Wahrscheinlichkeit und logische Aussagen

Da Ereignisse Teilmengen vom Ereingisraum sind, können wir die Vereinigung, Schnitt und Komplement auch auf Ereingisse anwenden. Es seien also EE und FF zwei Ereignisse eines Zufallexperiments. Wir haben dann die folgenden Interpretation:

  1. p(E∪F)p(E\cup F) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis EE oder FF eintrifft (genauer, dass ein Ergebnis eintrifft, dass in EE oder in FF ist, also in E∪FE\cup F).
  2. p(E∩F)p(E\cap F) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse EE und FF eintriffen (genauer, dass ein Ergebnis eintrifft, dass in EE und in FF ist, also in E∩FE\cap F).
  3. p(E′)p(E^\prime) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis EE nicht eintrifft (genauer, dass ein Ergebnis eintrifft, dass nicht in EE ist, also in E′E^\prime).
Example 1

Eine Box enthält 1010 Kugeln beschriften mit 1,2,3,...,101,2,3,...,10. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Wir betrachten die beiden Ereingisse EE="Zahl auf der Kugel ist Primzahl" und FF="Zahl auf der Kugel ist grösser als 44". Drücke die unten stehen Aussagen mit Hilfe von EE und FF aus. Bestimme auch die folgenden Wahrscheinlichkeiten: Die Zahl auf der Kugel ist

  1. eine Primzahl

  2. grösser als 44

  3. eine Primzahl oder grösser als 44

  4. eine Primzahl und grösser als 44

  5. keine Primzahl

  6. nicht grösser als 44

Solution

Es ist ein Laplace experiment. Also gilt:

  1. p(E)=p({2,3,5,7})=410p(E)=p(\{2,3,5,7\})=\frac{4}{10}
  2. p(F)=p({5,6,7,8,9,10})=610p(F)=p(\{5,6,7,8,9,10\})=\frac{6}{10}
  3. p(E∪F)=p({2,3,5,6,7,8,9,10})810p(E\cup F)=p(\{2,3,5,6,7,8,9,10\})\frac{8}{10}
  4. p(E∩F)=p({5,7})=210p(E\cap F)=p(\{5,7\})=\frac{2}{10}
  5. p(E′)=p({1,4,6,8,9,10})=610p(E^\prime)=p(\{1,4,6,8,9,10\})=\frac{6}{10}
  6. p(F′)=p({1,2,3,4})=410p(F^\prime)=p(\{1,2,3,4\})=\frac{4}{10}

Es gelten die folgenden Wahrscheinlichkeitsgesetze:

Theorem 1

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit den Ereignissen EE und FF.

  1. p(E∪F)=p(E)+p(F)−p(E∩F)p(E\cup F)=p(E)+p(F)-p(E\cap F)

  2. Falls EE und FF sich gegenseitig ausschliessen, daher wenn nur eines der beiden eintreffen kann, gilt p(E∪F)=p(E)+p(F)p(E\cup F)=p(E)+p(F)

  3. p(E′)=1−p(E)p(E^\prime)=1-p(E)

Proof

Nehmen wir zum Beipiel an, der Ereingisraum ist S={o1,o2,...,o9}S=\{o_1,o_2,...,o_9\}, daher die möglichen Ergebnisse sind o1,o2,...,o9o_1, o_2,..., o_9. Nehmen wir weiter an, dass E={o1,o2,o3,o4}E=\{o_1,o_2,o_3, o_4\} und F={o3,o4,o5,o6,o7}F=\{o_3,o_4,o_5,o_6,o_7\}. Beachte, dass die Wahrscheinlichket für ein Ereignis die Summe der Wahrscheinlichketen der Ereignisse sind, also zum Beispiel p(E)=p(o1)+p(o2)+p(o3)+p(o4)p(E)=p(o_1)+p(o_2)+p(o_3)+p(o_4).

Aussage (1) lässt sich anschaulich mit dem Venn-Diagramm beweisen:

Aussage (2) folgt aus Aussage (1), da sich die Ereignisse gegenseitig ausschliessen, was ja bedeutet, dass kein Ergebnis in beiden Ereignissen sein kann (die Mengen EE und FF sind disjunkt). Wäre dies nämlich für ein Ergebnis der Fall, so würde für dieses Ergebnis beide Ereignisse eintreffen. Mit anderen Worten, E∩F={}E\cap F=\{\} und somit p(E∩F={})=p({})=0p(E\cap F=\{\})=p(\{\})=0, und somit folgt (2).

Aussage (3) folgt mit Hilfe von (2), da EE und E′E^\prime sich gegenseitig ausschliessen und wegen p(E∪E′)=p(S)=1p(E \cup E^\prime)=p(S)=1. Also ist p(E)+p(E′)=1p(E)+p(E^\prime)=1 und die Aussage folgt.

Exercise 1

In einer Klasse mögen 60%60\% der Schüler*innen Pizza, 50%50\% mögen Burger (diese Präferenzen sind nicht ausschliesslich). 30%30\% in der Klasse mögen sowohl Pizza wie auch Bürger. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Schüler oder eine zufällig ausgewählte Schülerin

  1. Pizza oder Burger mag?

  2. weder Pizza noch Burger mag?

  3. nur Pizza mag?

Solution
  • p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)=0.6+0.5−0.3=0.8p(A \cup B) = p(A) + p(B) - p(A \cap B) = 0.6 + 0.5 - 0.3 = 0.8
  • p((A∪B)′)=1−p(A∪B)=1−0.8=0.2p((A \cup B)^\prime)=1-p(A \cup B)=1-0.8=0.2
  • Erstelle ein Venn-Diagramm. $p(A \cap B^\prime)=p(A)-p(A\cap B)=0.6-0.3=0.3