Brüche old

Quotient

Es kommt häufig vor, dass von einem Produkt der Wert bekannt ist und einer der Faktoren bestimmt werden muss. Dessen Berechnung führt auf eine Division. Man bezeichnet wegen dieses Zusammenhangs die Division als Umkehrung der Multiplikation.

Definition 1: Quotient

Unter dem Quotienten - umgangssprachlich Bruch - der Zahlen a,b∈Qa,b\in\mathbb{Q}, wobei a≠0a\neq0, versteht man die Lösung der Gleichung a⋅x=ba\cdot x = b.

Neben b÷ab\div a schreibt man diesen Quotienten auch ba\frac{b}{a}.

Note 1

Im Falle a=0=ba=0=b ist jede Zahl Lösung, im Falle a=0a=0 und b≠0b\neq 0 gibt es keine Lösung. Der letzte Fall ist bekannt unter dem Merksatz:

Durch 00 darf nicht dividiert werden!

Proof

Sei b≠0b\neq0. Betrachte b0=x\frac{b}{0}=x. Es folgt b=x⋅0=0b=x\cdot0=0. Widerspruch zur Annahme b≠0b\neq0.

Kürzen und Erweitern von Brüchen

Dabei ist entscheidend, dass man solide Faktorisieren gelernt hat. Es dürfen nur gemeinsame Faktoren im Zähler und Nenner gekürzt werden.

Note 2: Erweitern

Beim Erweitern wird der Zähler und Nenner eines Bruchs mit demselben Term faktorisiert.

Example 1

a)

2x4=2⋅x2⋅2=x2\frac{2x}{4}=\frac{2\cdot x}{2\cdot2}=\frac{x}{2}

b)

x2−y2x−y=(x−y)(x+y)x−y=x+y1=x+y\frac{x^2-y^2}{x-y}=\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=\frac{x+y}{1}=x+y

c)

10b−5aa2−4ab+4b2=5(2b−a)(a−2b)2=−5(a−2b)(a−2b)2=−5⋅1a−2b=−5a−2b=52b−a\frac{10b-5a}{a^2-4ab+4b^2}=\frac{5(2b-a)}{(a-2b)^2}=\frac{-5(a-2b)}{(a-2b)^2}=\frac{-5\cdot1}{a-2b}=-\frac{5}{a-2b}=\frac{5}{2b-a}
Exercise 1: ggT und kgV

Bestimme den ggT und das kgV der nebeneinander stehenden Polynome.

a) 6a2b,  15a3b2,  18a4b46a^2b,\; 15a^3b^2,\; 18a^4b^4

b) 2t−5,  10−4t,  6t−152t-5,\; 10-4t,\; 6t-15

c) d2−9,  d−3,  d2−9d+18d^2-9,\; d-3,\; d^2-9d+18

Solution

a) ggT⁡=3a2b,kgV⁡=90a4b4\operatorname{ggT}=3a^2b,\quad \operatorname{kgV}=90a^4b^4
b) ggT⁡=2t−5,kgV⁡=6(2t−5)\operatorname{ggT}=2t-5,\quad \operatorname{kgV}=6(2t-5)
c) ggT⁡=d−3,kgV⁡=(d−3)(d+3)(d−6)\operatorname{ggT}=d-3,\quad \operatorname{kgV}=(d-3)(d+3)(d-6)

Exercise 2: Kürze

Kürze!

a) 12d9\frac{12d}{9}

b) 10r15r\frac{10r}{15r}

c) 16xyz20xz\frac{16xyz}{20xz}

d) 24a2bc256abc\frac{24a^2bc^2}{56abc}

e) −72uv3w6−60uv3w5\frac{-72uv^3w^6}{-60uv^3w^5}

Solution

a) 4d3\frac{4d}{3}
b) 23\frac{2}{3}
c) 4y5\frac{4y}{5}
d) 3ac7\frac{3ac}{7}
e) 6w5\frac{6w}{5}

Exercise 3: Kürze II

Kürze!

