Summen und die Sigma-Notation

In der Integralrechnung geht es darum, viele Zahlen zu summieren. Hier ist eine kurze Wiederholung von Summen und ihre Darstellung mit der Sigma-Notation.

Zahlenfolgen

Eine Liste von nn Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge,

a1,a2,...,an\boxed{a_1, a_2, ..., a_n}

wird als Folge bezeichnet, und die Zahlen werden oft Terme oder Glieder genannt. Diese Zahlen können völlig willkürlich sein, wie z. B.

−2,100.1,−23.243,2/3,10000.01-2,100.1, -23.243, 2/3, 10000.01

(hier ist es n=5n=5). Wir interessieren uns hier aber vor allem für Folgen, deren Terme sich aus einer Regel ergeben, z. B. "die ersten sieben geraden Zahlen":

2,4,6,8,10,12,142,4,6,8,10,12,14

In diesem Fall könnten wir auch schreiben

ak=2k, wobei k=1,2,...,7a_k = 2k, \text{ wobei } k=1,2,...,7

Mit dieser Formel haben wir also

a1=2⋅1=2a2=2⋅2=4a3=2⋅3=6a4=2⋅4=8a5=2⋅5=10a6=2⋅6=12a7=2⋅7=14\begin{array}{lll} a_1 & = & 2\cdot 1 = 2\\ a_2 & = & 2\cdot 2 = 4\\ a_3 & = & 2\cdot 3 = 6\\ a_4 & = & 2\cdot 4 = 8\\ a_5 & = & 2\cdot 5 = 10\\ a_6 & = & 2\cdot 6 = 12\\ a_7 & = & 2\cdot 7 = 14\\ \end{array}

Der Buchstabe kk in der Folge aka_k wird als Index bezeichnet. Da der Index die Position des Terms in der Folge beschreibt (erster Term, zweiter Term, ....), ist es sinnvoll zu verlangen, dass kk eine natürliche Zahl 1,2,3...1,2,3... ist. Im Prinzip könnten wir die Folge aber auch mit jedem anderen Wert beginnen, z. B.

a4,a5,a6,...a_4, a_5, a_6,...

oder sogar

a−2,a−1,a0,a1,...a_{-2}, a_{-1}, a_0, a_1, ...

Was wir aber definitiv nicht zulassen, ist ein Index, der keine ganze Zahl ist, wie a∗1.5,a∗2.5,...a*{1.5}, a*{2.5}, ... .

Manchmal haben wir eine Folge

x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n

und verwenden diese als Eingabe für eine Funktion ff, um eine andere Folge zu erzeugen

f(x1),f(x2),...,f(xn)\boxed{f(x_1), f(x_2), ..., f(x_n)}

Sagen wir zum Beispiel, die Folge sei

1,1.5,2,2.5,31, 1.5, 2, 2.5, 3

und die Funktion, die wir anwenden, ist

f(x)=x2f(x)=x^2

Damit erhalten wir die neue Folge

12,1.52,22,2.52,321^2, 1.5^2, 2^2, 2.5^2, 3^2 1,2.25,4,6.25,91, 2.25, 4, 6.25, 9

Hier sind noch ein paar Übungen.

Exercise 1
F1.1

Schreibe die Terme der Folge, die durch die folgende Regel gegeben ist:

  1. ak=k2a_k=k^2\quad (mit k=1,2,...,10k=1,2,...,10)
  2. bn=n+1b_n = n+1\quad (mit n=4,5,...,10n=4,5,...,10)
  3. cl=1/(1−l)c_l = 1/(1-l)\quad (mit l=10,11,...,15l=10,11,...,15)
  4. dk=kd_k=k\quad (mit k=0,...,5k=0,...,5)
  5. ek=2k2+k+1e_k = 2k^2+k+1\quad (mit k=0,1,2k=0,1,2)
F1.2

Finde die Formel, die die folgende Folge erzeugt:

  1. −3,−4,−5-3,-4,-5
  2. 1,3,5,7,91,3,5,7,9
  3. 1,12,13,14,15,16,171, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}, \frac{1}{7}
  4. 10,15,20,25,3010, 15, 20, 25, 30
  5. 2,0.2,0.02,0.002,0.0002,0.000022, 0.2, 0.02, 0.002, 0.0002, 0.00002
  6. 3,6,12,24,483,6,12,24,48
F1.3

Bestimme die neue Folge durch Anwendung der Funktion ff:

  1. 1,2,3,4,51,2,3,4,5 und f(x)=−xf(x)=-x

  2. 1,1.1,1.2,1.3,1.41, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 und f(x)=2x+1f(x)=2x+1

  3. xk=2k x_k=\frac{2}{k}\, (mit k=1,2,...,5k=1,2,...,5)  \,und  f(x)=3x\,f(x)=\frac{3}{x}

