Ganze, rationale & reelle Zahlen

Ganze Zahlen

Historisches

Der indische Mathematiker und Astronom Brahmagupta (598-630) erkannte als einer der ersten das Wechselspiel von Zahlzeichen, indem er Regeln für das Teilen von Zahlen aufstellte:

"Positiv geteilt durch positiv oder negativ geteilt durch negativ gibt positiv. Positiv geteilt durch negativ oder negativ geteilt durch positiv gibt negativ."

In Europa erlaubte erst Fibonacci (1180-1241) in seiner Finanzmathematik negative Zahlen und interpretierte sie korrekterweise als Schulden.

Die Geschichte der Null

Ein ähnlich schwieriger Stand wie die negativen Zahlen hatte die Zahl Null, die in Europa auf Ablehnung und Unverständnis stiess: Null wurde mit nichts gleichgesetzt.

Eine Geschichte der Unendlichkeit

Exercise 1: Hilberts Hotel

Hilberts Hotel ist ein Hotel mit unendlichen vielen, nummerierten Zimmern $(1,2,3,\dots)$ . Der Portier ist mit allen Zimmern durch eine Gegensprechanlage verbunden. Aktuell sind alle unendlich vielen Zimmer besetzt.

a) Es kommt ein Besucher an und möchte gerne ein Zimmer zum Übernachten buchen. Kann der Portier eines offerieren?

b) Es kommen unendlich viele Besucher an und möchten gerne ein Zimmer zum Übernachten buchen. Kann der Portier diese offerieren?

Solution

a) Der Portier kann die unendlich vielen Gäste auffordern, ihr Zimmer zu verlassen und das Zimmer mit der um $1$ grösseren Nummer zu belegen. Also $1\rightarrow 2$ , $2\rightarrow3$ , $3\rightarrow4$ etc. Nun ist Zimmer Nummer $1$ frei. Als Funktion geschrieben: $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ , $f(n)=n+1$ .

b) Der Portier kann die unendlich vielen Gäste auffordern, ihr Zimmer Nummer $n$ zu verlassen und ins Zimmer Nummer $2n$ zu wechseln. So werden unendlich viele Zimmer frei, nämlich alle mit ungeraden Nummern. $f:\mathbb{N}\longrightarrow\mathbb{N}$ , $f(n)=2n$

Exercise 2: Bijektiv

Haben $\mathbb{N}$ und $\mathbb{Z}$ gleich viele Elemente?

Solution

Beispielsweise kann man alle geraden Zahlen auf die positiven Werte und alle ungeraden Zahlen den negativen Werten zuordnen:

f:\mathbb{N}_0\longrightarrow\mathbb{Z}, f(n)=\begin{cases} \frac{n}{2}-1 & \text{falls $n$ gerade}\\ -\frac{n+1}{2} & \text{falls $n$ ungerade} \end{cases}

Etwas stringenter definiert man: Zwei Mengen $\mathbb{A}$ und $\mathbb{B}$ heissen gleichmächtig (haben gleich viele Elemente), falls es eine bijektive Abbildung $f:\mathbb{A}\longrightarrow\mathbb{B}$ gibt.

Rationale Zahlen

Normalbrüche

In der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ kann die Division nicht immer ausgeführt werden.

Example 1

Die Rechnung $\,8\div 2\,$ liefert zwar wieder ein Element aus $\mathbb{Z}$ als Lösung (nämlich 4), aber $\;8\div 3\,$ ist in $\mathbb{Z}$ nicht mehr lösbar, denn $\,\frac{8}{3}=2.\overline{6}\notin\mathbb{Z}$ .

Wir suchen deshalb eine möglichst einfache Menge, welche die ganzen Zahlen enthält und welche die Division uneingeschränkt zulässt (ausser der Division durch 0, natürlich!). Dies wird durch die Menge der rationalen Zahlen

\mathbb{Q} = \left\{\frac{p}{q}\mid p\in\mathbb{Z},\,q\in\mathbb{N}\right\}

gewährleistet.

Dezimalbrüche

Dezimalbrüche können wegen Betrachtungen zur schriftlichen Division in zwei Kategorien eingeteilt werden: Dezimalbrüche

mit periodischer Dezimalbruchentwicklung (z.B. $1.5$ oder $3.5\overline{12}$ )
ohne periodische Dezimalbruchentwicklung (z.B. $0.10100100010\dots$ )

Gedanken zu rationalen Zahlen

Note 1: Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$

Das folgende Bild illustriert die Beweisidee zur Abzählbarkeit von $\mathbb{Q}$ .

Das bedeutet dann, dass $\operatorname{card}(\mathbb{N})=\operatorname{card}(\mathbb{Z})=\operatorname{card}(\mathbb{Q})$ .

