Normaler Flächeninhalt

Exercise 1

Berechne den totalen (absoluten) Flächeninhalt, der von der Kurve $f(x) = x^2 - 9$ und der $x$ -Achse im Intervall von $x = 0$ bis $x = 4$ eingeschlossen wird.

Solution

Nullstellen finden:

x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3

Im Intervall $[0, 4]$ liegt die Nullstelle $x = 3$ . Die Funktion ist negativ in $[0, 3]$ und positiv in $[3, 4]$ .

\text{Fläche} = \int_{0}^{3} (9 - x^2) \, dx + \int_{3}^{4} (x^2 - 9) \, dx

\left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 + \left[ \frac{x^3}{3} - 9x \right]_3^4

= (27 - 9) + \left( (\frac{64}{3} - 36) - (9 - 27) \right)

= 18 + \left( -\frac{44}{3} + 18 \right) = 18 + \frac{10}{3} = \frac{64}{3}

Der Flächeninhalt beträgt $\frac{64}{3}$ Flächeneinheiten.

Exercise 2

Gegeben ist die Funktion $f(x) = ax - x^2$ mit $a > 0$ . Die Fläche, welche die Kurve mit der $x$ -Achse im ersten Quadranten einschliesst, beträgt $36$ Flächeneinheiten. Bestimme den Parameter $a$ .

Solution

Nullstellen:

x(a - x) = 0 \implies x_1 = 0, x_2 = a

Integral aufstellen:

\int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx = 36

\left[ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_0^a = 36

\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = 36 \implies \frac{a^3}{6} = 36

a^3 = 216 \implies a = 6

Der Parameter $a$ muss $6$ sein.

Exercise 3

Berechne die Fläche, die von $f(x) = \sin(x) + \frac{1}{2}$ und der $x$ -Achse im Intervall $[0, \pi]$ eingeschlossen wird.

Solution

Nullstellen in $[0, \pi]$ :

\sin(x) = -\frac{1}{2}

Da $\sin(x)$ im Intervall $[0, \pi]$ immer positiv ist, gibt es dort keine Nullstellen. Die Funktion ist im gesamten Bereich positiv ( $f(x) \geq \frac{1}{2}$ ).

\text{Fläche} = \int_{0}^{\pi} (\sin(x) + \frac{1}{2}) \, dx

\left[ -\cos(x) + \frac{1}{2}x \right]_0^\pi

= (-\cos(\pi) + \frac{\pi}{2}) - (-\cos(0) + 0)

= (1 + \frac{\pi}{2}) - (-1) = 2 + \frac{\pi}{2}

Der Flächeninhalt beträgt $2 + \frac{\pi}{2}$ Flächeneinheiten.