a) 255r+10\frac{25}{5r+10}

b) uwuv+uw\frac{uw}{uv+uw}

c) 2m4mn−2m\frac{2m}{4mn-2m}

d) −36x2y12x2y−60xy\frac{-36x^2y}{12x^2y-60xy}

Solution

a) 5r+2\frac{5}{r+2}
b) wv+w\frac{w}{v+w}
c) 12n−1\frac{1}{2n-1}
d) −3xx−5\frac{-3x}{x-5}

Exercise 4: Kürze III

Kürze!

a) 7n+147n−21\frac{7n+14}{7n-21}

b) 2y+25y+5\frac{2y+2}{5y+5}

c) rs−rtsu−tu\frac{rs-rt}{su-tu}

d) p3−p2p3+p2\frac{p^3-p^2}{p^3+p^2}

Solution

a) n+2 n−3 \frac{n+2}{\,n-3\,}
b) 25\frac{2}{5}
c) ru\frac{r}{u}
d) p−1p+1\frac{p-1}{p+1}

Exercise 5: Kürze IV

Kürze!

a) a2−b23a+3b\frac{a^2-b^2}{3a+3b}

b) 6u−8v9u2−16v2\frac{6u-8v}{9u^2-16v^2}

c) n3−nn3+n2\frac{n^3-n}{n^3+n^2}

Solution

a) a−b3\frac{a-b}{3}
b) 23u+4v\frac{2}{3u+4v}
c) n−1n\frac{n-1}{n}

Exercise 6: Gleichnamig machen

Mache gleichnamig.

a) 2a,  3b,  4c\frac{2}{a},\; \frac{3}{b},\; \frac{4}{c}

b) 78w,  56w\frac{7}{8w},\; \frac{5}{6w}

c) pe2,  pe3\frac{p}{e^2},\; \frac{p}{e^3}

d) r29s2u,  1r2u2,  8u15rs\frac{r^2}{9s^2u},\; \frac{1}{r^2u^2},\; \frac{8u}{15rs}

Solution

a) 2bcabc,  3acabc,  4ababc\frac{2bc}{abc},\; \frac{3ac}{abc},\; \frac{4ab}{abc}
b) 2124w,  2024w\frac{21}{24w},\; \frac{20}{24w}
c) epe3,  pe3\frac{ep}{e^3},\; \frac{p}{e^3}
d) 5r4u45r2s2u2,  45s245r2s2u2,  24rsu345r2s2u2\frac{5r^4u}{45r^2s^2u^2},\; \frac{45s^2}{45r^2s^2u^2},\; \frac{24rsu^3}{45r^2s^2u^2}

Exercise 7: Gleichnamig machen II

Mache gleichnamig.

a) nn−5,  55−n\frac{n}{n-5},\; \frac{5}{5-n}

b) w−zw+z,  w+zw−z\frac{w-z}{w+z},\; \frac{w+z}{w-z}

c) aa2−b2,  bb−a\frac{a}{a^2-b^2},\; \frac{b}{b-a}

Solution

a) nn−5,  −5n−5\frac{n}{n-5},\; \frac{-5}{n-5}
b) (w−z)2w2−z2,  (w+z)2w2−z2\frac{(w-z)^2}{w^2-z^2},\; \frac{(w+z)^2}{w^2-z^2}
c) aa2−b2,  −b(a+b)a2−b2\frac{a}{a^2-b^2},\; \frac{-b(a+b)}{a^2-b^2}

Addieren und Subtrahieren von Brüchen

Beim Addieren bzw. Subtrahieren von Brüchen muss man sicherstellen, dass sie gleichnamig sind. Dann addiert bzw. subtrahiert man die Zähler bei gleichbleibendem Nenner. Schliesslich wird gegebenenfalls gekürzt. Wir formulieren dies mathemtatisch. Seien a,c∈Q∖{0}a,c\in\mathbb{Q}\setminus\{0\} und b,d∈Qb,d\in\mathbb{Q}:

ab±cd=adbd±cbdb=ad±cbbd.\frac{a}{b}\pm\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}\pm\frac{cb}{db} = \frac{ad\pm cb}{bd}.
Example 2

a)

a4+2a8=a4+a4=a+a4=2a4=a2\frac{a}{4}+\frac{2a}{8}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\frac{a+a}{4}=\frac{2a}{4}=\frac{a}{2}

b)