Solution
A1.1
  1. 1,4,9,16,25,36,49,64,81,1001,4,9,16,25,36,49,64,81,100 (erste zehn Quadrate)
  2. 5,6,7,8,9,10,115,6,7,8,9,10,11
  3. 1−9,1−10,1−11,1−12,1−13,1−14\frac{1}{-9},\frac{1}{-10},\frac{1}{-11},\frac{1}{-12},\frac{1}{-13},\frac{1}{-14}
  4. 0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5
  5. 1,4,111,4,11
A1.2

Oft gibt es mehrere Möglichkeiten, hier geben wir nur eine an:

  1. ak=−ka_k=-k\quad (mit k=3,4,5k=3,4,5)
  2. ak=2k+1a_k=2k+1\quad (mit k=0,1,2,3k=0,1,2,3)
  3. ak=1ka_k=\frac{1}{k}\quad (mit k=1,2,..,7k=1,2,..,7)
  4. ak=10+5(k−1)a_k=10+5(k-1)\quad (mit k=1,2,...,5k=1,2,...,5)
  5. ak=2⋅10−ka_k=2\cdot 10^{-k}\quad (mit k=0,1,...,5k=0,1,...,5)
  6. ak=3⋅2ka_k=3\cdot 2^k\quad (mit k=0,1,...,4k=0,1,...,4)
A1.3
  1. −1,−2,−3,−4,−5-1,-2,-3,-4,-5
  2. 3,3.2,3.4,3.6,3.83, 3.2, 3.4, 3.6, 3.8
  3. x1=21=2,x2=22=1,x3=23,x4=24=0.5,x5=25=0.4x_1=\frac{2}{1}=2, x_2=\frac{2}{2}=1, x_3=\frac{2}{3}, x_4=\frac{2}{4}=0.5, x_5=\frac{2}{5}=0.4, f(x1)=32=1.5,f(x2)=31=3,f(x3)=32/3=4.5,f(x4)=30.5=6,f(x5)=30.4=7.5f(x_1)=\frac{3}{2}=1.5, f(x_2)=\frac{3}{1}=3, f(x_3)=\frac{3}{2/3}=4.5, f(x_4)=\frac{3}{0.5}=6, f(x_5)=\frac{3}{0.4}=7.5.

Summieren von Zahlen

Gegeben ist eine Folge von nn Termen

a1,a2,...,ana_1, a_2, ..., a_{n}

Wir verwenden das folgende Symbol, um anzuzeigen, dass wir die Summe (auch Reihe genannt) dieser Terme bilden:

∑k=1nak=a1+a2+...+an\boxed{\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1+a_2+... +a_{n}}

Manchmal sieht man auch die etwas kompaktere Version

Σk=1nak\Sigma_{k=1}^n a_k

Diese Schreibweise nennt man die Sigma-Notation. Das Zeichen Σ\Sigma ("Sigma") ist im griechischen der Grossbuchstabe für "S". Das "k=1k=1" darunter und das "nn" oberhalb des Sigma's geben den Anfangs- und den Endindex der Terme in der Folge an, über die wir die Summe bilden. Wenn wir zum Beispiel die Summe beginnend mit dem zweiten Term und endend mit dem 55-ten Term bilden wollen, schreiben wir

∑k=25ak=a2+a3+a4+a5\sum_{k=2}^{5} a_k = a_2+a_3+a_4+a_{5}
Example 1

Betrachte die Folge

a1=2a2=4a3=5a4=−3a5=1a6=0\begin{array}{lll} a_1 &=& 2\\ a_2 &=& 4\\ a_3 &=& 5\\ a_4 &=& -3\\ a_5 &=& 1\\ a_6 &=& 0\\ \end{array}

Wir haben dann

∑k=16ak=a1+...+a6=2+4+5−3+1+0=9∑k=36ak=a3+...+a6=5−3+1+0=3∑k=23ak=a2+a3=4+5=9∑k=22ak=a2=4\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^6 a_k &=& a_1+...+a_6\\ &=& 2+4+5 -3 + 1 + 0 = 9\\ \sum_{k=3}^6 a_k &=& a_3+...+a_6\\ &=& 5 -3 + 1 + 0 = 3\\ \sum_{k=2}^3 a_k &=& a_2+a_3\\ &=& 4+5 = 9\\ \sum_{k=2}^2 a_k &=& a_2 = 4\\ \end{array}

Wenn die Folge durch eine Regel gegeben ist, schreiben wir diese Regel typischerweise hinter das Sigma. Betrachten Sie zum Beispiel die Folge der ungeraden Zahlen,

ak=2k+1,wobei k=0,1,...a_k = 2k+1,\quad\text{wobei }k=0,1,...