Exercise 3: 🧩

In welchen Fällen ist die Dezimaldarstellung abbrechend?

Solution

Sie ist für einen gekürzten Bruch genau dann abbrechend, wenn bei der schriftlichen Division der Rest $0$ übrig bleibt. Dazu muss der Nenner Teiler eines Vielfachen einer Zehnerpotenz sein. Für $k\in\mathbb{N}$ darf also wegen $(10)^k=(2\cdot5)^k=2^k\cdot5^k$ die Primfaktorzerlegung des Nenners nur aus $2$ en und $5$ en bestehen.

Exercise 4: Periodenlänge

Behauptung: Die Periodenlänge eines Bruches

\frac{1}{q}

wird nie länger als $q-1$ .

Solution

Sei $q\in\mathbb{N}$ beliebig. Bei der schriftlichen Division von $1$ mit $q$ können sicherlich nur Reste kleiner $q$ auftauchen; also die Reste $0,1,2,3,\dots,q-1$ . Dies sind $q$ Stück. Im Falle vom Rest $0$ haben wir eine abbrechende Dezimaldarstellung. Also können alternierend höchstens die Reste $1,2,3,\dots,q-1$ vorkommen, und das sind $q-1$ Stück. Die Periodenlänge ist daher nie grösser als $q-1$ .

Exercise 5: Bruch zu Dezimalzahl

Verwandle den Bruch $\frac{3}{11}$ in eine Dezimalzahl.

Solution

\begin{align*} 3\div11 &= 0.27\overline{27}\tag{Rest 3}\\ 30\div11 &=2\tag{Rest 8}\\ 80\div11 &=7\tag{Rest 3} \end{align*}

Example 2

Die rationalen Zahlen liegen dicht in den reellen Zahlen.
Die Zahl $\pi\approx 3.14159\dots$ ist irrational. Nimmt man $\varepsilon=0.01$ , so ist $\tfrac{22}{7}\approx 3.1428$ eine rationale Zahl, die im Abstand kleiner als $0.01$ von $\pi$ liegt.

Example 3

Jede rationale Zahl wird genau durch einen gekürzten Bruch repräsentiert. Die Zahl $\tfrac{6}{8}$ ist gleich $\tfrac{3}{4}$ . Da $\gcd(3,4)=1$ , ist $\tfrac{3}{4}$ die eindeutige gekürzte Bruchdarstellung.

Exercise 6: 🧩

Zeige, dass jede rationale Zahl eindeutig als gekürzter Bruch geschrieben werden kann.

Solution

Falls $\gcd(p,q)=1$ , ist der Bruch $\tfrac{p}{q}$ vollständig gekürzt.
Angenommen, es gäbe zwei verschiedene vollständig gekürzte Brüche $\tfrac{p}{q}$ und $\tfrac{r}{s}$ für dieselbe Zahl:

\frac{p}{q}=\frac{r}{s}\quad\text{mit }p,r\in\mathbb{Z}\,,q,s\in\mathbb{N}.

Dann folgt

p\cdot s = r\cdot q.

Da $\gcd(p,q)=1$ , muss $q$ ein Teiler von $s$ sein. Analog folgt aus $\gcd(r,s)=1$ , dass $s$ ein Teiler von $q$ ist.
Daher $q=s$ , und daraus $p=r$ .
Also gibt es zu jeder rationalen Zahl genau eine Darstellung $\tfrac{p}{q}$ mit $\gcd(p,q)=1$ .

Reelle Zahlen

Exercise 7: 🧩

Zeige, dass zwischen je zwei rationalen Zahlen $a,b\in\mathbb{Q}$ mit $a<b$ wieder eine rationale Zahl liegt.

Solution

Wir vermuten beispielsweise $\frac{a+b}{2}$ .
Nach Voraussetzung ist $a<b$ . Es folgt $a+a<a+b<b+b$ , also $2a<a+b<2b$ und damit $a<\frac{a+b}{2}<b$ . Zwischen $a$ und $b$ liegt also sicher ihr arithmetisches Mittel $\frac{a+b}{2}$ , was gemäss Definition wieder eine rationale Zahl ist, da $\mathbb{Q}^*$ unter Division abgeschlossen ist.

Es scheint, als sei die Zahlengerade durch die "überall dicht" liegenden rationalen Zahlen lückenlos besetzt, da sich zwischen zwei noch so nahe beieinander liegenden rationalen Zahlen immer noch unendlich viele andere rationale Zahlen befinden. Diese Ansicht ist falsch! Es gibt noch Lücken.

