Zahlen

Exercise 1: Bruch

Was ist ein Bruch?

Solution

Unter einem Bruch wollen wir einen Quotienten $\frac{a}{b}$ verstehen, wobei $a$ und $b\neq0$ reelle Zahlen sind.

Die Geschichte der Zahlenmengen ist nicht nur eine Geschichte von Symbolen und Rechenregeln, sondern auch eine Geschichte von Kulturen, Denkweisen und Namen, die bis heute in unserer Sprache nachklingen.

Die natürlichen Zahlen – 1, 2, 3, ... – entspringen der elementarsten menschlichen Tätigkeit: dem Zählen. Ein zentraler Name ist al-Chwarizmi (9. Jh.), der in Bagdad wirkte. Von ihm stammt nicht nur der Begriff Algorithmus, sondern auch entscheidende Abhandlungen über das Rechnen mit indisch-arabischen Ziffern, die unser heutiges Stellenwertsystem erst in Europa verbreiteten.

Ebenfalls bedeutend ist die Einführung des Begriffs al-jabr („das Wiederherstellen“), aus dem sich unser Wort Algebra entwickelte. Hier zeigt sich, wie eng die Erweiterung der Zahlenmengen mit dem Bedürfnis verbunden war, Gleichungen zu lösen – auch dann, wenn die Lösung auf den ersten Blick „unsichtbar“ war: negative oder gar irrationale Zahlen.

So entstand Schritt für Schritt die heute gebräuchliche Hierarchie von Zahlenmengen:

die natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ zum Zählen,
die ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ durch Hinzufügung der $0$ und der Negativen,
die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ als Brüche,
die irrationalen und reellen Zahlen $\mathbb{R}$ , um Kontinuität zu erfassen,
und schliesslich die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ , die selbst die Wurzel aus negativen Zahlen möglich machen.

Die Entwicklung von Zahlenmengen ist also nicht nur eine mathematische Notwendigkeit, sondern auch ein Spiegel historischer Kreativität und kulturellen Austausches – von den babylonischen Keilen über die arabischen Schriften bis zu unseren heutigen Symbolen.

Natürliche Zahlen

Beim Zählen benutzte der Mensch die Finger. Dies spiegelt sich auch in den frühen Zahlenzeichen wider. Häufig waren dies Striche oder Kerben. Alte Kulturvölker wie die Babylonier, Ägypter oder Römer schufen bestimmte Symbole für die Zahlen 1, 5, 10, 100, 1000 unter anderem und bildeten damit durch Aneinanderreihen die übrigen natürlichen Zahlen. Die Inder entwickelten ein Stellenwertsystem und erfanden für eine leere Stelle ein besonderes Zeichen: die Null. Ein Stellenwertsystem und ein Zeichen für die Null hatten vor den Indern auch schon die Babylonier, die sich als Astronomen mit Zeit- und Winkelmessungen auseinandersetzten. Bei ihnen war übrigens die 60 die Grundzahl.

Note 1

Die Menge der natürlichen Zahlen wird mit

\mathbb{N} := \{1,2,3,\dots\}

abgekürzt.

Der Zahlenstrahl

Note 2: Zahlenstrahl

Natürliche Zahlen können wir auf dem Zahlenstrahl visualisieren. Beginnend vom Ursprung aus zeichnen wir einen "Zahlenpfeil" bis zur entsprechenden Markierung derjenigen Zahl, die wir durch den Pfeil repräsentieren wollen.

Beachte, dass die Addition $a+b$ zweier natürlicher Zahlen $a,b\in\mathbb{N}$ geometrisch dem Aneinanderhängen der Pfeile entspricht. Beispielsweise ist $2+3=5$ .

Definition 1: Summe

Unter der Summe $a + b$ zweier Zahlen $a$ und $b$ verstehen wir diejenige Zahl, deren Pfeil sich durch Aneinanderhängen der Pfeile $a$ und $b$ ergibt.

Grösser als & kleiner als

Definition 2: Kleiner- und Grösser-Zeichen

Seien $a,b\in\mathbb{R}$ .