Statt

∑k=09ak=1+3+...+19\sum_{k=0}^9 a_k=1+3+...+19

schreiben wir dann direkt

∑k=09(2k+1)=1+3+...+19\sum_{k=0}^9 (2k+1) = 1+3+...+19

Wenn wir eine Folge haben,

x1,x2,...,xnx_1, x_2, ..., x_n

und darauf eine Funktion ff anwenden, so erhalten wir die Folge

f(x1),...,f(xn)f(x_1), ..., f(x_n)

Wir schreiben dann

∑k=1nf(xk)=f(x1)+f(x2)+...+f(xn)\sum_{k=1}^n f(x_k)= f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)

für die Summierung der Terme der neuen Folge.

Wieder einige Übungen ...

Exercise 2
F3.1

Bestimmen Sie die folgenden Summen:

  1. ∑k=03(10k+1)\sum_{k=0}^3 (10k+1)
  2. ∑u=47u\sum_{u=4}^7 u
  3. ∑s=24(s2+1)\sum_{s=2}^4 (s^2+1)
  4. ∑k=05(−1)k\sum_{k=0}^5 (-1)^k
F3.2

Schreiben Sie mit Hilfe der Sigma-Notation:

  1. 1+2+3+4+5+61+2+3+4+5+6
  2. 4+9+16+254+9+16+25
  3. 1+12+13+141+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}
F3.3

Betrachten Sie die Folge xk=k⋅14x_k=k\cdot \frac{1}{4} für k=0,1,...,4k=0,1,...,4, und die Funktion f(x)=x2f(x)=x^2. Bestimmen Sie die Summe

∑k=13f(xk)\sum_{k=1}^3 f(x_k)
F3.4 (berühmte Summen, Teil 1)

Summe der ersten nn natürlichen Zahlen. Beweise mit Hilfe des Bilds unten, dass

∑k=1nk=1+2+3+...+n=n(n+1)2\sum_{k=1}^{n} k = 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}
F3.5 (berühmte Summen, Teil 2)

Die Summe der ersten nn Quadratzahlen. Beweise mit Hilfe Bilds unten, dass

∑k=1nk2=12+22+32+...+n2=n(n+1)(2n+1)6\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Solution
A3.1
  1. ∑k=03(10k+1)=1+11+21+31=64‾\sum_{k=0}^3 (10k+1)=1+11+21+31=\underline{64}
  2. ∑u=47u=4+5+6+7=22‾\sum_{u=4}^7 u = 4+5+6+7=\underline{22}
  3. ∑s=24(s2+1)=5+10+17=32‾\sum_{s=2}^4 (s^2+1)=5+10+17=\underline{32}
  4. ∑k=05(−1)k=1−1+1−1+1−1=0‾\sum_{k=0}^5 (-1)^k=1-1+1-1+1-1=\underline{0}
A3.2
  1. 1+2+3+4+5+6=∑k=16k1+2+3+4+5+6=\sum_{k=1}^6 k
  2. 4+9+16+25=∑k=25k24+9+16+25=\sum_{k=2}^5 k^2
  3. 1+12+13+14=∑k=141k1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\sum_{k=1}^4 \frac{1}{k}
A3.3
∑k=13f(xk)=f(14)+f(24)+f(34)=(14)2+(12)2+(34)2=78‾\begin{array}{lll} \sum_{k=1}^3 f(x_k) &= & f(\frac{1}{4})+f(\frac{2}{4})+f(\frac{3}{4})\\ & = & \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{3}{4} \right)^2\\ &=&\underline{\frac{7}{8}} \end{array}
A3.4

Siehe Bild. Die Anzahl Quadrate im Bild ist

1+2+3+4+51+2+3+4+5

und beachte, dass

n22+n2=n2+n2=n(n+1)2\begin{array}{lll}\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2} &= &\frac{n^2+n}{2}\\ &=&\frac{n(n+1)}{2}\\ \end{array}
A3.5

Siehe Bild. Die Anzahl Würfel im Bild ist

12+22+321^2+2^2+3^2

und beachte, dass

13n(n+1)(n+12)=n(n+1)3⋅(n+12)⋅22=n(n+1)3⋅2(n+12)2=n(n+1)3⋅2n+12=n(n+1)(2n+1)6\begin{array}{lll} \frac{1}{3}n(n+1)(n+\frac{1}{2}) &= &\frac{n(n+1)}{3}\cdot (n+\frac{1}{2})\cdot\frac{2}{2}\\ &= &\frac{n(n+1)}{3}\cdot \frac{2(n+\frac{1}{2})}{2}\\ &=& \frac{n(n+1)}{3}\cdot \frac{2n+1}{2}\\ &=& \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ \end{array}