Schnittpunkte und kürzeste Distanz

Exercise 1: Gerade und Ebene: Schnittpunkte und Parallelität

Die Gerade gg geht durch den Punkt A(2∣1∣1)A(2|1|1) und hat die Richtung v⃗=(431)\vec{v}=\left(\begin{array}{ccc} 4 \\ 3 \\ 1\end{array}\right). Die Ebene EE geht durch den Punkt B(11∣0∣0)B(11|0|0) und hat den Normalenvektor u⃗=(1−22)\vec{u}=\left(\begin{array}{ccc} 1 \\ -2 \\ 2\end{array}\right).

  1. Finde den Schnittpunkt von gg mit der xyxy-Ebene.

  2. Finde die Schnittpunkte der xx-Achse, yy-Achse und zz-Achse mit der Ebene EE.

  3. Ist gg parallel zu EE. Wenn ja, enthält EE gg?

Solution

  1. Schnittpunkt P(−2∣−2∣0)‾\underline{P(-2|-2|0)}

  2. Schnittpunkt mit xx-Achse: B‾\underline{B}, mit yy-Achse: R(0∣−5.5∣0)‾\underline{R(0|-5.5|0)}, mit zz-Achse: S(0∣0∣5.5)‾\underline{S(0|0|5.5)}

  3. gg ist parallel zu EE, wenn v⃗⊥u⃗\vec v \perp \vec u, was tatsächlich der Fall ist (wegen v⃗∙u⃗=0\vec v \bullet \vec u=0).

    Um zu zeigen, dass gg in EE liegt oder nicht liegt, nimmt man einen Punkt auf gg und zeigt, dass dieser Punkt in EE liegt oder nicht. Nehmen wir zum Beispiel den Punkt AA, der auf gg liegt. Da BA→⊥̸u⃗\overrightarrow{BA} \not\perp \vec u ist AA nicht in EE, und somit ist gg nicht in EE.

    Um zu zeigen, dass AA in der Ebene EE liegt, könnten wir auch die Normalengleichung (oder Normalengleichung) von EE bestimmen, und AA einsetzen.

Exercise 2: Relative Lage zweier Geraden

Die Gerade gg geht durch die Punkte A(1∣2∣−1)A(1|2|-1) und B(11∣−2∣−7)B(11|-2|-7), und die Gerade hh geht durch die Punkte C(2∣−1∣−3)C(2|-1|-3) und D(9∣−10∣3)D(9|-10|3). Bestimme die relative Lage dieser Geraden zueinander, d.h. sind sie parallel, windschief oder schneiden sie sich? Falls sie sich schneiden, bestimme den Schnittpunkt.

Solution

Versuche, den Schnittpunkt P(x∣y∣z)P(x|y|z) zwischen den beiden Geraden zu finden. Aus P∈gP\in g folgt

x=10s+1y=−4s+2z=−6s−1\begin{array}{lll} x&=&10s+1\\ y&=&-4s+2\\ z&=&-6s-1\\ \end{array}

für einen bestimmten Wert ss, und wegen P∈hP\in h folgt

x=7t+2y=−9t−1z=6t−3\begin{array}{lll} x&=&7t+2\\ y&=&-9t-1\\ z&=&6t-3\\ \end{array}

für irgendeinen Wert tt. Wir müssen also das folgende Gleichungssystem lösen

10s+1=7t+2−4s+2=−9t−1−6s−1=6t−3\begin{array}{lll} 10s+1&=&7t+2\\ -4s+2&=&-9t-1\\ -6s-1&=&6t-3\\ \end{array}

Löse nach ss und tt auf und berechne mit jedem Wert die Koordinaten xx, yy und zz von PP. Wenn sich die Linien schneiden, sollten beide Punkte die gleichen Koordinaten haben. In diesem Fall ist das aber nicht der Fall, also schneiden sich die Linien nicht. Und da die Geraden auch nicht parallel sind (es gibt kein cc mit AB→=c⋅CD→\overrightarrow{AB}=c\cdot \overrightarrow{CD}), müssen sie windschief sein.

Exercise 3: Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden

Die Gerade gg geht durch die Punkte A(−1∣4∣0)A(-1|4|0) und B(2∣2∣1)B(2|2|1), und die Gerade hh geht durch die Punkte C(4∣4∣−1)C(4|4|-1) und D(2∣7∣−3)D(2|7|-3). Schneiden sie sich? Wenn ja, finden Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.

Solution

Um den Schnittpunkt zu finden, müssen wir das folgende Gleichungssystem lösen

3t−1=−2s+4−2t+4=3s+4t=−2s−1\begin{array}{lll} 3t-1&=&-2s+4\\ -2t+4&=&3s+4\\ t&=&-2s-1\\ \end{array}

Wir erhalten s=−2s=-2 und t=3t=3. Der Schnittpunkt ist P(8∣−2∣3)‾\underline{P(8|-2|3)}. Für den Schnittwinkel α\alpha gilt

cos⁡(α)=−1414⋅17\cos(\alpha)=\frac{-14}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{17}}

und somit α=155.16∘‾\alpha=\underline{155.16^\circ}.

Exercise 4: Schnittpunkt und Schnittwinkel von Gerade und Ebene

Die Gerade gg geht durch die Punkte A(4∣−2∣1)A(4|-2|1) und B(−2∣−8∣0)B(-2|-8|0). Die Ebene EE enthält die Punkte U(0∣0∣−8)U(0|0|-8), V(0∣9∣0)V(0|9|0) und W(3∣0∣0)W(3|0|0). Finde den Schnittpunkt zwischen gg und EE, und auch den Schnittwinkel.