a6+2a9=3a18+4a18=3a+4a18=7a18=718a\frac{a}{6}+\frac{2a}{9}=\frac{3a}{18}+\frac{4a}{18}=\frac{3a+4a}{18}=\frac{7a}{18}=\frac{7}{18}a

c)

a+1a2−1+a−1a+1=a+1(a−1)(a+1)+(a−1)2(a−1)(a+1)=a+1+a2−2a+1(a−1)(a+1)=a2−a+2(a−1)(a+1)\begin{align*} \frac{a+1}{a^2-1}+\frac{a-1}{a+1} &= \frac{a+1}{(a-1)(a+1)}+\frac{(a-1)^2}{(a-1)(a+1)}\\ &= \frac{a+1+a^2-2a+1}{(a-1)(a+1)}=\frac{a^2-a+2}{(a-1)(a+1)} \end{align*}
Exercise 8: Addiere, subtrahiere und vereinfache

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) 2x3+4x3\tfrac{2x}{3}+\tfrac{4x}{3}

b) 78a−18a\tfrac{7}{8a}-\tfrac{1}{8a}

c) 53n+23n−53n\tfrac{5}{3n}+\tfrac{2}{3n}-\tfrac{5}{3n}

Solution

a) 2x2x
b) 34a\tfrac{3}{4a}
c) 4n\tfrac{4}{n}

Exercise 9: Addiere, subtrahiere und vereinfache II

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) a+b2+a−b2\tfrac{a+b}{2}+\tfrac{a-b}{2}

b) a+nbn−a−nbn\tfrac{a+nb}{n}-\tfrac{a-nb}{n}

c) 3r+46+5r+76\tfrac{3r+4}{6}+\tfrac{5r+7}{6}

Solution

a) aa
b) 2b2b
c) 2r+36\tfrac{2r+3}{6}

Exercise 10: Addiere, subtrahiere und vereinfache III

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) e2−e3\tfrac{e}{2}-\tfrac{e}{3}

b) 2p15q+8p9q\tfrac{2p}{15q}+\tfrac{8p}{9q}

c) 56ac−34cd\tfrac{5}{6ac}-\tfrac{3}{4cd}

d) 1r2−1r3\tfrac{1}{r^2}-\tfrac{1}{r^3}

Solution

a) e6\tfrac{e}{6}
b) 46p45q\tfrac{46p}{45q}
c) −9a+10d12acd\tfrac{-9a+10d}{12acd}
d) r−1r3\tfrac{r-1}{r^3}

Exercise 11: Addiere, subtrahiere und vereinfache IV

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) 2r+36+1\tfrac{2r+3}{6}+1

b) t−4−t+12t-4-\tfrac{t+1}{2}

c) d−nd−2nd-\tfrac{nd-2}{n}

Solution

a) 2r+96\tfrac{2r+9}{6}
b) t−92\tfrac{t-9}{2}
c) 2n\tfrac{2}{n}

Exercise 12: Addiere, subtrahiere und vereinfache V

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) 1a+b+1c\tfrac{1}{a+b}+\tfrac{1}{c}

b) 8n+2+nn+5\tfrac{8}{n+2}+\tfrac{n}{n+5}

c) x+yx−y−x−yx+y\tfrac{x+y}{x-y}-\tfrac{x-y}{x+y}

Solution

a) a+b+c(a+b)c\tfrac{a+b+c}{(a+b)c}
b) −n2+n−10n(n+5)\tfrac{-n^2+n-10}{n(n+5)}
c) 4xyx2−y2\tfrac{4xy}{x^2-y^2}

Exercise 13: Addiere, subtrahiere und vereinfache VI

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) 12−1d\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{d}

b) 5z+4z2−1\tfrac{5z+4}{z^2-1}

c) 2u−v(u+v)2\tfrac{2u-v}{(u+v)^2}

d) 14(a+2b)\tfrac{1}{4(a+2b)}

Solution

a) c−dc+d\tfrac{c-d}{c+d}
b) 0=0\tfrac{0}{ } = 0
c) 2u−v(u+v)2\tfrac{2u-v}{(u+v)^2}
d) 14(a+2b)\tfrac{1}{4(a+2b)}

Exercise 14: Addiere, subtrahiere und vereinfache VII

Addiere/Subtrahiere und vereinfache.

