Gruppen

Definition 1: Gruppe

Eine Gruppe $\langle\mathbb{G},\ast\rangle$ ist eine nichtleere Menge $\mathbb{G}$ zusammen mit einer inneren Verknüpfung $\ast:\mathbb{G}\times\mathbb{G}\longrightarrow\mathbb{G}$ (Abgeschlossenheit), so dass

$\forall a,b,c\in\mathbb{G}$ : $a\ast (b\ast c) = (a\ast b) \ast c\quad$ (Assoziativität)
$\exists e\in\mathbb{G}$ so, dass $\forall a\in\mathbb{G}$ : $e\ast a=a\ast e=a\quad$ (Neutrales Element)
$\forall a\in\mathbb{G}$ $\exists ã\in\mathbb{G}$ so, dass $a\ast ã=ã\ast a=e\quad$ (Inverse Elemente)

Exercise 1: \mathbb{N} mit Addition

Betrachte die Menge der natürlichen Zahlen $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ mit der gewöhnlichen Addition ( $+$ ).

Überprüfe die vier Gruppen-Axiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, inverses Element) für $\langle\mathbb{N}, +\rangle$ .

Solution

a) Überprüfe die Gruppen-Axiome

Axiom	Bedingung	Gilt für $(\mathbb{N}, +)$ ?	Begründung
A1 (Abgeschlossenheit)	$a+b \in \mathbb{N}$	Ja	Summe zweier positiver Zahlen ist positiv.
A2 (Assoziativität)	$(a+b)+c = a+(b+c)$	Ja	Gewöhnliche Addition ist assoziativ.
A3 (Neutrales Element)	Existiert $e \in \mathbb{N}$ mit $a+e=a$ ?	Nein	$e=0$ ist das neutrale Element, aber $0 \notin \mathbb{N}$ .
A4 (Inverses Element)	Existiert $a^{-1} \in \mathbb{N}$ mit $a+a^{-1}=e$ ?	Nein	Das Inverse von $a$ ist $-a$ . Negative Zahlen sind nicht in $\mathbb{N}$ .

Da A3 und A4 verletzt sind, ist $\langle\mathbb{N},\,+\,\rangle$ keine Gruppe.

Exercise 2: \mathbb{Z} mit Addition

Betrachte die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z} = \{\dots,-2,-1,0,1, 2, 3, \dots\}$ mit der gewöhnlichen Addition ( $+$ ).

Überprüfe die vier Gruppen-Axiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, inverses Element) für $\langle\mathbb{Z} \mid \,+\,\rangle$ .

Solution

a) Überprüfe die Gruppen-Axiome

Axiom	Bedingung	Gilt für $(\mathbb{Z}, +)$ ?	Begründung
A1 (Abgeschlossenheit)	$a+b \in \mathbb{Z}$	Ja	Summe zweier ganzer Zahlen ist ganz.
A2 (Assoziativität)	$(a+b)+c = a+(b+c)$	Ja	Gewöhnliche Addition ist assoziativ.
A3 (Neutrales Element)	Existiert $e \in \mathbb{Z}$ mit $a+e=a$ ?	Ja	$e=0$ ist das neutrale Element.
A4 (Inverses Element)	Existiert $a^{-1} \in \mathbb{Z}$ mit $a+a^{-1}=e$ ?	Ja	Das Inverse von $a$ ist $-a$ .

Exercise 3: \mathbb{Z} mit Multiplikation

Überprüfe die vier Gruppen-Axiome (Abgeschlossenheit, Assoziativität, neutrales Element, inverses Element) für $\langle\mathbb{Z} \mid \,\cdot\,\rangle$ .

Solution

Das Produkt zweier ganzer Zahlen ist ganz. Assoziativität hat man bei der gewöhnlichen Multiplikation per Definition. Das Neutrale ist $e=1$ ; leider tanzt die $0$ aus der Reihe... und fast keines der $a\in\mathbb{Z}$ hat ein Inverses. $\langle\mathbb{Z} \mid \,\cdot\,\rangle$ ist also keine Gruppe.

Welche Teilmengen von $\mathbb{Z}$ bilden eine multiplikative Gruppe?

Exercise 4: Gruppe oder nicht?

Bei welchen Strukturen handelt es sich um Gruppen?

a) $\langle\mathbb{N},+\rangle$

b) $\langle\mathbb{Z},+\rangle$

c) $\langle\mathbb{Q},\cdot\rangle$

d) $\langle\mathbb{Z}^*_6,\cdot\rangle$

e) $\langle\mathbb{N},-\rangle$

f) $\langle\mathbb{Z},\cdot\rangle$

g) $\langle\mathbb{R},\cdot\rangle$

h) $\langle\mathbb{Z}^*_{100},+\rangle$

i) $\langle\mathbb{N}_0,+\rangle$

j) $\langle\mathbb{Q},+\rangle$

k) $\langle\mathbb{Z}^*_{11},\cdot\rangle$

Falls es sich um eine Gruppe handelt, gib das neutrale Element an und beschreibe, wie man zu einem gegebenen Element $a\in\mathbb{G}$ sein inverses $ã\in\mathbb{G}$ findet. Falls es keine Gruppe ist, gib ein Argument an, an dem die Struktur scheitert.

