Das Pascalsche Dreieck

Die Fähigkeit, mit Polynomen und Brüchen sicher umzugehen, gehört zu den grundlegendsten Voraussetzungen, um Technik und Anwendungen der Neuzeit verstehen zu können. Als Vertiefung der Polynome und im Hinblick auf das Faktorisieren betrachten wir das Pascalsche Dreieck. Zuerst erinnern wir uns an folgende Binome:

(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2\begin{align*} (a+b)^0 &= 1\\ (a+b)^1 &= a+b\\ (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2 \end{align*}
Example 1

Betrachte

(a+b)3=(a+b)(a+b)2=(a+b)(a2+2ab+b2)=a3+3a2b+3ab2+b3\begin{align*} (a+b)^3 &= (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2+2ab+b^2)\\ &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{align*}

und

(a+b)4=(a+b)2(a+b)2=(a2+2ab+b2)(a2+2ab+b2)=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.\begin{align*} (a+b)^4 &= (a+b)^2(a+b)^2 = (a^2+2ab+b^2)(a^2+2ab+b^2)\\ &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4. \end{align*}

Welche Summanden des Terms (a+b)5(a+b)^5 könntest du «erraten»?

Solution

a5+5a4b+⋯+5ab4+b5a^5+5a^4b+\dots+5ab^4+b^5

Exercise 1: Mit Pascal

Multipliziere aus.

a) (a+b)0(a+b)^0

b) (a+b)1(a+b)^1

c) (a+b)2(a+b)^2

d) (x−y)3(x-y)^3

e) (−u+2v)4(-u+2v)^4

Solution

Man notiert die ersten paar Zeilen des Pascalschen Dreiecks und rechnet:

a) 11

b) a+ba+b

c) a2+2ab+b2a^2+2ab+b^2

d) x3−3x2y+3xy2−y3x^3-3x^2y+3xy^2-y^3

e) 1⋅(−u)4+4(−u)3⋅2v+6(−u)2⋅(2v)2+4(−u)⋅(2v)3+1⋅(2v)4=u4−8u3v+24u2v2−32uv3+16v41\cdot(-u)^4+4(-u)^3\cdot2v+6(-u)^2\cdot(2v)^2+4(-u)\cdot(2v)^3+1\cdot(2v)^4=u^4-8u^3v+24u^2v^2-32uv^3+16v^4

Im Folgenden wird das Dreieck von Blaise Pascal (17. Jhdt.) präsentiert:

Note 1: Das Pascalsche Dreieck

Das Pascalsche Dreieck sieht wie folgt aus:

11111\quad\quad11211\quad\quad2\quad\quad113311\quad\quad3\quad\quad3\quad\quad1146411\quad\quad4\quad\quad6\quad\quad4\quad\quad1151010511\quad\quad5\quad\quad10\quad\quad10\quad\quad5\quad\quad116152015611\quad\quad6\quad\quad15\quad\quad20\quad\quad15\quad\quad6\quad\quad11721353521711\quad\quad7\quad\quad21\quad\quad35\quad\quad35\quad\quad21\quad\quad7\quad\quad1⋮\vdots

Offensichtlich besteht das Dreieck aus lauter 11 am Rand. In jeder folgenden Zeile nimmt die Anzahl der Zahlen um eins zu. Die Zahl in der unteren Zeile ist gleich der Summe der darüberliegenden Zahlen. Wir vergleichen die Zahlen des Pascalschen Dreiecks mit den Termen:

(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4……\begin{align*} (a+b)^0 &= 1\\ (a+b)^1 &= a+b\\ (a+b)^2 &= a^2+2ab+b^2\\ (a+b)^3 &= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ (a+b)^4 &= a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\ \dots &\dots \end{align*}

Die Zahlen in der nn-ten Zeile des Pascalschen Dreiecks — die Nummerierung beginnt bei 00 — entsprechen den Koeffizienten der Summanden des ausmultiplizierten Terms (a+b)n(a+b)^n.

Exercise 2: 🧩

Theoretisch kann man die kk-te Zahl in der nn-ten Zeile auch direkt berechnen. Finde eine Formel.

Solution

Wir denken ans Ausmultiplizieren eines Terms (a+b)n(a+b)^n und welcher Summand wie viele Beiträge bekommt. Seien 0≤k,l≤n0\leq k,l\leq n natürliche Zahlen. Dann kommt der Summand akbla^kb^l genau n(n−1)(n−2)…(n−k+1)k!=n(n−1)(n−2)…(n−l+1)l!\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-l+1)}{l!} vor, da aus nn Faktoren kk bzw. ll kombiniert werden können. Man schreibt

n(n−1)(n−2)…(n−k+1)k!=n!(n−k)!k!=n!k!(n−k)!=:(nk)\frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!}=\frac{\frac{n!}{(n-k)!}}{k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=:\binom{n}{k}

und nennt letzteres einen Binomialkoeffizienten (sprich: «n tief k»).