$a<b$ bedeutet: $a$ liegt auf dem Zahlenstrahl links von $b$ .
$a>b$ bedeutet: $a$ liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von $b$ .

Manchmal sagt man auch: $a$ ist kleiner als $b$ bzw. $b$ ist grösser als $a$ .

Note 3: Regeln für Ungleichungen

Addiert man auf beiden Seiten dieselbe Zahl, bleibt die Ungleichung erhalten.
Multipliziert man mit einer positiven Zahl, bleibt das Zeichen gleich.
Multipliziert man mit einer negativen Zahl, kehrt sich das Zeichen um.

Example 1

Auf der Zahlengeraden gilt:

$3<5$ , weil $3$ links von $5$ liegt.
$-2>-5$ , weil $-2$ rechts von $-5$ liegt.

Exercise 2: grösser oder kleiner als

a) Vergleiche: $7 \,\square\, 11$
b) Vergleiche: $4 \,\square\, 7$
c) Ergänze: Multipliziere $3<5$ mit $-2$ . Welche Ungleichung entsteht?
d) Vergleiche: $12 \,\square\, 8$
e) Vergleiche: $3 \,\square\, 9$
f) Überprüfe: Gilt aus $a<b$ immer $a+4<b+4$ ?

Solution

a) $7<11$
b) $4<7$
c) $-6>-10$
d) $12>8$
e) $3<9$
f) Ja, bleibt immer erhalten.

Primzahlen

Unter den natürlichen Zahlen gibt es solche, die jedem Divisionsversuch mit einem natürlichen Divisor, der zwischen 1 und der Zahl selbst liegt, widerstehen. Solche Zahlen, die keine echten Teiler haben, werden Primzahlen genannt.

Definition 3: Teiler

Seien $a, b \in \mathbb{Z}$ mit $b \neq 0$ .
$b$ ist ein Teiler von $a$ , wenn es ein $c \in \mathbb{Z}$ gibt, so dass

a = b \cdot c

gilt.
Man schreibt $b\mid a$ .

Definition 4: Primzahl

Eine Zahl $p\in\mathbb{N}$ heisst Primzahl, wenn $p$ genau zwei verschiedene, natürliche Teiler hat.

\mathbb{P} := \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,\dots\}

Note 4

Beachte, dass 1 per Definition keine Primzahl ist!

Primfaktorzerlegung

Exercise 3: Primfaktorzerlegung

Zerlege die Zahlen 17, 35, 32, 210, 541 und 1'771 in ihre Primfaktoren.

Solution

17
$35 = 5\cdot7$
$32 = 2^5$
$210 = 2\cdot3\cdot5\cdot7$
541 ist prim.
$1771 = 7\cdot11\cdot23$

Theorem 1: Fundamentalsatz der Arithmetik

Jede natürliche Zahl grösser 1 lässt sich eindeutig (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) als Produkt von Primzahlen darstellen.

Proof

BWoC: Falls die Primfaktorzerlegung in $\mathbb{N}\setminus\{1\}$ nicht eindeutig wäre, dann gäbe es eine kleinste Zahl $n\in\mathbb{N}\setminus\{1\}$ , die auf mindestens zwei Arten zerlegbar wäre:

n=p_1\cdot\ldots\cdot p_r=q_1\cdot\ldots\cdot q_s.

Da $n$ das kleinste Beispiel ist, sind alle $p_i\neq q_j$ für alle $i,j$ in ihren Indexmengen. Ausserdem können wir OEdA annehmen, dass die Faktoren der Grösse nach sortiert seien und $p_1\neq q_1$ mit $p_1+1\leq q_1\leq\sqrt{n}$ .

Wir konstruieren die Zahl

m:=n-p_1q_1.

ggT & kgV

Primfaktorzerlegungen spielen auch beim Bestimmen des grössten gemeinsamen Teilers (ggT) und des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) zweier natürlicher Zahlen $a$ und $b$ eine wichtige Rolle.

