Flächen zwischen zwei Kurven

Exercise 1

Berechne die Fläche, die von den Kurven $f(x) = x^2$ und $g(x) = 2x + 3$ begrenzt wird.

Solution

Schnittpunkte berechnen:

x^2 = 2x + 3 \implies x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1) = 0

Schnittstellen bei $x = -1$ und $x = 3$ . Die Gerade $g(x)$ liegt über der Parabel $f(x)$ .

\text{Fläche} = \int_{-1}^{3} (2x + 3 - x^2) \, dx

\left[ x^2 + 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^3

= (9 + 9 - 9) - (1 - 3 + \frac{1}{3}) = 9 - (-\frac{5}{3}) = \frac{32}{3}

Der Flächeninhalt beträgt $\frac{32}{3}$ .

Exercise 2

Bestimme die Fläche der Region, die durch $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 2$ sowie der $x$ -Achse im ersten Quadranten begrenzt wird.

Solution

Schnittpunkt von $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 2$ :

\sqrt{x} = x - 2 \implies x = (x-2)^2 \implies x = x^2 - 4x + 4

x^2 - 5x + 4 = 0 \implies (x-4)(x-1) = 0

Lösung $x = 4$ (da $\sqrt{1} \neq 1-2$ ). Die Fläche setzt sich aus zwei Teilen zusammen: Von $x=0$ bis $x=2$ (nur unter $\sqrt{x}$ ) und von $x=2$ bis $x=4$ (zwischen $\sqrt{x}$ und $x-2$ ).

\text{Fläche} = \int_{0}^{2} \sqrt{x} \, dx + \int_{2}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx = \frac{10}{3}

Exercise 3

Die Parabel $f(x) = \sqrt{4x}$ teilt die Fläche des Quadrats mit den Eckpunkten $(0 \mid 0), (4 \mid 0), (4\mid 4), (0 \mid 4)$ in zwei Teile. Berechne das Verhältnis dieser beiden Teilflächen.

Solution

Das Quadrat hat eine Fläche von $4 \times 4 = 16$ . Die Kurve ist $f(x) = 2\sqrt{x}$ . Die Fläche unter der Kurve im Quadrat ist:

A_1 = \int_{0}^{4} 2\sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{4}{3}x^{3/2} \right]_0^4 = \frac{4}{3} \cdot 8 = \frac{32}{3}

Die Restfläche im Quadrat ist:

A_2 = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48-32}{3} = \frac{16}{3}

Das Verhältnis $A_1 : A_2$ ist $\frac{32}{3} : \frac{16}{3} = 2 : 1$ .