a) 7e−1−61−e\tfrac{7}{e-1}-\tfrac{6}{1-e}

b) 113(h−1)\tfrac{11}{3(h-1)}

c) r−65(r−1)\tfrac{r-6}{5(r-1)}

d) u−vu+v\tfrac{u-v}{u+v}

Solution

a) 512\tfrac{5}{12}
b) 113(h−1)\tfrac{11}{3(h-1)}
c) r−65(r−1)\tfrac{r-6}{5(r-1)}
d) u−vu+v\tfrac{u-v}{u+v}

Multiplikation und Division von Brüchen

Bei der Multiplikation werden Zähler und Nenner multipliziert. Beachte, dass die Brüche nicht gleichnamig gemacht werden müssen. Beim Dividieren wird der Zähler mit dem Kehrwert des Nenners multipliziert. Mit den üblichen Bezeichnungen notieren wir für die Multiplikation

ab⋅cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}

und die Division

ab÷cd=ab⋅dc=a⋅db⋅c.\frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}.
Example 3

a)

a4⋅2a8=a⋅2a4⋅8=2a232=a216\frac{a}{4}\cdot\frac{2a}{8}=\frac{a\cdot2a}{4\cdot8}=\frac{2a^2}{32}=\frac{a^2}{16}

b)

a4÷2a8=a4⋅82a=8a8a=1\frac{a}{4}\div\frac{2a}{8}=\frac{a}{4}\cdot\frac{8}{2a}=\frac{8a}{8a}=1

c)

a+1a2−1⋅a−1a+1=(a+1)(a−1)(a2−1)(a+1)=(a+1)(a−1)((a+1)(a−1))(a+1)=1a+1\frac{a+1}{a^2-1}\cdot\frac{a-1}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{(a^2-1)(a+1)}=\frac{(a+1)(a-1)}{((a+1)(a-1))(a+1)}=\frac{1}{a+1}
Exercise 15: Multipliziere und vereinfache

Multipliziere und vereinfache.

a) 6ab⋅9a4b6ab \cdot \frac{9a}{4b}

b) 44x2y2⋅2x311y344x^2y^2 \cdot \frac{2x^3}{11y^3}

c) 21m3n⋅−7cd12mn221m^3n \cdot \frac{-7cd}{12mn^2}

Solution

a) 27a227a^2
b) 8x5/y8x^5/y
c) −49cdn2/12-49cdn^2/12

Exercise 16: Multipliziere und vereinfache II

Multipliziere und vereinfache.

a) 45⋅73\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{3}

b) ab⋅cd\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}

c) ab⋅ba\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}

d) (ab)3\left(\frac{a}{b}\right)^3

Solution

a) 28/1528/15
b) acbd\frac{ac}{bd}
c) 11
d) a3/b3a^3/b^3

Exercise 17: Multipliziere und vereinfache III

Multipliziere und vereinfache.

a) 8a12m⋅9bc14m\frac{8a}{12m}\cdot\frac{9bc}{14m}

b) −xy235z⋅7z2−xy2-\frac{xy^2}{35z}\cdot\frac{7z^2}{-xy^2}

c) −18u2w65v4⋅−26v27uw3\frac{-18u^2w}{65v^4}\cdot\frac{-26v}{27uw^3}

d) 17t454t5⋅24st285r2\frac{17t^4}{54t^5}\cdot\frac{24st^2}{85r^2}

Solution

a) 6c/216c/21
b) −1/5xz-1/5xz
c) 4u/(15v5w2)4u/(15v^5w^2)
d) m3/64m^3/64

Exercise 18: Multipliziere und vereinfache IV

Multipliziere und vereinfache.

a) m−n3m⋅5m2m−2n\frac{m-n}{3m}\cdot\frac{5m}{2m-2n}

b) d−118d⋅12d21−d\frac{d-1}{18d}\cdot\frac{12d^2}{1-d}

c) x2+y2x2−y2⋅x−yxy\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}\cdot\frac{x-y}{xy}

Solution

a) 5/65/6
b) −2d/3-2d/3
c) x2+y2x(x+y)\frac{x^2+y^2}{x(x+y)}

Exercise 19: Multipliziere und vereinfache V

Multipliziere und vereinfache.

