Relation & Abbildung

Zunächst soll hier auf den allgemeinen Abbildungsbegriff eingegangen werden.

Relation

Personen oder auch Dinge stehen oft in Beziehung. Es gibt verwandtschaftliche oder freundschaftliche Beziehungen. Manche Beziehungen lassen sich graphisch darstellen und mathematisch beschreiben. Im Folgenden werden Menge und Beziehungen zwischen ihren Elementen betrachtet.

Example 1

Es gibt eine Beziehung, in der Mathematik sagt man Relation, zwischen den Mitgliedern dieser Klasse und den möglichen Freifächern, welche Angeboten werden.

Definition 1: Relation

Unter einer Relation $R$ zwischen den Elementen der Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ versteht man eine beliebige Beziehung (Zuordnung), wodurch jedem Element $x\in\mathbb{A}$ kein, genau ein oder mehr als ein Element $y\in\mathbb{B}$ zugeordnet wird. Man schreibt

R: \mathbb{A} \longrightarrow \mathbb{B}

Example 2

Im obigen Beispiel steht $R$ für "zu einem Klassenmitglied das Freifach zuordnen", $\mathbb{A}$ für die Menge der Schülerinnen und Schüler der Klasse und $\mathbb{B}$ für die Menge der angebotenen Freifächer.

Note 1

Offensichtlich kann jede Relation als Menge von geordneten Paaren $(x \mid y)$ notiert werden. Damit lässt sich der Relationsbegriff auch rein Mengentheoretisch definieren, nämlich via Produktmengen.

Produktmenge

Definition 2: Produktmenge

Die Produktmenge zweier Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ besteht aus sämtlichen geordneten Paaren $(x \mid y)$ mit $x\in\mathbb{A}$ und $y\in\mathbb{B}$ . Man schreibt

\mathbb{A}\times\mathbb{B} = \{(x \mid y) \mid x\in\mathbb{A}\text{ und }y\in\mathbb{B}\}

(lies "A kreuz B")

Example 3

Sind $\mathbb{A}=\{1,2\}$ und $\mathbb{B}=\{a,b,c\}$ , dann ist ihre Produktmenge

\mathbb{A}\times\mathbb{B} = \{(1 \mid a),(1 \mid b),(1 \mid c),(2 \mid a),(2 \mid b),(2 \mid c)\}.

Exercise 1

Ermittle die Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ , falls

\mathbb{A}\times\mathbb{B} = \{(3 \mid 1),(3 \mid 2),(6 \mid 1),(6 \mid 2),(9 \mid 1),(9 \mid 2)\}

Solution

$\mathbb{A}=\{3,6,9\}, \mathbb{B}=\{1,2\}$

Definition 3: Relation

Eine Relation $R$ zwischen den Elementen der Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $\mathbb{A}\times\mathbb{B}$ .

Note 2

Falls die Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ Zahlenmengen sind, können die Paare $(x \mid y)$ als Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem veranschaulicht werden.

Die Darstellung der Relationen in einem rechtwinkligen Koordinatensystem nennt man das Bild oder den Plot der Relation.

Abbildung

Definition 4: Abbildung

Unter einer Abbildung $\alpha$ einer Menge $\mathbb{A}$ in eine Menge $\mathbb{B}$ wird eine Zuordnung verstanden, die jedem Element $x\in\mathbb{A}$ genau ein Element $x'\in\mathbb{B}$ zuordnet. $\alpha(x) = x'$ heisst dann das Bild von $x$ und $x$ ist ein Urbild von $x'$ .

Ein Element aus $\mathbb{B}$ kann kein Urbild, ein Urbild oder mehrere Urbilder haben. In diesem Zusammenhang werden drei spezielle Eigenschaften von Abbildungen unterschieden:

Eine Abbildung heisst injektiv, wenn verschiedene Elemente aus $\mathbb{A}$ verschiedene Bilder haben, mit anderen Worten: Wenn jedes Element in $\mathbb{B}$ höchstens ein Urbild hat.
Hat jedes Element aus $\mathbb{B}$ mindestens ein Urbild, so spricht man von einer surjektiven Abbildung.
Hat jedes Element aus $\mathbb{B}$ genau ein Urbild, so handelt es sich um eine eineindeutige Abbildung von $\mathbb{A}$ auf $\mathbb{B}$ . Eine solche Abbildung heisst auch bijektiv.

Theorem 1

Eine Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie surjektiv und injektiv ist.

Proof

trivial

Example 4

Betrachte die Abbildung $f(x) = x^2$ . Je nach Einschränkung des Definitions- und/oder des Bildbereiches können verschiedene Situationen kreiert werden.

$f_1:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$
$f_2:\mathbb{R}^+_0\longrightarrow\mathbb{R}$
$f_3:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}^+_0$
$f_4:\mathbb{R}^+_0\longrightarrow\mathbb{R}^+_0$

Jede Funktion kann problemlos, d.h. ohne Einschränkung der Funktion, zu einer surjektiven gemacht werden, indem die "überflüssigen" Elemente aus der Bildmenge gestrichen werden. Bei nicht injektiven geht das nicht ohne die Funktion zu beeinträchtigen.

Oft ist es so, dass die Menge $\mathbb{B}$ mit $\mathbb{A}$ zusammenfällt. Man spricht dann von einer Abbildung der Menge A in sich.

