Mehrstufige Experimente

Angenommen wir haben zwei Zuvallsexperimente, die hintereinander ausgeführt werden. Wir können das Hintereinanderausführen dieser 2 Experimente als neues Experiment betrachten. Wir nennen dies ein mehrstufiges Zufallsexperiment. Wir sind nicht auf 2 Experimente beschränkt und können auch beiliebig viele Experimente hintereinander ausführen.

Example 1

Zuerst einen fairen Würfel werfen (Experiment 1), und dann eine faire Münze werfen (Experiment 2).
Zuerst eine faire Münze werfen (Experiment 1) und dann wieder die gleiche Münze werfen (Experiment 2). Also 2-mal eine faire Münze werfen.
Zuerst eine faire Münze werfen (Experiment 1) und dann wieder die gleiche Münze werfen (Experiment 2) und dann wieder die gleiche Münze werfen (Experiment 3). Also 3-mal eine faire Münze werfen.
Zuerst eine Kugel zufällig aus einer Box mit 3 roten, 2 gelben und 2 blauen Kugeln ziehen (Experiment 1), zurücklegen, und dann nochmals eine Kugel aus der gleichen Box zufällig ziehen. Also 2-mal eine Kugel zufällig aus einer Box ziehen, mit zurücklegen.
Gleich in in (4) aber ohne zurücklegen der Kugel.

Note 1

Beachte, dass wir die Ergebnisse in mehrstufigen Zufallsexperimenten normalerweise als Sequenz der Ergebnisse der Einzelergebnisse angeben. In Beispiel 1.1 oben wäre also "1K" ein mögliches Ergebnis, und bedeutet "eine 1 gefolgt von Kopf".

Exercise 1

Bestimme für die Beipiele oben den Ereignisraum der mehrstufigen Zufallsexperimente, und auch die Wahrscheinlichkeiten für jedes der einzelnen Experimente in den Mehrstufigen Zufallsexperimenten.

Solution

$S=\{1Z,2Z,3Z,4Z,5Z,6Z,1K,2K,3K,4K,5K,6K\}$

$p(1)=...=p(6)=\frac{1}{6}, p(K)=p(Z)=\frac{1}{2}$
$S=\{ZZ,ZK,KZ,KK\}$ , $p(K)=p(Z)=\frac{1}{2}$ für beide Experiment.

Betrachte nun das mehrstufige Zufallsereingis "2-mal werfen einer fairen Münze". Die möglichen Ergenisse sind also $S=\{KK, KZ,ZK, ZZ\}$ . Um die Wahrscheinlichkeit dieser Ergebnisse zu bestimmen, also $p(KK), P(KZ), p(ZK), p(ZZ)$ , beachte das Diagramm unten:

Wir sehen vom Diagramm, dass eine Baumstruktur hilft, das mehrstufige Experiment zu representatieren, und auch die Wahrscheinlichkeit für $KK$ gegeben ist durch

p(KK)=p(K)\cdot p(K|K) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

wobei

$p(K)=\frac{1}{2}$ die Wahrscheinlichkeit für Kopf im 1. Wurf ist.
$p(K|K)=\frac{1}{2}$ die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist, wenn im ersten Wurf ein Kopf erschienen ist. Wir nennen $p(K|K)$ eine bedingte Wahrscheinlichkeit. Da die Wahrscheinlichkeit für Kopf im 2. Wurf unabhangingig davon ist, ob der erste Wurf Kopf oder Zahl zeigt (daher das erste Experiment ist unabhängig vom zweiten Experiment), ist diese Wahrscheinlichkeit ebenfalls $\frac{1}{2}$ . Die Wahrscheinlichkeiten des 2. Experiments verändern sich also nicht, wenn das erste Experiment ausgeführt wird.
Wir werden später mehrstufige Zufallsexperimente kennenlernen, wo die Wahrscheinlichkeiten des 2. Experiments sich ändern können, je nach dem was der Ausgang des ersten Experiments ist (das 2. Experiment ist also abhängig vom 1. Experiment). In dem Fall verändern sich also die Wahrscheinlichkeiten des 2. Experiments, wenn das 1. Experiment ausgeführt wird.

Im Beispiel open multiplizieren wir die sogenannten Ast Wahrscheinlichkeiten $p(K)$ und $p(K|K)$ miteinander, um die Wahrscheinlichkeit für das Ergebnis des mehrstufigen Ergebnisses $KK$ zu erhalten. Oder mit anderen Worten, wir multiplizieren die Astwahrscheinlicheiten des Pfades "Start $\rightarrow K \rightarrow K$ " im Baum. In der Tat gilt diese Multiplikationsregel für alle Pfade im Baum (und auch für alle anderen mehrstufigen Zufallsexperimente):

\begin{array}{lllllll} p(KZ)&=&p(K)\cdot p(Z|K)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} &=& \frac{1}{4}\\[0.3em] p(ZK)&=&p(Z)\cdot p(K|Z)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} &=& \frac{1}{4}\\[0.3em] p(ZZ)&=&p(Z)\cdot p(Z|Z)&=& \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} &=& \frac{1}{4}\\ \end{array}

Exercise 2

Stelle die anderen mehrstufigen Zufallsexperimente im Beispiel 1 ebenfalls als Bäume dar, und bestimme die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse mit Hilfe der Multiplikationsregel für Pfade. Sind alle Experimente in den mehrstufigen Zufallsexperimenten unabhängig voneinander?

Exercise 3

Eine Münze mit $p(K)=0.4$ wird dreimal geworfen. Bestimme die Wahrscheinlickeit für

das Ergebnis "KZK"
das Ereignis "2-mal Kopf und 1-mal Zahl"