Die Entdeckung der irrationalen Zahlen

In der goldenen Ära Griechenlands (bis ca. 400 BC.) galten unter den Gelehrten die natürlichen Zahlen und die Lehre ihrer Verhältnisse als das Mass aller Dinge. Die Entdeckung von inkommensurablen Längen riss eine grosse Kluft zwischen die Arithmetik, die diese irrationalen Zahlen erschaffen konnte, und die Geometrie, die sie nicht messen konnte.

Example 4

Ein Beispiel einer Zahl, die nicht durch ein Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann, ist $\sqrt{2}$ . Indirekter Beweis über die Parität, man könnte auch über die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung argumentieren.

Proof

Sei $\sqrt{2}\in\mathbb{Q}$ . Da $\sqrt{2}$ positiv, gibt es $a,b\in\mathbb{N}$ mit $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ vollständig gekürzt. Es folgt

\begin{align*} 2 &= \frac{a^2}{b^2}\\ 2b^2 &= a^2 \end{align*}

und damit muss $a^2$ gerade sein. Wenn $a^2$ gerade ist, so muss auch $a$ gerade sein, da in $a^2$ mindestens zwei Faktoren $2$ vorkommen müssten. Betrachte weiter

\begin{align*} 2b^2 &= a^2\\ b^2 &= \frac{a^2}{2}=\frac{a}{2}\cdot a, \end{align*}

was heisst, dass $b^2$ und damit $b$ gerade ist, denn das Produkt $\frac{a}{2}\cdot a$ ist immer gerade. Dies ist ein Widerspruch zur vollständig gekürzten Darstellung $\frac{a}{b}$ , da dieser Quotient sicher noch mit $2$ gekürzt werden könnte!

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen (ratio (lat.): Verhältnis) sind irrationale nicht als Verhältnis $\frac{a}{b}$ darstellbar.

Exercise 8: 🧩

Zeige, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen sind.

Das bedeutet: Zu jeder reellen Zahl $r\in\mathbb{R}$ und jedem $\varepsilon>0$ existiert eine rationale Zahl $q\in\mathbb{Q}$ , so dass

|r-q|<\varepsilon.

Solution

Sei $r\in\mathbb{R}$ und $\varepsilon>0$ .
Wähle eine natürliche Zahl $n$ mit $\tfrac{1}{n}<\varepsilon$ .

Nun betrachte die Zahl $k=\lfloor n r \rfloor$ (ganzzahliger Abrundung von $nr$ ). Dann gilt

k \le nr < k+1.

Teilen durch $n$ ergibt

\frac{k}{n} \le r < \frac{k+1}{n} = \frac{k}{n}+\frac{1}{n}.

Die Zahl $\tfrac{k}{n}$ ist rational, und der Abstand zu $r$ ist kleiner als $\tfrac{1}{n}<\varepsilon$ .

Die irrationalen Zahlen können nicht durch einen abbrechenden oder periodischen Dezimalbruch beschrieben werden. Sie bilden zusammen mit den rationalen Zahlen die Menge der reellen Zahlen, $\mathbb{R}$ .

Neben den Wurzelzahlen $\sqrt{2}=1.41421\dots$ , $\sqrt{3}=1.73205\dots$ etc. gehören Zahlen wie die Kreiszahl $\pi=3.14159\dots$ , die Euler'sche Zahl $\mathrm{e}=2.71828\dots$ und die Zahl des goldenen Schnitts $\Phi=1.61803\dots$ bzw. $\varphi=0.618\dots$ zu den berühmtesten irrationalen Zahlen.

Exercise 9: Primzahlwurzeln

Zeige, dass alle Primzahlwurzeln $\sqrt{p}$ irrational sind.

Solution

Sei $p\in\mathbb{N}$ , $p$ prim. Gegenannahme $\sqrt{p}\in\mathbb{Q}$ , das heisst $\exists a\in\mathbb{Z}, b\in\mathbb{N}$ so, dass

\sqrt{p}=\frac{a}{b}.

Es folgt

\begin{align*} \sqrt{p} &= \frac{a}{b} \tag{$(\,)^2$}\\ p &= \frac{a^2}{b^2}\tag{$\cdot b^2$}\\ b^2\cdot p &= a^2 \end{align*}

In der Primfaktorzerlegung der Quadratzahlen $a^2$ und $b^2$ kommt jeder Primfaktor der Zerlegung sicher eine gerade Anzahl Mal vor. Der Primfaktor $p$ jedoch kommt in der Zahl $b^2\cdot p$ eine ungerade Anzahl Mal vor; im Widerspruch zur Gleichheit!

Note 2: algebraisch und transzendent

Die reellen Zahlen werden manchmal auch in zwei Mengen aufgeteilt: In die algebraischen, die als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten aufgefasst werden können, also im Wesentlichen Wurzelausdrücke, und in die transzendenten Zahlen, das sind alle anderen. Während zum Ersteren die Zahl $\sqrt{2}$ und die des goldenen Schnitts $\phi$ gehören, sind die Zahlen $\pi$ und $\mathrm{e}$ transzendente Zahlen.

