei Zeitungen?

Solution

Aus der Skizze unten sehen wir, dass $|Z1 \cup Z2|=20+10+40=70$ . Also lesen $100-70=30$ Personen keine Zeitung.

Wir können auch die obigen Formeln benutzen: Anzahl Personen, die $Z1$ oder $Z2$ lesen ist

|Z1 \cup Z2|=|Z1|+|Z2|-|Z1\cap Z2|=30+50-10=70

Anzahl Personen im Dorf, die diese Zeitungen nicht lesen ist somit

|(Z1 \cup Z2)^\prime| = |S|-|Z1 \cup Z2|=100-70=30

Oftmals sind wir mit einer Skizze aber besser und schneller unterwegs.