Note 5

Will man von zwei Zahlen $a,b\in\mathbb{Z}$ den ggT oder das kgV bestimmen, dann kann man dies über ihre Primfaktorzerlegung tun, indem man diese vergleicht. Der ggT ist gleich dem Produkt der gemeinsamen Primfaktoren und das kgV gleich dem Produkt jeder vorkommenden Primzahl mit dem jeweils höchsten Exponenten aus beiden Zerlegungen.

Ganze Zahlen

Bis anhin war der bekannte Zahlenbereich die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N}$ . In dieser Menge sind Addition und Multiplikation problemlos möglich. Die Subtraktion stösst jedoch an ihre Grenzen: Eine einfache Aufgabe wie $3 - 5$ hat in $\mathbb{N}$ keine Lösung.

Example 2: Beispiele aus dem Alltag

Temperatur: Fällt die Temperatur von $1^{\circ}\text{C}$ um 4 Grad, muss das Ergebnis $-3^{\circ}\text{C}$ darstellbar sein.
Finanzen: Hebt man von einem Guthaben von 530,60 Fr. einen Betrag von 700 Fr. ab, entsteht ein negativer Kontostand.
Geografie: Höhenangaben unter dem Meeresspiegel ( $-134\,\text{m}$ ) erfordern negative Zahlen.

Note 6: Das Permanenzprinzip

Bei der Erweiterung eines Zahlenbereichs sollen die bereits bekannten Rechengesetze (Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz) ihre Gültigkeit behalten.

Rationale Zahlen

Definition 5

title="Rationale Zahlen"

Wir definieren die Menge der rationalen Zahlen als

\mathbb{Q} := \{\tfrac{a}{b}\,|\,a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}\}.

Zur Quotientendarstellung $\tfrac{a}{b}$ mit $a\in\mathbb{Z}$ und $b\in\mathbb{N}$ : Man kürzt Brüche, indem man Zähler und Nenner durch den ggT der beiden dividiert. Zu jeder rationalen Zahl gehört genau ein vollständig gekürzter Bruch.

Note 7: Division mit 0

Eine Division $\tfrac{a}{b}=c$ bedeutet: „Finde eine Zahl $c$ so, dass $a=b\cdot c$ gilt.“ Falls $b=0$ ist, dann müsste $a=0\cdot c=0$ gelten.

Wenn $a\neq0$ : Dann gibt es kein $c$ (unmöglich).
Wenn $a=0$ : Dann wäre jedes $c$ eine Lösung (nicht eindeutig). Darum ist die Division durch 0 nicht definiert.

Reelle Zahlen

In der goldenen Ära Griechenlands galten die natürlichen Zahlen als das Mass aller Dinge. Es gibt aber offensichtlich Dezimalbrüche, die weder abbrechend noch periodisch sind. Ein berühmtes Beispiel ist $\sqrt{2}$ . Mit Hilfe der indirekten Beweismethode lässt sich einsehen, dass $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$ .

Theorem 2

$\sqrt{2}$ ist nicht rational.

Proof

Wir zeigen mit einem Widerspruchsbeweis, dass $\sqrt{2}$ nicht rational ist.
Gegenannahme: Sei $\sqrt{2}$ rational. Dann gibt es die eindeutig bestimmte Darstellung $\sqrt{2}=\frac{p}{q}$ mit $p,q\in\mathbb{N}$ und $\operatorname{ggT}(p,q)=1$ . Durch Quadrieren folgt $2q^2=p^2$ . Das bedeutet, dass $p^2$ und damit $p$ eine gerade Zahl ist. Also setzen wir $p=:2k$ . Daraus folgt $2q^2=4k^2 \implies q^2 = 2k^2$ . Damit ist auch $q$ gerade. Dies steht im Widerspruch zur Annahme, dass der Bruch vollständig gekürzt sei.

Note 8

Die reellen Zahlen $\mathbb{R}$ entsprechen sämtlichen Punkten der Zahlengeraden. Es gilt $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ . Reelle Zahlen, die nicht rational sind, heissen irrational ( $\mathbb{I}$ ).