Exercise 10: Primzahlwurzel algebraisch

Zeige, dass jede Primzahlwurzel $\sqrt{p}$ algebraisch ist.

Solution

Sei $p\in\mathbb{N}$ prim. Dann ist $x^2-p=0$ ein entsprechendes Polynom.

Überabzählbarkeit von $\mathbb{R}$

Definition 1

Eine Menge $M$ heisst abzählbar, wenn es eine Bijektion $f:\mathbb{N}\to M$ gibt, also wenn sich die Elemente von $M$ in eine (endlose) Liste

m_1, m_2, m_3, \dots

bringen lassen, so dass jedes Element von $M$ genau einmal vorkommt.

Äquivalent: $M$ ist abzählbar, wenn $|M|=|\mathbb{N}|$ .

Eine Menge heisst überabzählbar, wenn sie nicht abzählbar ist, also grösser als jede abzählbare Menge.
Äquivalent: $M$ ist überabzählbar, wenn $|M|>|\mathbb{N}|$ .

Theorem 1

Das Intervall $(0,1)$ ist überabzählbar. Damit ist auch $\mathbb{R}$ überabzählbar.

Proof

Angenommen, $(0,1)$ sei abzählbar. Dann gäbe es eine Liste aller Zahlen aus $(0,1)$ :

x_1, x_2, x_3, \dots

Schreibe jede $x_i$ als Dezimalbruch ohne unendliche 9er-Enden. Notiere die Ziffern in einer Tabelle:

\begin{array}{ccl} x_1 &=& 0.\, a_{11}a_{12}a_{13}a_{14}\dots\\ x_2 &=& 0.\, a_{21}a_{22}a_{23}a_{24}\dots\\ x_3 &=& 0.\, a_{31}a_{32}a_{33}a_{34}\dots\\ \vdots \end{array}

mit $a_{ij}\in\{0,1,\dots,9\}$ .

Konstruiere nun eine neue Zahl $y\in(0,1)$ Ziffer für Ziffer entlang der Diagonale:

y=0.b_1 b_2 b_3\dots,\qquad b_i := \begin{cases} 1,& \text{falls } a_{ii}\neq 1,\\ 2,& \text{falls } a_{ii}=1. \end{cases}

Dann unterscheidet sich $y$ von $x_1$ in der 1. Ziffer, von $x_2$ in der 2. Ziffer, allgemein von $x_i$ in der $i$ -ten Ziffer. Also ist $y$ nicht in der Liste $x_1,x_2,\dots$ — Widerspruch dazu, dass die Liste vollständig sei. Also ist $(0,1)$ nicht abzählbar, sondern überabzählbar.

Da $(0,1)\subset\mathbb{R}$ , ist auch $\mathbb{R}$ überabzählbar.

Dies & Das zu Zahlenmengen

Exercise 11: Wahr oder falsch?

Sind diese Aussagen wahr oder falsch? Begründe.

a) Es gibt unendlich viele Zahlen zwischen 0.1 und $\dfrac{1}{9}$ .

b) $(1+\sqrt{2})$ ist eine irrationale Zahl, deren Quadrat irrational bleibt.

c) Es gibt unendlich viele Zahlen, deren Wurzel gleich der Zahl selbst ist.

Solution

a) Ja, denn $\frac{1}{9}=0.\overline{1}$ . Also sind $0.11$ , $0.101$ , $0.1001$ etc. bereits unendlich viele Zahlen dazwischen.

b) Ja, $(1+\sqrt{2})^2=1+2\sqrt{2}+2$ ist irrational.

c) Nein, denn es ist

\begin{align*} \sqrt{x} &=x\tag{$(\phantom{x})^2$}\\ x &= x^2\tag{$-x$}\\ x^2-x &= 0\\ x(x-1) &= 0 \end{align*}

Also sind $x=0$ und $x=1$ die einzigen Fixpunkte.

Exercise 12: 0.\overline{9}

Ist die Zahl $0.99999999\dots = 0.\overline{9}$ gleich 1? Begründe deine Antwort.

Solution

Betrachte $0.\overline{9}=:x$ . Also $10x=9.\overline{9}$ , und es folgt:

\begin{align} 10x-x &= 9.\overline{9}-0.\overline{9}\tag{TU}\\ 9x &= 9\tag{$\div9$}\\ x &= 1\notag \end{align}

Das heisst $0.\overline{9}=1$ .

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Überabzählbarkeit von R\mathbb{R}

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Überabzählbarkeit von $\mathbb{R}$