Operationen und Relationen

F1

Betrachte die Vektoren

und den Punkt $A(1|2|3)$.

1. Gebe den Punkt $A$ in einem 3d-Koordinatensystem an.
2. Zeichne den Ortsvektor von $A$ und bestimme seine Komponenten.
3. Zeichne die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
4. Zeichne die folgenden Vektoren mit Hilfe einer Konstruktion: $1.5 \vec{a}$, $-2 \vec{a}$, $\vec{a}+2\vec{b}$, $2\vec{a}-\vec{b}$.
5. Zeichne einen Vektor, der:
   • identisch zu $\vec{b}$ ist
   • kollinear zu $\vec{b}$ ist
   • orthogonal zu $\vec{b}$ ist
6. Bestimme den Betrag von $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
7. Bestimme das Skalarprodukt von $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
8. Bestimme den Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
9. Bestimme das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) von $\vec{a}$ und $\vec{b}$. Zeige, dass der erhaltene Vektor orthogonal ist zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$.

F2

Betrachte die Vektoren

und die Punkte $A(1|0|3)$ und $B(0|1|-2)$.

1. Bestimme die Komponenten der Summe von Vektoren oder der Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar: $1.5 \vec{a}$, $-2 \vec{a}$, $\vec{a}+2\vec{b}$, $2\vec{a}-\vec{b}$.
2. Bestimme den Betrag der Vektoren $3 \vec{a}$, und $\vec{a}+\vec{b}$.
3. Der Punkt $P(1|2|-3)$ wird entlang des Vektors $\vec{a}$ verschoben. Wie lauten die Koordinaten des verschobenen Punktes?
4. Bestimme den Winkel zwischen $\vec{a}$ und $\vec{b}$.
5. Sind die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gleich, kollinear oder orthogonal?
6. Bestimme einen Vektor, der kollinear zu $\vec{a}$ ist.
7. Bestimme einen Vektor, der orthogonal zu $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist.
8. Ist $\vec{a}$ ein Einheitsvektor? Falls nicht, finde einen Einheitsvektor von $\vec{a}$.
9. Finde alle Vektoren, die parallel zu $\vec{b}$ sind und die Länge $10$ haben.
10. Bestimme den Vektor von A nach B.
11. Bestimme die kürzeste Strecke von $A$ nach $B$.

F3

Betrachte die Punkte $A(1|3|2)$, $B(0|-1|4)$ und $C(1|1|2)$ und die Vektoren

1. Finde den Richtungsvektor der Geraden, welche durch die Punkte $A$ und $C$ geht.
2. Finde einen weiteren Punkt auf der Geraden, welche durch $A$ geht und die Richtung $\vec{u}$ hat.
3. Bestimme den Normalenvektor der Ebene, welche die Punkte $A$, $B$ und $C$ enthält.
4. Finde zwei weitere Punkte auf der Ebene, welche durch den Punkt $A$ geht und den Normalenvektor $\vec{u}$ besitzt.
5. Liegt der Punkt $P(0|2|2)$ auf der durch $A$ und $B$ gegebenen Geraden?
6. Liegt der Punkt $P(-1|-5|6)$ auf der Geraden, welche durch $A$ und $B$ geht?
7. Liegt der Punkt $P(\frac{2}{3}|1|\frac{8}{3})$ auf der Ebene, welche die Punkte $A$, $B$ und $C$ enthält?
8. Liegt der Punkt $P(\frac{1}{3}|1|\frac{4}{3})$ auf der Ebene, welche die Punkte $A$, $B$ und $C$ enthält?
9. Finde den Punkt $P$, der sich in der Mitte zwischen der Strecke von $B$ nach $C$ befindet.
10. Bestimme den Schwerpunkt des Dreiecks $ABC$.
11. Bestimme den Winkel bei $A$ des Dreiecks $ABC$.
12. Bestimme den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC$.

F4

Betrachte die drei Punkte $A(0|1|0), B(4|-2|1)$ und $C(-2|3|2)$.

1. Die Gerade $g$ geht durch $A$ und $B$. Bestimme die Geradengleichung.
2. Zeige mit dieser Gleichung, dass $C$ nicht auf $g$ liegt.
3. Bestimme die Normalengleichung der Ebene $E$, welche die Punkte $A$, $B$ und $C$ enthält.
4. Zeige mit der Normalengleichung, dass der Punkt $P(1|1|1)$ nicht in der Ebene liegt.

Show

A1

A2

A3

A4

1. $g$ geht durch $A(0|1|0)$ und hat einen Richtungsvektor

   $$\vec v = \overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{ccc} 4 \\ -3 \\ 1\end{array}\right)$$

   Die Gleichung der Geraden lautet also

   $$\underline{\left(\begin{array}{ccc} x \\ y \\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} 4 \\ -3 \\ 1\end{array}\right)}$$

   Daher, jeder Punkt $P(x|y|z)$ liegt auf $g$, wenn es ein $c$ gibt, so dass die obige Gleichung erfüllt ist.

2. Gibt es ein $c$ mit

   $$\left(\begin{array}{ccc} -2 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+c\cdot \left(\begin{array}{ccc} 4 \\ -3 \\1\end{array}\right)\, ?$$

   Daher, gibt es ein $c$ mit

   $$\begin{array}{rll} -2 &=&0+4c\\ 3 &=&1-3c\\ 2 &=&0+c\\ \end{array}$$

   Offensichtlich nicht, also $\underline{C\not\in g}$.

3. Ein Normalenvektor von $E$ ist

   $$\vec n = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}= \left(\begin{array}{ccc} -8 \\ -10 \\ 2\end{array}\right)$$

   Die Normalgleichung lautet also

   $$-8x-10y+2z=d$$

   Um $d$ zu finden, setzt man einen beliebigen Punkt in die Gleichung ein, der in $E$ liegt, z.B. $A(0|1|0)$. Wir erhalten

   $$-8\cdot 0-10\cdot 1+2\cdot 0 = d \rightarrow d=-10$$

   Oder wie wäre es mit dem Einfügen von $B(4|-2|1)$:

   $$-8\cdot 4-10\cdot (-2)+2\cdot 1 = d \rightarrow d=-10$$

   Oder $D(-2|3|2)$

   $$-8\cdot (-2)-10\cdot 3+2\cdot 2 = d \rightarrow d=-10$$

   In der Tat erfüllt jeder Punkt $(x|y|z)$ in $E$ die Normalengleichung

   $$\underline{-8x-10y+2z=-10}$$

4. Zeige anhand der Normalengleichung, dass der Punkt $P(1|1|1)$ nicht in der Ebene $\underline{P\not\in E}$ liegt, denn wenn wir die Koordinaten in die Normalengleichung einsetzen, erhalten wir nicht $6$:

   $$-8\cdot 1-10\cdot 1+2\cdot 1=-16 \neq -10$$