Die meisten Funktionen, die du bis jetzt in der Analysis angetroffen hast, sind Abbildungen von Zahlenmengen (meist $\mathbb{R}$ ) in sich. In der Geometrie sind Verschiebung, Spiegelung oder Drehung einer Ebene so geartete Abbildungen. Es sind Abbildungen vom $\mathbb{R}^2$ in sich.

Eine spezielle Abbildung einer Menge $\mathbb{A}$ in sich ist die sogenannte Identität. Sie führt jedes Element in sich selbst über. Sie wird mit $epsilon$ oder häufig allgemein als $\text{id}$ bezeichnen. Es ist die Abbildung bei der nichts passiert, also alles beim Alten bleibt.

Verknüpfung und Inverse

Definition 5: Verknüpfung

Werden zwei Abbildungen $\alpha:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{B}$ und $\beta:\mathbb{B}\longrightarrow\mathbb{C}$ hintereinander ausgeführt, so spricht man von einer Verknüpfung zweier Abbildungen. Es resultiert eine neue Abbildung $\gamma:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{C}$ . Geschrieben:

\gamma = \beta\circ\alpha

Beachte die Reihenfolge!

Ist $\alpha$ eine bijektive Abbildung von $\mathbb{A}$ nach $\mathbb{B}$ , so hat gemäss Definition jedes Element aus $\mathbb{B}$ genau ein Urbild. Es muss damit auch möglich sein, eine neue, "umgekehrte" Abbildung von $\mathbb{B}$ nach $\mathbb{A}$ zu definieren, die jedem Bild der Abbildung $\alpha$ sein Urbild zuordnet. Eine solche Abbildung heisst inverse Abbildung oder Umkehrabbildung von $\alpha$ und wird mit $\alpha^{-1}$ oder $\bar{\alpha}$ bezeichnet.

Theorem 2

Ist $\alpha$ eine bijektive Abbildung so gilt:

\alpha^{-1}\circ\alpha = \text{id}.

Proof

trivial

Example 5

Die Funktion $f(x) = 2x + 6$ ist eine bijektive Abbildung; sie besitzt also eine Umkehrabbildung, nämlich $f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x-3$ .

Exercise 2

Bestätige rechnerisch dieses Beispiel.

Solution

\begin{align*} y &= 2x+6\\ y-6 &= 2x\\ \frac{1}{2}y-3 &= x \end{align*}

$f^{-1}(x) = \frac{1}{2}x-3$ .

Exercise 3: Inverse Drehung

Die Abbildung $\alpha$ bezeichne eine Drehung der Ebene um $30^\circ$ um einen Punkt $Z$ . Auch diese Abbildung ist bijektiv. Die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ ist dann ...

Solution

... die Drehung um $-30^\circ=330^\circ$ um $Z$ .

Exercise 4

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{2}x^2-4x+3$ soll auf einem möglichst grossen Bereich umgekehrt werden.

Solution

Der Scheitel- $x$ -Wert ist bei $x_s=-\frac{-4}{2\cdot\frac{1}{2}}=4$ . Man invertiert einen der beiden Parabeläste: $\mathbb{D}=[4,\infty)$ oder $\mathbb{D}=(-\infty,4]$ .

Exercise 5: injektiv, surjektiv, bijektiv?

a) Es sei $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ die Menge der ganzen Zahlen. Die Abbildung $f$ führe jede Zahl in ihr Doppeltes über. Die Abbildung $f$ ...

b) Es sei $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ die selbe Ebene. Die Abbildung $\alpha$ bezeichne die Verknüpfung einer zentrische Streckung mit dem Faktor $2$ von einen Punkt $Z$ aus und einer Verschiebung (Translation) um den Vektor $\vec{c}$ . Die Abbildung $\alpha$ \dots (i) ist injektiv, (ii) surjektiv, (iii) bijektiv, (iv) besitzt eine inverse Abbildung?

Solution

a) injektiv, keine, falls man auf ganz $\mathbb{Z}$ invertieren muss. Sonst Multiplikation mit $\frac{1}{2}$

b) injektiv, surjektiv, bijektiv; die Inverse ist $-\vec{c}$ verkettet mit einer zentrischen Streckung an $Z$ mit Faktor $\frac{1}{2}$ .

Exercise 6: injektiv, surjektiv, bijektiv? II

Wie oben:

a) $g(x)=x+3$ , mit $\mathbb{A}=\mathbb{B}=\mathbb{R}$ ,

b) $h(x)=x^2$ , mit $\mathbb{A}=\mathbb{R}$ und $\mathbb{B}=\mathbb{R}^+_0$ ,

c) $i(x)=\sqrt{x}$ , mit $\mathbb{A}=\mathbb{R}^+_0$ und $\mathbb{B}=\mathbb{R}$ ,

d) $j(x)=\frac{1}{x}$ , mit $\mathbb{A}=\mathbb{R}^*$ und $\mathbb{B}=\mathbb{R}^*$ ,

e) $\beta:$ Projektion der Ebene auf die x-Achse,

f) $\gamma:\vec{a}\mapsto\frac{1}{|\vec{a}|^2}\cdot\vec{a}$ (Inversion am Einheitskreis)

Solution

a) bijektiv, $g^{-1}(x)=x-3$

b) surjektiv

c) injektiv, $i^{-1}(x)=x^2$

d) bijektiv, $j^{-1}(x)=\frac{1}{x}$

e) surjektiv

f) injektiv für $\mathbb{R}^2\setminus\{(0 \mid 0)\}$