a) xy(xy+yx)xy\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)

b) (n−z)⋅nn2−z2(n-z)\cdot\frac{n}{n^2-z^2}

c) (r2s2)(s2r2)(s3r3)\left(\frac{r^2}{s^2}\right)\left(\frac{s^2}{r^2}\right)\left(\frac{s^3}{r^3}\right)

Solution

a) x2+y2x^2+y^2
b) n2+nz−z2/(n+z)n^2+nz-z^2/(n+z)
c) −r2+rs−s2/rs-r^2+rs-s^2/rs

Exercise 20: Multipliziere und vereinfachen VI

Multipliziere und vereinfache.

a) 15d4e:6d6de\frac{15d}{4e} : \frac{6d}{6de}

b) 19r3s223t:19r2s2\frac{19r^3s^2}{23t} : 19r^2s^2

c) −16ab227c:(−16bc2)\frac{-16ab^2}{27c} : (-16bc^2)

Solution

a) 5/(8e2)5/(8e^2)
b) 1/23t1/23t
c) ab/27c3ab/27c^3

Exercise 21: Dividiere und vereinfache

Dividiere und vereinfache.

a) 2a+2bab:(a+b)\frac{2a+2b}{ab} : (a+b)

b) w2−x2w+x2:(t−w)\frac{w^2-x^2}{w+x^2} : (t-w)

c) c2−cdd2:(3c−3d)\frac{c^2-cd}{d^2} : (3c-3d)

Solution

a) 2/ab2/ab
b) u/vu/v
c) c/3d2c/3d^2

Exercise 22: Dividiere und vereinfache II

Dividiere und vereinfache.

a) 5km6:3k2m\frac{5km}{6} : \frac{3k}{2m}

b) 112n219xyz:−7n13xyz\frac{112n^2}{19xyz} : \frac{-7n}{13xyz}

c) 12n2w25tu:18uw235tw\frac{12n^2w}{25tu} : \frac{18uw^2}{35tw}

Solution

a) 5m2/95m^2/9
b) −16n-16n
c) 14u/15v14u/15v

Exercise 23: Dividiere und vereinfache III

Dividiere und vereinfache.

a) uvu+v:uvu2+w\frac{uv}{u+v} : \frac{uv}{u^2+w}

b) z3z−3:z3z−2z\frac{z}{3z-3} : \frac{z}{3z-2z}

c) n2−19n+90n+9:n−9n+9\frac{n^2-19n+90}{n+9} : \frac{n-9}{n+9}

Solution

a) u2/5u^2/5

b) −2/3-2/3

c) n−10n-10

Exercise 24: Dividiere und vereinfache IV

Dividiere und vereinfache.

(ab−cd):(ab+cd)\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right) : \left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)

Solution

(ad−bc)/(ad+bc)(ad-bc)/(ad+bc)

Exercise 25: Doppelbruch

Doppelbruch vereinfachen.

a)

25361516\frac{\frac{25}{36}}{\frac{15}{16}}

b)

abcd\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}

c)

uvxy\frac{\frac{u}{v}}{\frac{x}{y}}

d)

enpq\frac{\frac{e}{n}}{\frac{p}{q}}

e)

zrxs\frac{\frac{z}{r}}{\frac{x}{s}}
Solution

a) 027\frac{0}{27}
b) adbc\frac{ad}{bc}
c) ux\frac{u}{x}
d) vqpn\frac{vq}{pn}
e) zsrx\frac{zs}{rx}

Exercise 26: Doppelbruch II

Doppelbruch vereinfachen.

a)

1x1y\dfrac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{y}}

b)

1w1z\dfrac{\frac{1}{w}}{\frac{1}{z}}

c)

cdcd\dfrac{\frac{c}{d}}{\frac{c}{d}}

d)

2ka3kb\dfrac{\frac{2k}{a}}{\frac{3k}{b}}
Solution

a) 1(x−y)\frac{1}{(x-y)}
b) w(w+z)\frac{w}{(w+z)}
c) −c(s+t)(cd(s+t))\frac{-c(s+t)}{(cd(s+t))}
d) (3a−2b)6\frac{(3a-2b)}{6}