Abbildungen in der Ebene

Im Folgenden werden ausschliesslich Abbildungen einer Ebene $E$ in sich betrachtet. Vorausgesetzt sei zudem, dass in $E$ ein (kartesisches) Koordinatensystem definiert ist.

Definition 1: Abbildung im R2

Unter einer Abbildung einer Ebene $E$ in sich versteht man eine Zuordnung, die jedem Punkt $P\in E$ einen weiteren Punkt $P'\in E$ (das Bild von P) zuordnet. Sind $x$ und $y$ die Koordinaten eines Punktes $P$ , so werden diejenigen seines Bildes $P'$ mit $x'$ und $y'$ bezeichnet.

An ein paar Beispielen soll jetzt erst mal gezeigt werden, wie Abbildungen von $E$ in sich mit rechnerischen Mitteln erfasst werden können.

Zentrische Streckung vom Ursprung aus

Die Streckung $\alpha$ mit dem Zentrum in $O$ und dem Faktor $k \neq 0$ kann folgendermassen beschrieben werden:

Jedem Punkt $P\in E$ wird derjenigen Punkt $P'\in E$ zugeordnet, für den gilt:

\vec{OP'} = k\cdot\vec{OP}.

Der Ortsvektor

\vec{r'} = \vec{OP'} = \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}

von $P'$ ergibt sich, indem der Ortsvektor

\vec{r} = \vec{OP} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

von $P$ mit $k$ multipliziert wird. Die Abbildungsgleichung $\alpha$ kann damit durch ein einfaches System zweier linearer Gleichungen wiedergegeben werden:

\alpha: \begin{cases} \;x' = kx \\ \;y' = & ky \end{cases}

(Abbildung kommentiert)

Exercise 1: Streckung

$\alpha$ sei die Streckung mit dem Zentrum $O$ und dem Streckungsfaktor $\frac{3}{2}$ .

a) Wie heissen die Abbildungsgleichungen von $\alpha$ ?

b) Bestimme das Bild des Punktes $P = (2 \mid 6)$ .

c) Bestimme das Urbild von $Q'=(4.5 \mid -2.1)$ .

d) Bestimme die Gleichungen der Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ .

Solution

\alpha: \begin{cases} \;x'= \frac{3}{2}x \\ \;y'=\frac{3}{2}y \end{cases}

b) $\alpha(2 \mid 6)=(3 \mid 9)$

\alpha^{-1}: \begin{cases} \;x'= \frac{2}{3}x \\ \;y'=\frac{2}{3}y \end{cases}

c) $\alpha^{-1}(4.5 \mid -2.1)=(3 \mid -1.4)$

Translation

Eine Verschiebung $\tau$ in der Ebene um einen Vektor $\vec{v}$ kann folgendermassen beschrieben werden:

Jedem Punkt $P\in E$ wird derjenigen Punkt $P'\in E$ zugeordnet, für den gilt:

\vec{OP'} = \vec{OP}+\vec{v}.

Besitzt der Verschiebungsvektor die Komponenten $\begin{pmatrix}v_x\\ v_y\end{pmatrix}$ , so ergibt sich für die Abbildungsgleichung $au$ das Gleichungssystem:

\tau = \begin{cases}x & \phantom{y} + v_x\\ & y + v_y\end{cases}

Exercise 2

Gegeben sei die Translation

\tau = \begin{cases}x & \phantom{y}+1\\ & y-2\end{cases}

a) Handelt es sich bei $\tau$ um eine Bijektion? Begründe.

b) Gib die Umkehrabbildung $\tau^{-1}$ an.

c) Wird eine Streckung $\alpha$ mit einer Verschiebung $\tau$ verknüpft, so entsteht eine neue Abbildung. Ist die Verknüpfung kommutativ, d.h. gilt

\alpha\circ tau = tau\circ\alpha?

Gib die Abbildungsgleichungen der beiden Verknüpfungsarten $\alpha\circ\tau$ bzw. $\tau\circ\alpha$ an, wobei $\alpha$ die Streckung am Ursprung um den Faktor $k = 3$ und $\tau$ die oben definierte Translation sein soll.

d) Wie lauten die Abbildunsgleichungen einer Streckung mit dem Zentrum $S=(1 \mid 5)$ und dem Streckungsfaktor $k = 3$ ? Bestimme das Bild von $O=(0 \mid 0)$ und $P =(2 \mid -3)$ sowie das Urbild von $Q' =(-5 \mid 8)$ .

e) Allgemein: Wie lauten die Abbildunsgleichungen einer Streckung mit Zentrum $S =(s_x \mid s_y)$ und dem Streckungsfaktor $k$ ?

