Zahlensysteme

Die Babylonier verwendeten als eines der ersten Völker ein hybrides Positionssystem - der Wert eines Zeichens hängt auch von dessen Position ab. Während wir heute in unserem Dezimalsystem (Basis $10$ ) die Ziffern $0, 1, 2, \dots, 9$ verwenden, brauchten die Babylonier in ihrem Sechzigersystem $59$ Ziffern; ein Zeichen für die Null gab es damals noch nicht.

Das Positionssystem

In einem Positionssystem bestimmt die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer - die "niederwertigste" Position steht dabei ganz rechts. So ein Stellenwertsystem hat eine Basis $b$ . Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht.

Die Berechnung des Zahlenwertes $z_nz_{n-1}\dots z_0$ erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffern $z_i$ mit den zugehörigen Stellenwerten $b_i$ und Addition dieser Produkte:

\text{Zahlenwert} = z_n\cdot b^n+\dots+z_i\cdot b^i+\dots+z_0\cdot b^0.

Example 1

Unter der Zahl $1257$ im üblichen Dezimalsystem (d.h. zur Basis $10$ ) verstehen wir den Wert

1\cdot10^3+2\cdot10^2+5\cdot10^1+7\cdot10^0 = 1257.

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten auf $0$ kann man nur ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu, kann man auch rationale Zahlen in einem Stellenwertsystem schreiben. Dabei wird der Übergang vom nichtnegativen zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert, beispielsweise einem Punkt:

1\cdot10^2+2\cdot10^1+1\cdot10^0+4\cdot10^{-1}+7\cdot10^{-2} = 121.47

(Das Positionssystem kommentiert)

Exercise 1: Binärzahlen

Die Idee des Positionssystems mit einer bestimmten Basis wird auch beim Binärsystem (Basis $2$ ) verwendet. Die binäre Zahl $1011$ entspricht der Dezimalzahl

1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0 = 8+2+1 = 11.

Stelle die Dezimalzahlen von $1$ bis $20$ im Binärsystem dar. Beschreibe dein Vorgehen.

Solution

BIN	DEC	BIN	DEC
0001	1	1011	11
0010	2	1100	12
0011	3	1101	13
0100	4	1110	14
0101	5	1111	15
0110	6	10000	16
0111	7	10001	17
1000	8	10010	18
1001	9	10011	19
1010	10	10100	20

Exercise 2: bin zu dec

Verwandle folgende Binärzahlen in Dezimalzahlen

1\quad\quad11\quad\quad111\quad\quad1111\quad\quad\dots

und

10\quad\quad100\quad\quad1000\quad\quad10000\quad\quad\dots

Solution

a) $1$ , $3$ , $7$ , $15$ , $2^{k}-1$

b) $2$ , $4$ , $8$ , $16$ , $2^k$

Exercise 3: Binär

Finde für die Dezimalzahl $34$ die Binärschreibweise.

Solution

Ich gucke, welche Zweierpotenz noch Platz hat und fahre dann mit dem Rest analog fort. Man kann auch stetig durch zwei Teilen und am Ende die Binärzahl rückwärts zusammensetzen. $34 = 2^5+2^1 = 100010_{(2)}$

Das Binärsystem

Wie könnte eine Codierung von Zeichen im Computer realisiert werden? Der Computer arbeitet mit elektrischem Strom. Das heisst er kann lediglich die beiden Zustände "Strom an" und "Strom aus" unterscheiden. Man codiert $1$ für den ersten und $0$ für den zweiten Zustand. Die Information, die durch den Strom in einer Leitung codiert ist, heisst ein Bit (binary digit). So lassen sich bloss zwei Zeichen codieren. Kombiniert man aber zwei Leitungen, lassen sich nun vier Zustände unterscheiden:

Leitung 1	Leitung 2
0	0
0	1
1	0
1	1

Exercise 4: Leitungen

Stelle eine Tabelle für drei Leitungen auf.

Solution

Leitung 1	Leitung 2	Leitung 3
0	0	0
0	0	1
0	1	0
0	1	1
1	0	0
1	0	1
1	1	0
1	1	1

Exercise 5: Ein Byte

Wie viele Leitungen braucht man, um alle Buchstaben des Alphabets codieren zu können?

Solution

Für das Alphabet mit 26 Buchstaben braucht man mindestens $5$ Leitungen, da $2^4 = 16$ und $2^5 = 32$ . Als Standardgrösse hat sich ein Byte, $2^8 = 256$ Zustände, etabliert.

In der Informatik ist es üblich, acht Leitungen zur Speicherung von Informationen zusammenzufassen. Insgesamt lassen sich damit $2^8 = 256$ verschiedene Zeichen darstellen. Man spricht bei dieser Bündelung von acht Leitungen vom Informationsgehalt ein Byte.

Note 1

Früher rechnete man noch in Kilobyte, was ca. 1000 Bytes entspricht. Kilo wurde in diesem Zusammenhang nicht wie üblich für den Wert Tausend verwendet, sondern für $2^{10} = 1024\approx1000$ . Deshalb ist zum Beispiel ein Megabyte = 1024 Kilobyte.

