Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses

Betrachten wir das Zufallsexperiment "Werfen einer Münze". Wenn wir das Experiment durchführen, wird das Ergebnis $K$ ("Kopf") mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eintreten. Wir möchten diese Wahrscheinlichkeit mit einer Zahl zwischen $0$ und $1$ quantifizieren. Dabei soll gelten, dass je wahrscheinlicher ein Ereignis eintrifft, desto grösser soll diese Zahl sein.

Es gibt eine einfache Methode, so eine Zahl zu finden. Dazu brauchen wir den Begriff der relativen Häufigkeit.

Definition 1

Ein Experiment wird unter genau denselben Bedingungen $N$ mal wiederholt. Dann zählen wir, wie oft ein Ergebnis $o$ auftritt, und bezeichne diese Zahl mit $n$ . Die relative Häufigkeit des Auftretens von $o$ ist definiert als

Equation 1

h(o) = \frac{n}{N}

Relative Häufigkeit eines Ergebnisses.

Werfen wir also die Münze $N$ Mal, und beobachten, dass $K$ $n$ Mal vorkommt, dann ist $h(K)=n/N$ . Im Wesentlichen ist dies unsere Wahrscheinlichkeit, dass $K$ vorkommt wenn die Münze geworfen wird. In der Tat liegt diese Zahl zwischen $0$ und $1$ , und je grösser die relative Häufigkeit ist, desto häufiger ist das Ergebnis $K$ aufgetreten. Wenn $H$ zum Beispiel jedes Mal eintritt, ist die relative Häufigkeit $n/N=N/N=1$ . Wenn das Ergebnis $K$ nie eintritt, ist die relative Häufigkeit $0/N=0$ .

Wir können jedoch nicht einfach $p(K)=n/N$ setzen, da dies nicht gut definiert ist. Warum? Jedes Mal, wenn wir versuchen, den Wert $n/N$ zu bestimmen, indem wir das Experiment $N$ mal durchführen, wird sich $n$ verändern! Dies wird in der folgenden Übung demonstriert.

Exercise 1

Wir betrachten das Zufallsexperiment "einmal eine Münze werfen". Wiederhole das Experiment $N=20$ mal, und bestimme die relative Häufigkeit von $K$ .

Bestimme dann erneut die relative Häufigkeit von $K$ , wobei dasselbe Verfahren anwenden wird.

Sind die beiden relativen Häufigkeiten gleich?

Wie kann man diese Schwankungen der relativen Häufigkeit $n/N$ vermeiden? Die nächste Übung bietet eine Lösung.

Exercise 2

Wir betrachten das Zufallsexperiment "einmal eine Münze werfen". Wiederhole das Experiment $N=10$ Mal und zähle, wie oft Kopf $K$ auftritt. Bestimme dann die relative Häufigkeit von Kopf, $n/N$ .

Wiederhole das Experiment weitere $10$ Mal, so dass wir insgesamt $N=20$ Wiederholungen haben. Bestimme die gesamte Anzahl der Vorkommen von $K$ , und berechne wieder die relative Häufigkeit $n/N$ .

Fahre nun mit dieser Prozedur fort, indem immer wieder $10$ Mal wirfst, und fülle die unten stehende Tabelle aus:

\begin{array}{|c|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|l|}\hline N & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 & 70 & 80 & 90 & 100 \\\hline n & & & & & & & & & & \\\hline \frac{n}{N} & & & & & & & & & & \\\hline \end{array}

Skizziere auch den Graphen der berechneten relativen Häufigkeiten $n/N$ als Funktion von $N$ ( $N$ entlang der $x$ -Achse, $n/N$ entlang der $y$ -Achse).

Beachte in der Aufgabe oben, wie sich die relative Häufigkeit $n/N$ mit höheren Werten der Wiederholungen $N$ stabilisiert und sich einem bestimmten Wert nähert. Wir definieren diesen Wert als die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $K$ . Wir definieren allgemein:

Definition 2

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum $S$ , und $o\in S$ ein mögliches Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses $o$ ist definiert als die langfristige relative Häufigkeit von $o$ :

Equation 2

p(o)=\frac{n}{N}\quad (N \text{ gross})

Wahrscheinlichkeit eines Ereingisses

wobei $N$ die Anzahl Wiederholungen des Experiments ist, und $n$ die Anzahl Experimente in denen $o$ aufgetreten ist. Beachte, dass wir normalerweise die Wahrscheinlichkeit von $o$ als $p(o)$ notieren.

Der Begriff "langfristig" bezieht sich auf die Tatsache, dass $N$ sehr, sehr gross sein muss (wir erhöhen $N$ so lange, bis die Schwankungen in $n/N$ vernachlässigbar werden).

Note 1

Die relative Häufigkeit von $o$ kann auch als Prozentsatz (der Wiederholungen $N$ ) ausgedrückt werden. Aus diesem Grund kann man die Wahrscheinlichkeit auch als Prozentsatz ausdrücken. Zum Beispiel kann $p(o)=0.2$ auch als $p(o)=20\%$ geschrieben werden. Wir werden beide Schreibweisen verwenden.
Wir können die Definition der Wahrscheinlichkeit auch mit Hilfe von Prozent ausdrücke: Wiederholt man das Experiment $N$ mal, wobei $N$ eine grosse Zahl ist, dann ist $p(o)$ der Prozentsatz der Experimente, in denen das Ergebnis $o$ eingetreten ist.

Exercise 3

Für einen Würfel gilt $p(6)=1/6$ . Sie werfen den Würfel $12 000$ Mal. Mit wie vielen $6$ kann man rechnen? Ist diese Zahl genau?

Solution

Da $p(6)\approx\frac{n}{12000}=\frac{1}{6}$ ist, folgt $n\approx\frac{12000}{6}=2000$ . Dies ist nur eine Schätzung und wird schwanken. Aber da $N$ recht gross ist, werden die Schwankungen von $n$ recht gering sein.

Hier ist unser erstes Theorem über Wahrscheinlichkeiten. Der Beweis wird als Übung gegeben.

Theorem 1

Die Summe aller Ergebniswahrscheinlichkeiten eines Zufallsexperiments ist gleich $1$ . Das heisst, wenn $S=\{o_1,o_2,...,o_m\}$ der Ergenisraum ist, dann gilt

Equation 3

\sum_{i=1}^m p(o_i) = p(o_1)+p(o_2)+...+p(o_m)=1

Summe aller Wahscheinlichkeiten ist 1.

Intuitive macht das Sinn: da das Experiment immer genau ein Ergebnis liefert, muss die Summe der Anzahl aller beobachteten Ergebnisse nach $N$ Wiederholungen ebenfalls $N$ sein, die relative Häufigkeit also $1$ .

Proof

Wiederhole das Experiment $N$ mal, wobei $N$ eine sehr grosse Zahl ist. Nach der Definition der Wahrscheinlichkeit ist $p(o_i)$ der Prozentsatz, mit dem das Ergebnis $o_i$ eintritt. Addiert man die Prozentsätze für jeden Ausgang $o_i$ , so wird $100\%$ erhalten, da es nicht möglich ist, dass ein Experiment kein Ergebnis oder mehr als ein Ergebnis liefert.