Solution

a) Ja, beide Komponenten sind affine Funktionen

\tau^{-1}: \begin{cases} \;x' = x-1 \\ \;y' =y+2 \end{cases}

\alpha\circ\tau: \begin{cases} \;x' = (x+1)\cdot3=3x+3 \\ \;y' =(y-2)\cdot3=3y-6 \end{cases}

\tau\circ\alpha: \begin{cases} \;x' = 3x+1 \\ \;y' =3y-2 \end{cases}

\alpha: \begin{cases} \;x' = (x-1)\cdot3+1=3x-2 \\ \;y' =(y-5)\cdot3+5=3y-10 \end{cases}

$\alpha(0 \mid 0) = (-2 \mid -10)$ , $\alpha(2 \mid -3) = (4 \mid -19)$ , $\alpha(-5 \mid 8) = (-1 \mid -6)$

\alpha: \begin{cases} \;x' = (x-s_x)\cdot k+s_x = kx+(1-k)s_x \\ \;y' =(y-s_y)\cdot k+s_y = ky+(1-k)s_y \end{cases}

Spiegelung an den Koordinatenachsen

Soll an einer Koordinatenachse gespiegelt werden, zum Beispiel an der $x$ -Achse, so ändert einfach das Vorzeichen der entsprechenden Koordinate, also hier der $y$ -Koordinate. Für die Abbildungsgleichung $\alpha$ einer Spiegelung ergibt sich dann das Gleichungssystem:

\alpha = \begin{cases}x & \\ & -y\end{cases}

Wird an der $y$ -Achse gespiegelt, so ergibt sich das Gleichungssystem:

\beta = \begin{cases}-x & \\ & y\end{cases}

Exercise 3: Achsenspiegelung

a) Wie lauten die Umkehrabbildungen von $\alpha$ und $\beta$ ?

b) Was für eine Abbildung ergibt sich bei einer Verknüpfung der beiden Achsenspiegelungen und wie lauten ihre Gleichungen?

c) Wie lauten die Abbildungsgleichungen der Spiegelung an der zur $y$ -Achse parallelen Geraden $g: x = 2$ (allgemein: an der Geraden $x = a$ )?

d) Spiegle zuerst an der Geraden $h: y = -1$ und anschliessend an $g$ aus Aufgabe \eqref{item:gerade}. Was für ein Abbildungstyp resultiert? Wie lauten die Abbildungsgleichungen?

e) Gib die Abbildungsgleichungen einer Punktspiegelung am Punkt $(s_x \mid s_y)$ an.

f) Verknüpfe eine Achsen- mit einer Punktspiegelung am Ursprung (in dieser Reihenfolge). Was ergibt sich? Gib die Abbildungsgleichungen an.

g) Gib die Abbildungsgleichungen $\beta\circ\alpha$ an, die bei der Verknüpfung der Streckung $\alpha$ am Ursprung um den Faktor $-2$ und der Spiegelung $\beta$ an der x-Achse entstehen.

Solution

a) $\alpha^{-1}=\alpha$ , $\beta^{-1}=\beta$

b) $\alpha\circ\beta=\beta\circ\alpha= \begin{cases} ;x'= -x \ ;y'=&-y \end{cases}

\alpha: \begin{cases} \;x'= -(x-2)+2=-x+4 \\ \;y'=y \end{cases}

\alpha: \begin{cases} \;x'= -(x-a)+a=-x+2a \\ \;y'=y \end{cases}

d) Punktspiegelung mit Translation

\alpha: \begin{cases} \;x'= -x+4 \\ \;y'=-y-2 \end{cases}

$\alpha(0 \mid 0)=(4 \mid -2)$ , $\alpha(1 \mid 1)=(3 \mid -3)$ , $\alpha(-1 \mid -1)=(5 \mid -1)$ , $\alpha(0 \mid 2)=(4 \mid -4)$ , $\alpha(2 \mid 0)=(2 \mid -2)$

\alpha: \begin{cases} \;x'= -(x-s_x)+s_x=-x+2s_x \\ \;y'=-(y-s_y)+s_y=-y+2s_y \end{cases}

f) Achsenspiegelung

\varphi\circ\alpha: \begin{cases} \;x'= x \\ \;y'=-y \end{cases}

\beta\circ\alpha: \begin{cases} \;x'= -2x \\ \;y'=2y \end{cases}

Scherung an der Koordinatenachse

Untersuche die Abbildung $\gamma$ gegeben durch

\gamma=\begin{cases}\phantom{\frac{3}{2}}x & \\ \frac{3}{2}x&+y\end{cases}

indem du die Urbilder und Bilder von verschiedenen Punkten ins Koordinatenystem einzeichnest und die Abbildung so analysierst.

Definition 2: Scherung

Eine Scherung an der $x$ -Achse kann durch einen so genannten Scherungswinkel $\varphi$ festgelegt werden. Er misst den Winkel zwischen einem abzubildenden Punkt $P$ , seiner Projektion auf der $x$ -Achse und dem Bildpunkt $P'$ , und zwar im Uhrzeigersinn.

Für die Abbildungsgleichung gilt dann:

\alpha = \begin{cases}x & +\;y\cdot\tan(\varphi)\\ & \phantom{\;+}y\end{cases}

Wird $k = \tan(\varphi)$ gesetzt, so ergibt das kurz:

\alpha = \begin{cases}x & +\;ky\\ & \phantom{\;+k}y\end{cases}

Analoge überlegungen führen zur Scherung an der $y$ -Achse (der Scherungswinkel wird dann allerdings im Gegenuhrzeigersinn gemessen):

\beta = \begin{cases}\phantom{k}x & \\ kx&+y\end{cases}

Exercise 4: Scherung

a) Wie lauten die Abbildungsgleichungen der Scherung an der $x$ -Achse mit dem Scherungswinkel $\varphi = -60^\circ$ ?

b) Gib die Umkehrabbildung der gegebenen Scherung an.

c) Gib die Abbildungsgleichungen der Scherung an der zur $x$ -Achse parallelen Geraden $g:y=2$ um den Winkel $\alpha$ an.

