Ausklammern & Faktorisieren von Polynomen

Ausklammern/Faktorisieren von Polynomen

Note 1

Beim Ausklammern von Termen bzw. Polynomen geht man bekanntlich so vor, dass man zuerst prüft, ob alle Summanden gemeinsame Primfaktoren oder Variablen haben; diese können ausgeklammert werden. Zweitens wird geprüft, ob eine der binomischen Formeln greift. Schliesslich ist es manchmal möglich, durch geschicktes Arrangieren und Zusammenfassen von Summanden eine Faktorisierung zu erzwingen. Insbesondere Letzteres braucht Übung und Erfahrung.

Example 1

Wir notieren ein paar Beispiele:

a) $2xy+4x = 2x(y+2)$

b) $4+4a+a^2 = (2+a)^2$

c) $x^2+yx+2y+2x = x(x+y)+2(y+x) = (x+2)(x+y)$

Wenn alle Glieder einer Summe einen gemeinsamen Faktor haben, kann dieser mithilfe des Distributivgesetzes ausgeklammert werden. Man sucht den grössten gemeinsamen Teiler aller Glieder, schreibt diesen vor eine Klammer und notiert in der Klammer die ursprünglichen Glieder, geteilt durch den ausgeklammerten Faktor.

Exercise 1: Ausklammern

Klammere den grösstmöglichen gemeinsamen Faktor aus.

a) $5x + 15$

b) $12a - 18b$

c) $y^2 + 7y$

d) $8x^2 - 4x$

e) $6ab + 9a$

f) $15x^2y - 25xy^2$

g) $4z^3 + 6z^2 + 10z$

h) $a^4b^2 - a^2b^3$

i) $-7m - 14n$

j) $24x^3y^2 - 16x^2y^3 + 32x^2y^2$

Solution

a) $5(x + 3)$
b) $6(2a - 3b)$
c) $y(y + 7)$
d) $4x(2x - 1)$
e) $3a(2b + 3)$
f) $5xy(3x - 5y)$
g) $2z(2z^2 + 3z + 5)$
h) $a^2b^2(a^2 - b)$
i) $-7(m + 2n)$
j) $8x^2y^2(3x - 2y + 4)$

Exercise 2: Einfaches Ausklammern

Klammere den grösstmöglichen gemeinsamen Faktor aus.

a) $15x + 10y$

b) $16ab - 40ac$

c) $12xy + 12xz$

d) $30x - 45y$

e) $7a^2 - 7ab + 7ac$

f) $121a^2 + 11a$

g) $18ab - 27ad + 45ac$

h) $4xyz + 6x^2y - 10xy^2z$

Solution

a) $5(3x + 2y)$
b) $8a(2b - 5c)$
c) $12x(y+z)$
d) $15(2x - 3y)$
e) $7a(a - b + c)$
f) $11a(11a + 1)$
g) $9a(2b - 3d + 5c)$
h) $2xy(2z + 3x - 5yz)$

Haben nicht alle Glieder einen gemeinsamen Faktor, kann man versuchen, die Summe in Gruppen aufzuteilen. Aus diesen Gruppen werden dann gemeinsame Faktoren ausgeklammert. Entstehen dadurch identische Klammerausdrücke, kann man diese Klammern erneut ausklammern.

Exercise 3: Mehrfaches Ausklammern

Faktorisiere durch mehrfaches Ausklammern.

a) $ac + ad + bc + bd$

b) $ax - ay + bx - by$

c) $am + an - bm - bn$

d) $10ax + 2ay + 15bx + 3by$

e) $21ax - 6bx - 28ay + 8by$

f) $4ax + 12ay - 2bx - 6by$

Solution

a) $(a+b)(c+d)$
b) $(a+b)(x-y)$
c) $(a-b)(m+n)$
d) $(2a+3b)(5x+y)$
e) $(3x-4y)(7a-2b)$
f) $2(2a-b)(2x+3y)$

Die binomischen Formeln können "rückwärts" zum Faktorisieren genutzt werden. Man muss erkennen, ob ein Term die Struktur einer der drei Formeln aufweist.

$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$
$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$

Exercise 4: Faktorisieren mit binomischen Formeln

Faktorisiere mithilfe der binomischen Formeln.

a) $x^2 + 2xy + y^2$

b) $c^2 - 2cd + d^2$

c) $r^2 - s^2$

d) $4x^2 + 4x + 1$

e) $a^2 - 1$

f) $9a^2 + 12ab + 4b^2$

g) $16x^2 - 81y^2$

h) $1 - 64x^2$

i) $x^4 - y^4$

j) $(a+b)^2 - c^2$

Solution

a) $(x+y)^2$
b) $(c-d)^2$
c) $(r+s)(r-s)$
d) $(2x+1)^2$
e) $(a+1)(a-1)$
f) $(3a+2b)^2$
g) $(4x+9y)(4x-9y)$
h) $(1+8x)(1-8x)$
i) $(x^2+y^2)(x+y)(x-y)$
j) $(a+b+c)(a+b-c)$

Bei Termen der Form $x^2 + px + q$ kann man versuchen, sie in ein Produkt $(x+a)(x+b)$ zu zerlegen. Dabei muss das Produkt $a \cdot b$ gleich $q$ und die Summe $a + b$ gleich $p$ sein. Man sucht also zwei Zahlen, deren Produkt die Konstante und deren Summe der Koeffizient von $x$ ist – vergleiche mit dem Satz von Viëta.

Exercise 5: Faktorisieren durch Probieren

Faktorisiere die folgenden Terme.

a) $x^2 + 3x + 2$

b) $a^2 + a - 2$

c) $x^2 - 6x + 8$

d) $a^2 - a - 12$

e) $y^2 + 2y - 15$

f) $x^2 - 11x + 30$

Solution

a) $(x+1)(x+2)$
b) $(a+2)(a-1)$
c) $(x-2)(x-4)$
d) $(a-4)(a+3)$
e) $(y+5)(y-3)$
f) $(x-5)(x-6)$