Winkel Zwischen Geraden

Gegeben seien zwei Geraden mit den Steigungen $m_1$ und $m_2$. Eine Gerade mit Steigung $m$ schließt mit der positiven $x$-Achse einen Winkel $\varphi$ ein, sodass gilt: $m = \tan(\varphi)$.

Damit folgt für die beiden Geraden: $m_1 = \tan(\varphi_1)$ und $m_2 = \tan(\varphi_2)$.

Der Winkel $\alpha$ zwischen den beiden Geraden ist die Differenz ihrer Richtungswinkel: $\alpha = |\varphi_1 - \varphi_2|$.

Wir betrachten den Tangens dieses Winkels: $\tan(\alpha) = \tan(|\varphi_1 - \varphi_2|)$.

Da für den Tangens gilt $\tan(|x|) = |\tan(x)|$, erhalten wir: $\tan(\alpha) = \left| \tan(\varphi_1 - \varphi_2) \right|$.

Nun verwenden wir die Tangens-Differenzformel: $\tan(A - B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \cdot \tan B}$.

Mit $A = \varphi_1$ und $B = \varphi_2$ folgt: $\tan(\varphi_1 - \varphi_2) = \dfrac{\tan(\varphi_1) - \tan(\varphi_2)}{1 + \tan(\varphi_1)\tan(\varphi_2)}$.

Durch Einsetzen der Steigungen ergibt sich: $\tan(\varphi_1 - \varphi_2) = \dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}$.

Durch Bildung des Betrags erhalten wir schließlich: $\tan(\alpha) = \left| \dfrac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right|$.

Damit ist die Formel für den Winkel zwischen zwei Geraden bewiesen.