Quadratisches Ergänzen

Einen Term der Form x2+bxx^2+bx können wir immer in die folgende Form schreiben:

x2+bx=(x+b2)2−(b2)2\boxed{x^2+bx = (x+\frac{b}{2})^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}

und einen Term der Form x2−bxx^2-bx lässt sich schreiben als

x2−bx=(x−b2)2−(b2)2\boxed{x^2-bx = (x-\frac{b}{2})^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2}

Dieser Prozess nennt sich quadratisch Ergänzen.

Example 1
  • x2+10x=(x+5)2−52=(x+5)2−25x^2+10x = (x+5)^2-5^2=(x+5)^2-25
  • x2−10x=(x−5)2−52=(x−5)2−25x^2-10x = (x-5)^2-5^2=(x-5)^2-25

Wieso geht das?

Wir können uns leicht durch Ausmultiplizieren der rechten Seite davon überzeugen, dass dies stimmt. Zum Beispiel,

(x+5)2−52=x2+2⋅5x+52−52=x2+10x(x+5)^2-5^2 = x^2+2\cdot 5x+5^2-5^2=x^2+10x (x−5)2−52=x2−2⋅5x+52−52=x2−10x(x-5)^2-5^2 = x^2-2\cdot 5x+5^2-5^2=x^2-10x

Wir können uns auch grafisch davon überzeugen. Gezeigt ist das Beispiel für die quadratische Ergänzung von x2+9xx^2+9x:

Exercise 1

Aufgaben: Ergänze quadratisch

  1. x2−3xx^2-3x
  2. 2x2+10x2x^2+10x
  3. −5x2+25x-5x^2+25x
  4. x2−xx^2-x
  5. −x2−x-x^2-x
  6. x2x^2
Show

Lösungen

1.x2−3x=(x−1.5)2−1.52=(x−1.5)2−2.252.2x2+10x=2(x2+5x)=2((x+2.5)2−2.52)=2(x+2.5)2−12.53.−5x2+25x=−5(x2−5x)=−5((x−2.5)2−2.52)=−5(x−2.5)2−31.254.x2−x=x2−1x=(x−0.5)2−0.52=(x−0.5)2−0.255.−x2−x=−(x2+1x)=−(x+0.5)2−0.52)=−(x+0.5)2+0.256.x2=x2+0x=(x+0)2−02=x2\begin{array}{llll} 1. & x^2-3x & = & (x-1.5)^2-1.5^2\\ & & = & (x-1.5)^2-2.25\\ 2. & 2x^2+10x & = & 2(x^2+5x)\\ & & = & 2((x+2.5)^2-2.5^2)\\ & & = & 2(x+2.5)^2-12.5\\ 3. & -5x^2+25x & = & -5(x^2-5x)\\ & & = & -5((x-2.5)^2-2.5^2)\\ & & = & -5(x-2.5)^2-31.25\\ 4. & x^2-x & = & x^2-1x\\ & & = & (x-0.5)^2-0.5^2\\ & & = & (x-0.5)^2-0.25\\ 5. & -x^2-x & = & -(x^2+1x)\\ & & = & -(x+0.5)^2-0.5^2)\\ & & = & -(x+0.5)^2+0.25\\ 6. & x^2 & = & x^2+0x\\ & & = & (x+0)^2-0^2\\ & & = & x^2\\ \end{array}