Solution

Es gibt teilweise mehrere Begründungen pro Teilaufgabe. Ich habe mich jeweils mit einer begnügt.

a) Das neutrale Element der Addition, die $0$ , fehlt.

b) Dies ist eine Gruppe mit neutralem Element $0$ . Das Inverse zu $a\in\mathbb{Z}$ ist $ã=-a$ .

c) Dies ist keine Gruppe, denn $0$ hat kein inverses Element. Jedoch ist $\langle\mathbb{Q}^*,\cdot\rangle$ eine Gruppe mit neutralem Element $1$ , und zu $a\in\mathbb{Q}^*$ ist $ã=\frac{1}{a}$ invers.

d) Dies ist keine Gruppe. Wegen $2\cdot3\equiv0$ ist die Verknüpfung nicht abgeschlossen.

e) Auch diese Struktur ist nicht abgeschlossen. Beispielsweise ist $5-7=-2\not\in\mathbb{N}$ .

f) $0$ hat in dieser Struktur kein inverses Element, also handelt es sich nicht um eine Gruppe.

g) Wiederum ist die $0$ Spielverderber, da sie kein inverses Element bezüglich der Multiplikation besitzt. Jedoch ist $\langle\mathbb{R}^*,\cdot\rangle$ eine Gruppe mit neutralem Element $1$ und zu $a\in\mathbb{R}^*$ ist $ã=\frac{1}{a}$ invers.

h) Es fehlt das neutrale Element.

i) Nur die $0$ hat ein Inverses.

j) Ist eine Gruppe. Das neutrale Element ist $0$ und die Inversen zu $\frac{a}{b}$ sind $-\frac{a}{b}$ .

k) Ist eine Gruppe. $1$ ist neutral. Invers sind zueinander $1$ , $10$ , $2$ zu $6$ , $3$ zu $4$ , $5$ zu $9$ , $7$ zu $8$ .

Exercise 5: Eindeutiges Neutrales

Zeige, dass das neutrale Element einer Gruppe eindeutig bestimmt ist.

Solution

Widerspruchsbeweis: Sei ein neutrales Element $e$ nicht eindeutig. Es gebe also zwei verschiedene neutrale Elemente $e_1,e_2\in\mathbb{G}$ , $e_1\neq e_2$ , beide $*$ -neutral. Es ist

e_1=e_1*e_2=e_2,

wobei der erste Schritt gilt, da $e_2$ $*$ -neutral ist und Schritt zwei, da $e_1$ $*$ -neutral ist. Also insgesamt $e_1=e_2$ . Widerspruch zur Annahme!

Exercise 6: Eindeutige Inverse

Zeige, dass das inverse Element $ã\in\mathbb{G}$ jedes Elements $a\in\mathbb{G}$ eindeutig bestimmt ist.

Solution

Widerspruchsbeweis mit Gegenannahme: Seien $ã_1\neqã_2$ in $\mathbb{G}$ beide $*$ -invers zu $a\in\mathbb{G}$ . Betrachte

\begin{align*} ã_1=ã_1*e=ã_1*(a*ã_2)=(ã_1*a)*ã_2=e*ã_2=ã_2 \end{align*}

Widerspruch zur Annahme $ã_1 \neq ã_2$ !

Exercise 7: \mathbb{Z}_3 mit Addition

Betrachte die Menge $\mathbb{Z}_3$ mit der Addition modulo 3 ( $+$ ).

a) Erstelle die Verknüpfungstabelle für $(\mathbb{Z}_3, +)$ .

b) Bestimme, welches Element die gesamte Gruppe erzeugt.

Solution

a) Erstelle die Verknüpfungstabelle

$+$	0	1	2
0	0	1	2
1	1	2	0
2	2	0	1

b) Die Erzeuger sind $1$ und $2$ . ( $\langle 1 \rangle = \{1, 2, 0\}$ und $\langle 2 \rangle = \{2, 1, 0\}$ )

Exercise 8: \mathbb{Z}_8^*

Betrachte die Menge $\mathbb{Z}_8^* = \{a \in \mathbb{Z}_8 \mid \text{ggT}(a, 8) = 1\}$ mit Multiplikation modulo 8.

a) Welche Elemente enthält die Menge $\mathbb{Z}_8^*$ ?

b) Erstelle die Verknüpfungstabelle für $(\mathbb{Z}_8^*,\, \cdot)$ .

c) Bestimme das inverse Element für jedes Element in $\mathbb{Z}_8^*$ .

Solution

a) Bestimme die Elemente

\mathbb{Z}_8^* = \{1, 3, 5, 7\}

b) Erstelle die Verknüpfungstabelle

$\cdot$	1	3	5	7
1	1	3	5	7
3	3	1	7	5
5	5	7	1	3
7	7	5	3	1

c) Bestimme die Inverse

$1^{-1} = 1$
$3^{-1} = 3$
$5^{-1} = 5$
$7^{-1} = 7$