Quadrat und Quadratwurzel einer Zahl

Es gibt noch andere Arten von Gleichungen, nicht-lineare Gleichungen, die wir ebenfalls lösen können. Aber bevor wir einige davon besprechen können, müssen wir das Quadrat und die Quadratwurzel einer Zahl kurz repetieren.

Das Quadrat einer Zahl

Das Quadrat einer Zahl aa, geschrieben

a2a^2

(also aa zum Quadrat, oder aa hoch 22) ist einfach definiert als die Multiplikation von aa mit sich selbst:

a2=a⋅a\boxed{a^2= a\cdot a}

und

ca2=c⋅a⋅a\boxed{ca^2=c\cdot a\cdot a}

Zum Beispiel,

32=93^2=9

weil 32=3⋅33^2=3\cdot 3 und

4⋅32=364\cdot 3^2=36

weil 4⋅32=4⋅3⋅34\cdot 3^2=4\cdot 3\cdot 3. Insbesondere, da −32=−1⋅32-3^2=-1\cdot 3^2 erhalten wir, dass

−32=−9-3^2=-9

Beachte auch, dass wir Klammern verwenden müssen, wenn wir einen Bruch quadrieren wollen:

(25)2=2525=2⋅25⋅5=425\left(\frac{2}{5}\right)^2=\frac{2}{5}\frac{2}{5}=\frac{2\cdot 2}{5\cdot 5}=\frac{4}{25}

Ohne Klammer lesen wir den Ausdruck wie folgt:

252=2⋅25=45\frac{2}{5}^2=\frac{2\cdot 2}{5}=\frac{4}{5}
Exercise 1

Berechne

  1. 3+423+4^2

  2. 3+2⋅423+2\cdot 4^2

  3. 4⋅524\cdot 5^2

  4. (32)2\left(3^2\right)^2

  5. 2(−3)22(-3)^2

  6. 2−322-3^2

  7. 562\frac{5}{6}^2

  8. (79)2\left(\frac{7}{9}\right)^2

Solution

Aufgabe 1:

  1. 3+42=3+16=193+4^2=3+16=19
  2. 3+2⋅42=3+2⋅16=3+32=353+2\cdot 4^2=3+2\cdot 16=3+32=35
  3. 4⋅52=4⋅25=1004\cdot 5^2=4\cdot 25=100
  4. (32)2=92=81\left(3^2\right)^2=9^2=81
  5. 2(−3)2=2⋅9=182(-3)^2=2\cdot 9=18
  6. 2−32=2−9=−72-3^2=2-9=-7
  7. 562=256\frac{5}{6}^2=\frac{25}{6}
  8. (79)2=4981\left(\frac{7}{9}\right)^2=\frac{49}{81}
Exercise 2

Berechne respektive stelle das Resultat ohne Klammern dar.

  1. 2(−3)22(-3)^2

  2. (2a)2(2a)^2

  3. (x+1)2(x+1)^2

  4. (3abc)2(3abc)^2

  5. (5a2)2\left(5a^2\right)^2

Solution

Aufgabe 2:

  1. 2(−3)2=2⋅9=182(-3)^2=2\cdot 9=18
  2. (2a)2=2a⋅2a=2⋅2⋅a⋅a=4a2(2a)^2 =2a\cdot 2a=2\cdot 2\cdot a\cdot a=4a^2
  3. (x+1)2=(x+1)(x+1)=x2+2x+1(x+1)^2=(x+1)(x+1)=x^2+2x+1
  4. (3abc)2=3abc⋅3abc=3⋅3⋅a⋅a⋅b⋅b⋅c⋅c=9a2b2c2\left(3abc\right)^2=3abc\cdot 3abc=3\cdot 3\cdot a\cdot a\cdot b\cdot b\cdot c\cdot c = 9a^2b^2c^2
  5. (5a2)2=5a2⋅5a2=5⋅5⋅a⋅a⋅a⋅a=25a4\left(5a^2\right)^2=5a^2\cdot 5a^2=5\cdot 5\cdot a\cdot a \cdot a\cdot a= 25a^4