Note 2

Das Pascal-Dreieck besitzt unter anderem folgende Eigenschaften:

  • In den Diagonalen 1,3,6,10,15,…1,3,6,10,15,\dots liest man die Dreieckszahlen ab.
  • Die Summe der nn-ten Zeile entspricht der Zweierpotenz 2n2^{n}.
  • Das Verhältnis zweier benachbarter Zahlen einer Zeile entspricht dem Verhältnis der Anzahl Zahlen, die links und rechts davon stehen — inklusive der Zahlen selbst.
Exercise 3: Mit Pascal II

Berechne mithilfe des Pascalschen Dreiecks:

a) (x−1)5(x-1)^5

b) (−3+2c)3(-3+2c)^3

c) (y3−2)3(y^3-2)^3

d) (−x−z)4(-x-z)^4

Solution

a) x5−5x4+10x3−10x2+5x−1x^5-5x^4+10x^3-10x^2+5x-1

b) (−3)3+3⋅(−3)2(2c)+3(−3)(2c)2+(2c)3=8c3−36c2+54c−27(-3)^3+3\cdot(-3)^2(2c)+3(-3)(2c)^2+(2c)^3=8c^3-36c^2+54c-27

c) y9−6y6+12y3−8y^9-6y^6+12y^3-8

d) x4+4x3z+6x2z2+4xz3+z4x^4+4x^3z+6x^2z^2+4xz^3+z^4

Exercise 4: Mit Pascal III

Verwende das Pascalsche Dreieck:

a) (3c+d)4(3c + d)^4

b) (e−5f)4(e - 5f)^4

c) (x+2y)5(x + 2y)^5

d) (−m+10)5(-m + 10)^5

e) (k+12)4(k + \frac{1}{2})^4

f) (1−z3)6(1 - z^3)^6

Solution

a) 81c4+108c3d+54c2d2+12cd3+d481c^4 + 108c^3d + 54c^2d^2 + 12cd^3 + d^4

b) e4−20e3f+150e2f2−500ef3+625f4e^4 - 20e^3f + 150e^2f^2 - 500ef^3 + 625f^4

c) x5+10x4y+40x3y2+80x2y3+80xy4+32y5x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5

d) −m5+50m4−1000m3+10000m2−50000m+100000-m^5 + 50m^4 - 1000m^3 + 10000m^2 - 50000m + 100000

e) k4+2k3+32k2+12k+116k^4 + 2 k^3 + \frac{3}{2} k^2 + \frac{1}{2} k + \frac{1}{16}

f) 1−6z3+15z6−20z9+15z12−6z15+z181 - 6z^3 + 15z^6 - 20z^9 + 15z^{12} - 6z^{15} + z^{18}

Exercise 5: 🧩

Verwende das Pascalsche Dreieck:

a) (−u+4v)4(-u + 4v)^4

b) (t+2n)5(t + 2n)^5

c) (0.1−p)6(0.1 - p)^6

d) (a3+b3)4(a^3 + b^3)^4

e) (i2−3i)5(i^2 - 3i)^5

f) (1+ti)6(1 + \frac{t}{i})^6

Solution

a) u4−16u3v+96u2v2−256uv3+256v4u^4 - 16u^3v + 96u^2v^2 - 256uv^3 + 256v^4

b) t5+10t4n+40t3n2+80t2n3+80tn4+32n5t^5 + 10t^4n + 40t^3n^2 + 80t^2n^3 + 80tn^4 + 32n^5

c) 0.000001−0.000006p+0.000015p2−0.00002p3+0.000015p4−0.000006p5+p60.000001 - 0.000006p + 0.000015p^2 - 0.00002p^3 + 0.000015p^4 - 0.000006p^5 + p^6

d) a12+4a9b3+6a6b6+4a3b9+b12a^{12} + 4a^9b^3 + 6a^6b^6 + 4a^3b^9 + b^{12}

e) i10−15i9+90i8−270i7+405i6−243i5i^{10} - 15i^9 + 90i^8 - 270i^7 + 405i^6 - 243i^5

f) 1+6ti+15t2i2+20t3i3+15t4i4+6t5i5+t6i61 + 6\frac{t}{i} + 15\frac{t^2}{i^2} + 20\frac{t^3}{i^3} + 15\frac{t^4}{i^4} + 6\frac{t^5}{i^5} + \frac{t^6}{i^6}