Solution

\alpha: \begin{cases} \;x'= x+y\tan(-60^\circ) \\ \;y'=y \end{cases}

\alpha^{-1}: \begin{cases} \;x'= x-y\tan(-60^\circ) \\ \;y'=y \end{cases}

\alpha: \begin{cases} \;x'= x+(y-2)\tan(\varphi)\\ \;y'=y \end{cases}

Exercise 5: Bildpunkte

Berechne die Bildpunkte von

A = (-3 \mid 5)\quad\text{und}\quad B = (2 \mid 11)

bei der

a) Spiegelung an der $y$ -Achse,

b) Drehung um den Ursprung um $180^\circ$ ,

c) Drehung um den Ursprung im Gegenuhrzeigersinn um $90^\circ$ ,

d) Spiegelung an der Winkelhalbierenden der positiven $x$ - und $y$ -Achse.

e) Bestimme das Urbild von $P' = ({-5} \mid {15}$ unter den oben gegebenen Abbildungen.

Solution

a) $A'(3 \mid 5)$ , $B'(-2 \mid 11)$

b) $A'(3 \mid -5)$ , $B'(-2 \mid -11)$

c) $A'(-5 \mid -3)$ , $B'(-11 \mid 2)$

d) $A'(5 \mid -3)$ , $B'(11 \mid 2)$

e) $P_a(5 \mid 15)$ , $P_b(5 \mid -15)$ , $P_c(15 \mid 5)$ , $P_d(15 \mid -5)$

Exercise 6: Abbildungen bestimmen

Gegeben seien die Abbildungen

\alpha=\begin{cases}3x & \\ &3y\end{cases} \beta=\begin{cases}-x&\phantom{y}-4\\ &y\end{cases}

und

\gamma=\begin{cases}-x&\phantom{-y}+6\\ &-y+2\end{cases}

a) Um was für Abbildungen handelt es sich?

b) Gib die Abbildungsgleichungen der folgenden Verknüpfungen an:

$\alpha\circ\beta$
$\beta\circ\alpha$
$\gamma^{-1}$
$\gamma\circ\beta$
$\gamma\circ\beta\circ\gamma^{-1}$

Solution

a) zentrische Streckung am Ursprung mit $k=3$ , Spiegelung an der Geraden $x=-2$ , Punktspiegelung an $Z(3 \mid 1)

\alpha\circ\beta: \begin{cases} \;x'= -3x-12\\ \;y'=3y \end{cases}

\beta\circ\alpha: \begin{cases} \;x'= -3x-4\\ \;y'=3y \end{cases}

\gamma\circ\beta: \begin{cases} \;x'= x+10\\ \;y'=-y+2 \end{cases}

\gamma^{-1}: \begin{cases} \;x'= -x+6\\ \;y'=-y+2 \end{cases}

\gamma\circ\beta\circ\gamma^{-1}: \begin{cases} \;x'= -x+16\\ \;y'=y \end{cases}

Exercise 7: Scherung begutachten

Eine Scherung $\alpha$ an der $x$ -Achse bildet den Punkt $P =(3 \mid 2)$ auf $P' =(5 \mid 2)$ ab.

a) Gib die Koordinaten der Bildpunkte von $Q=(2 \mid -1)$ , $R=(-4 \mid 6)$ und $S=(1 \mid 3)$ an.

b) Stelle die Abbildungsgleichungen von $\alpha$ auf.

c) Gib die Umkehrabbildung $\alpha^{-1}$ dieser Scherung an.

d) Gib die Verknüpfung $\alpha\circ\gamma$ der Scherung $\alpha$ mit der Abbildung $\gamma$ an.

e) Kann die Verknüpfung einer Scherung an der $x$ -Achse mit einer Scherung an der $y$ -Achse wiederum eine Scherung oder gar eine Streckung ergeben?

Solution

\gamma^{-1}: \begin{cases} \;x'= x\\ \;y'= x+y \end{cases}

a) $Q'(2 \mid 1)$ , $R'(-4 \mid 2)$ , $S'(1 \mid 4)$

b) siehe oben

\alpha^{-1}: \begin{cases} \;x'= x\\ \;y'= -x+y \end{cases}

\alpha\circ\gamma: \begin{cases} \;x'= -x+6\\ \;y'= -x-y+8 \end{cases}

\alpha_x: \begin{cases} \;x'= x+ky\\ \;y'= y \end{cases}

\alpha_y: \begin{cases} \;x'= x\\ \;y'= lx+y \end{cases}

\alpha_y\circ\alpha_x: \begin{cases} \;x'= x+ky\\ \;y'= lx+kly+y \end{cases}

nein für $k,l\neq0$