Ergebniswahrscheinlichkeit in Laplace Experimenten

Die genaue Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses bei einem Zufallsexperiment zu ermitteln ist schwierig und erfordert viele Wiederholungen und Zählungen. Wenn wir jedoch eine weitere Annahme über das Experiment machen, können wir die Ergebniswahrscheinlichkeiten auf theoretischer Basis bestimmen - es sind keine Wiederholungen erforderlich.

Diese Annahme lautet, dass kein Ergebnis bevorzugt wird, oder in der Wahrscheinlichkeitssprache, dass alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen, einzutreffen. Dies ist natürlich eine sehr restriktive Annahme und trifft auf die meisten Experimente nicht zu. Dennoch ist dies für einige populäre Experimente eine recht vernünftige Annahme, wie zum Beispiel

Eine faire Münze werfen. Das Wort fair impliziert, dass es keine Bevorzugung einer Seite gibt, daher, dass bei vielen Wiederholungen jede Seite gleich oft vorkommt, daher $p(H)=p(K)$ .
Einen fairen Würfel werfen. Auch hier wird impliziert, dass jede Seite des Würfels gleich häufig vorkommt, daher $p(1)=p(2)=...=p(6)$ .
Die zufällige Auswahl einer Kugel aus einem mit identischen, numerierten Kugeln gefüllten Korb. Damit dies ein Laplace Experiment ist, müssen wir sagen, dass jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, gezogen zu werden. Falls also $m$ Kugeln im liegen, haben wir $p(1)=p(2)=...p(m)$ . Das könnte zum Beispiel der Fall sein, wenn alle Kugeln die gleiche Grösse haben und die Auswahl blind erfolgt.

Hier ist the exakte Definition, und eine wichtige Folgerung.

Definition 1

Ein Zufallsexperiment habe den Ergebnisraum $S=\{o_1,\dots o_m\}$ , daher $m$ möglichen Ergebnisse. Haben alle Ergenisse die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreten

Equation 1

p=p(o_1)=p(o_2)=...=p(o_m)

Bedingung für ein Laplace Experiment.

so nennen wir dies ein Laplace Experiment.

Es folgt sofort:

Theorem 1

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis in einem Laplace Experiment mit $m$ möglichen Ergebnissen ist gegeben durch

Equation 2

p=\frac{1}{m}=\frac{1}{\vert S\vert}

Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis im Laplace Experiment.

Proof

Aus $p(o_1)+p(o_2)+...+p(o_m)=1$ folgt $m\cdot p=1$ , und somit $p=\frac{1}{m}$ .

Exercise 1

Begründe, ob es sich bei den folgenden Zufallsexperimenten um Laplace Experimente handelt. Berechne immer die Wahrscheinlichkeit für das angegebene Ergebnis.

Du würfelst einmal mit einem fairen Würfel, p(6)=?
Du wirfst zweimal einen fairen Würfel, p(66)=?
Du wirfst eine Münze $3$ mal, p(KKK)=?
Du wählst zufällig einen Buchstaben aus dem Wort "MARKE" aus, p("A")=?
Du wählst zufällig einen Buchstaben aus dem Wort "HALLO", p("L")=?

Solution

Ja, $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ , also $m=6$ und $p=1/6$
Ja, denn aufeinanderfolgende Würfe beinflussen sich nicht, und jede Zahl erscheint gleich oft da fair, also müssen auch die Kombinationen $66$ , $34$ , ... gleich oft erscheinen. Also wegen $m=36$ folgt $p=1/36$ .
Ja, gleiche Begründung wie oben. $S=\{KKK, KKZ, KZK, ZKK, KZZ, ZKZ, ZZK, ZZZ\}$ , also $m=8$ und $p=1/8$ .
Ja, denn zufällige Auswahl bedeutet, dass jede Position im Wort langfristig mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt wird. Also wird jeder Buchstabe mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt. Also $S=\{M,A, R, K, E\}$ und $p=1/5$ .
Nein. Obwohl jede Position langfristig mit dem gleichen Prozentsatz ausgewählt wird, wird $L$ häufiger ausgewählt als die anderen Buchstaben (da es zwei $L$ in dem Wort gibt), nämlich 2-mal so oft. Unterscheiden wir die beiden $L$ künstlich ( $L_1$ und $L_2$ ), dann ist die Wahrscheinlichkeit, ein $L$ zu ziehen, gegeben durch $p(L_1)+p(L_2)=0.2+0.2=0.4$ .

Exercise 2

Eine gezinkte Münze mit $p(K)=0.7$ wird zweimal geworfen. Ist dies ein Laplace Experiment? Argumentiere.

Solution

Nein, wenn das Experiment viele Male wiederholt wird, ist der Prozentsatz der beobachteten $KK$ viel höher als der Prozentsatz der Beobachtung von $ZZ$ (da $H$ viel öfter vorkommt als $Z$ ). Also haben nicht alle Ergebnisse die gleiche Wahrscheinlichkeit einzutreten, es handelt sich also nicht um ein Laplace Experiment.