Rechwinkliges Dreieck

Exercise 1: Grundlagen zu Pythagoras und Trigonometrie

Erkläre:

Was ist der Satz von Pythagoras?
Was sind die trigonometrischen Beziehungen in einem rechtwinkligen Dreieck?

Solution

In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es immer eine längste Seite, die Hypothenuse genannt wird, und zwei andere kürzere Seiten (die Katheten). Bezeichnet $c$ die Länge der Hypothenuse, und $a$ und $b$ die Längen der Katheten, so gilt laut dem Satz von Pythagoras, dass

a^2+b^2=c^2

In einem rechtwinkligen Dreieck sei $\alpha$ ein Winkel (verschieden vom $90^\circ$ Winkel). Die Seite, die diesem Winkel anliegt heist Ankathete (A), die Seite, die diesem gegenüberliegt heisst Gegenkathete (G). Es gelten die drei folgenden Beziehungen:

\begin{array}{lll} \sin(\alpha)&=&\frac{G}{H}\\[0.2em] \cos(\alpha)&=&\frac{A}{H}\\[0.2em] \tan(\alpha)&=&\frac{G}{A} \end{array}

Exercise 2: Berechnung am rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen weiteren Winkel von $30^\circ$ . Die längste Seite hat eine Länge von $10$ . Bestimme die restlichen Seitenlängen des Dreiecks.

Solution

Die Hypotenuse ist $H=10$ . Die anderen zwei Seiten sind $G$ (Gegenkathete) und $A$ (Ankathete). Es gilt:

\sin(30^\circ)=\frac{G}{10}

also

G=10\cdot \sin(30^\circ)=\underline{5}

Um $A$ zu bestimmen:

Methode 1: Mit Pythagoras: $G^2+A^2=H^2$ , also $A=\sqrt{H^2-G^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=8.66$ .

Methode 2: Wegen

\cos(30^\circ)=\frac{A}{10}

Also

A=10\cdot \cos(30^\circ)=\underline{8.66}

Für weitere Aufgaben siehe Jahr 1 > Chapter 24