Die Quadratwurzel einer Zahl

Die Quadratwurzel (oder einfach nur Wurzel) einer Zahl aa, geschrieben

a\sqrt{a}

ist definiert als der positive Wert, dessen Quadrat aa ist:

a=b if b2=a and a≥0\boxed{\sqrt{a}=b\, \text{if } b^2=a \text{ and } a\geq 0}

Ein Beispiel,

9=3\sqrt{9}=3

weil 32=93^2=9. Wenn man −3-3 quadriert, erhält man auch 99, aber da wir die Wurzel aus einer Zahl als positive Zahl definieren, wird −3-3 ignoriert.

Beachte auch, dass Wurzel von negativen Zahlen keine Lösung ergeben, da ein Zahl (positiv oder negativ) im Quadrat im grösser null ist. Also die Wurzel von −9\sqrt{-9} hat keine Lösung.

Exercise 3

Falls möglich, berechne die Wurzeln:

  1. 25\sqrt{25}

  2. 121\sqrt{121}

  3. −4\sqrt{-4}

  4. a2\sqrt{a^2}

  5. 4a2\sqrt{4a^2}

  6. 925\sqrt{\frac{9}{25}}

  7. x2+1\sqrt{x^2+1}

Solution
  1. 25=5\sqrt{25}=5 da 52=255^2=25
  2. 121=11\sqrt{121} = 11 da 112=12111^2=121
  3. −4\sqrt{-4} keine Lösung
  4. a2=a\sqrt{a^2}=a da aa hoch 22 ja a2a^2 ist.
  5. 4a2=2a\sqrt{4a^2}=2a da (2a)2=4a2(2a)^2=4a^2
  6. 925=35\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5} da 35⋅35=925\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{9}{25}
  7. x2+1\sqrt{x^2+1} sicher nicht x+1x+1!!! Dieser Ausdruck lässt sich nicht weiter vereinfachen.

Quadrat und Quadratwurzel heben sich gegenseitig auf

Wird das Quadrat einer Zahl aa genommen und zieht dann die Wurzel aus dem Ergebnis, so erhält man wieder diese Zahl aa:

a2=a\boxed{\sqrt{a^2}=a}

Wir können auch zuerst die Quadratwurzel aus aa ziehen, und wenn wir das Ergebnis quadrieren, erhalten wir wieder aa:

(a)2=a\boxed{\left(\sqrt{a}\right)^2=a}

Also heben sich Quadrat und Quadratwurzel gegenseitig auf.

Zum Beispiel haben wir 42=4\sqrt{4^2}=4 und (4)2=4\left(\sqrt{4}\right)^2=4, wie man schnell überprüfen kann, indem man die linke Seite tatsächlich berechnet:

42=16=4\sqrt{4^2}=\sqrt{16}=4 (4)2=22=4\left(\sqrt{4}\right)^2=2^2=4

Klicken rechts, für einen generellen Beweis.

Show

a2=a\sqrt{\color{green}{a^2}}={\color{red}a}, da in der Tat gilt a2=a2{\color{red}a}^2=\color{green}{a^2}

(a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2=a da für einen Wert bb mit a=b\sqrt{a}=b gelten muss, dass b2=ab^2=a.

Exercise 4

Vereinfache:

  1. (201)2\left(\sqrt{201}\right)^2

  2. 932\sqrt{93^2}

  3. (x2+1)2\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2

  4. (x+1)2\sqrt{(x+1)^2}

  5. 22\sqrt{2}\sqrt{2}

  6. xxxx\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}

Solution
  1. (201)2=201\left(\sqrt{201}\right)^2=201
  2. 932=93\sqrt{93^2}=93
  3. (x2+1)2=x2+1\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2=x^2+1
  4. (x+1)2=x+1\sqrt{(x+1)^2}=x+1
  5. 22=(2)2=2\sqrt{2}\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}\right)^2=2
  6. xxxx=(x)2(x)2=xx=x2\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}\sqrt{x}=\left(\sqrt{x}\right)^2 \left(\sqrt{x}\right)^2 = x x = x^2