Solution

Ein Richtungsvektor von gg ist

v⃗=(−6−6−1)\vec{v}=\left(\begin{array}{rrr} -6 \\ -6 \\ -1\end{array}\right)

Ein Normalenvektor von EE ist

n⃗=UV→×UW→=(7224−27)\vec{n}=\overrightarrow{UV} \times \overrightarrow{UW} =\left(\begin{array}{ccc} 72 \\ 24 \\ -27\end{array}\right)

Für jeden Punkt P∈EP \in E gilt

UP→⊥n⃗\overrightarrow{UP}\perp \vec n

oder alternativ muss PP die folgende Normalengleichung (oder Normalengleichung) erfüllen

72x+24y−27z=d72x+24y-27z=d

Wir finden dd, indem wir in die Gleichung irgend einen bekannten Punkt einsetzen, der in EE liegt, z.B. U(0∣0∣−8)U(0|0|-8):

72⋅0+24⋅0−27⋅(−8)=d→d=21672\cdot 0+ 24\cdot 0 - 27\cdot (-8) =d \rightarrow d=216

Sei P(x∣y∣z)P(x|y|z) der Schnittpunkt. Aufgrund von P∈gP\in g folgt

x=−6s+4y=−6s−2z=−s+1\begin{array}{lll} x&=&-6s+4\\ y&=&-6s-2\\ z&=&-s+1\\ \end{array}

Und wegen P∈EP\in E folgt, dass

UP→∙n⃗=0\overrightarrow{UP}\bullet \vec n =072x+24y−27(z+8)=072x+24y-27(z+8)=072x+24y−27z=21672x+24y-27z=216

(Beachten Sie, dass die letzte Gleichung einfach die normale Gleichung von oben ist).

Setzt man x=−6s+4,y=−6s−2,z=−s+1x=-6s+4, y=-6s-2, z=-s+1 in die obige Gleichung ein, erhält man s=−1183s=-\frac{1}{183}. Der Schnittpunkt ist also P(4.03∣−1.97∣1.01)‾\underline{P(4.03 |-1.97 | 1.01)}.

Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene, und dem Richtungsvektor der Gerade, also

cos⁡(α)=n⃗∙v⃗∣n⃗∣⋅∣v⃗∣=−0.798\cos(\alpha)=\frac{\vec{n}\bullet\vec{v}}{|\vec{n}|\cdot|\vec{v}|}=-0.798

Es folgt α=cos⁡−1(0.798)=142.9∘‾\alpha=\cos^{-1}(0.798)=\underline{142.9^\circ} (oder 37.1∘37.1^\circ).

Exercise 5: Abstand Punkt zu Gerade und Punkt zu Ebene

Die Gerade gg geht durch die Punkte A(1∣1∣0)A(1|1|0) und B(0∣0∣1)B(0|0|1). Die Ebene EE enthält die Punkte AA, BB und den Ursprung. Der Punkt PP hat die Koordinaten P(2∣−2∣2)P(2|-2|2).

  1. Bestimme den kürzester Abstand zwischen dem Punkt P und g.

  2. Bestimme den kürzesten Abstand zwischen P und E.

Solution
  • Bezeichne mit S(x∣y∣z)S(x|y|z) den Punkt auf gg, der PP am nächsten liegt. Dies ist der Fall, wenn PS→⊥AB→\overrightarrow{PS}\perp \overrightarrow{AB}, d.h. wenn −(x−2)−(y+2)+(z−2)=0-(x-2)-(y+2)+(z-2)=0 Aus S∈gS \in g folgt x=−t+1y=−t+1z=t\begin{array}{lll} x&=&-t+1\\ y&=&-t+1\\ z&=&t\\ \end{array} Setzt man x,yx, y und zz in die erste Gleichung ein, erhält man s=43s=\frac{4}{3} und damit S(−13∣−13∣43)S(-\frac{1}{3}|-\frac{1}{3}| \frac{4}{3}). Der kürzeste Abstand ist d(P,g)=∣PS→∣=263‾d(P,g)=|\overrightarrow{PS}|=\underline{\sqrt{\frac{26}{3}}}
  • Ein Normalenvektor von EE ist n⃗=(1−10)\vec{n}=\left(\begin{array}{ccc} 1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right) Suchen wir den Punkt S(x∣y∣z)S(x|y|z) auf EE, der am nächsten zu PP liegt. Wir finden SS als Schnittpunkt von EE mit der Geraden gg, die orthogonal zu EE ist und durch PP geht. Ein Richtungsvektor von gg ist also n⃗\vec n (v⃗=n⃗\vec v=\vec n). Aus S∈gS\in g folgt x=t+2y=−t−2z=2\begin{array}{lll} x&=&t+2\\ y&=&-t-2\\ z&=&2\\ \end{array} Aus S∈ES \in E folgt (weil der Ursprung 00 in EE liegt), dass 0S→⊥n⃗\overrightarrow{0S} \perp \vec n ist, also x−y+0z=0x-y+0z=0 (die gleiche Gleichung erhalten wir, wenn wir die Normalengleichung verwenden). Setzt man x=t+2,y=−t−2,z=2x=t+2, y=-t-2, z=2 in die obige Gleichung ein, erhält man t=−2t=-2 und damit S(0∣0∣2)S(0|0|2). Der kürzeste Abstand ist d(P,E)=∣PS→∣=8‾d(P,E)=|\overrightarrow{PS}|=\underline{\sqrt{8}}