Addieren im Binärsystem

Die Addition von Binärzahlen funktioniert prinzipiell genau so, wie die Addition von Dezimalzahlen.

Exercise 6: Binär schriftlich addieren

Addiere schriftlich die Binärzahlen $1001011$ und $101011$ .

Solution

\begin{align*} 1001001 &\\ +\phantom{01}101011 &\\ \hline 1110100& \end{align*}

Werden mehrere Binärzahlen addiert, kann der Übertrag natürlich auch grösser als $1$ werden.

Exercise 7: Binär schriftlich addieren II

Addiere schriftlich die Binärzahlen $1001011$ , $101011$ und $101010$ .

Solution

\begin{align*} 1001011 &\\ +\phantom{01}101011 &\\ +\phantom{01}101010 &\\ \hline 10100000 \end{align*}

Negative Zahlen

Schauen wir vierstellige Binärzahlen, sogenannte Nibbles, an. Insgesamt können mit einem Nibble $16$ verschiedene Zahlen dargestellt werden. Was passiert nun bei fortlaufender Addition von $1$ ausgehend von der Zahl $0$ ?

0\overset{+1}{\longrightarrow}1\overset{+1}{\longrightarrow}2\overset{+1}{\longrightarrow}\dots\overset{+1}{\longrightarrow}14\overset{+1}{\longrightarrow}15\overset{+1}{\longrightarrow}???

Wir können diese Additionskette als Zyklus auffassen, wenn wir die binäre Vierstelligkeit nicht verlassen wollen. Addieren wir nun zur Zahl $1111_{(2)}$ die $1$ , so erhalten wir $(1)0000_{(2)}$ , also die Zahl $0$ mit einem Überlauf. Wenn Addieren gleichzusetzen mit um eins im Uhrzeigersinn verschieben ist, dann sollte man Subtrahieren mit der Umkehrung definieren.

Genau diesen Zusammenhang kann man zur Berechnung der Darstellung einer negativen Zahl im Binärsystem verwenden:

Ist eine Zahl gegeben, so bildet man zuerst das sogenannte Einerkomplement, indem man einfach jedes der $8$ Bit "kippt".
Danach addiert man noch $1$ zum Einerkomplement.

Example 2

Wir betrachten die Zahl $23 = 00010111_{(2)}$ . Durch Kippen erhält man $11101000$ . $1$ addieren bringt $11101001 = -23$ .

Exercise 8: Negative Binärzahlen

Welche Binärzahl repräsentiert $-7_{(10)}$ ? Addiere $-7_{(10)}+7_{(10)}$ .

Solution

$-7 = 1001_{(2)}$ und $7 = 0111_{(2)}$ .

\begin{align*} \phantom{0}1001 &\\ +\phantom{0}0111 &\\ \hline (1)0000 \end{align*}

Die Frage, die bleibt, ist: Welcher Zahl entspricht die $1000_{(2)}$ ? Es könnte $-8$ oder $+8$ bedeuten. Man löst dieses Dilemma, indem man einfach ein Vorzeichenbit einführt. Somit können wir also mit einem Nibble die Zahlen $-8$ bis $7$ darstellen.

Wir sind nun in der Lage, die Subtraktion im Binärsystem zu lösen, indem wir sie auf die Addition zurückführen.

\begin{align*} 127-19& = 127+(-19)\\ & = 0111\,1111_{(2)} + 1110\,1101_{(2)}\\ & = (1)0110\,1100_{(2)}\\ & = 108 \end{align*}

Exercise 9: Binär subtrahieren

Prüfe durch Rechnung obiges Beispiel. Berechne danach im Binärsystem $115-48$ .

Solution

$01110011-00110000 = 01110011+11010000 = (1)01000011$

Multiplizieren im Binärsystem

Neben der Addition und Subtraktion von Binärzahlen spielt die Multiplikation von Binärzahlen eine wesentliche Rolle. Wir kennen ein Verfahren in den Dezimalzahlen, welches wir direkt auf das Binärsystem anwenden können. Jedoch liegt dabei der Schwerpunkt auf dem Addieren, wie das folgende Beispiel zeigt.

Example 3

Wir berechnen das Produkt von $0000\,1001_{(2)}$ und $0010\,0111_{(2)}$ . Dezimal erhalten wir $9\cdot23 = 207$ .

Exercise 10: Binär schriftlich multiplizieren

Berechne $9\cdot23$ binär.

Solution


0	0	0	0	1	0	0	1	$\cdot$	0	0	0	1	0	1	1	1
									0	0	0	1	0	1	1	1
						0	0	0	1	0	1	1	1	0	0	0
									1	1	0	0	1	1	1	1

Bei der Multiplikation entstehen so bis zu acht Summanden, die anschliessend addiert werden müssen, dagegen ist die Multiplikation als solches sehr einfach. Ferner sieht man nun im Ergebnis zwei Bytes aneinander gereiht. Dabei haben wir Glück und das zweite Byte bleibt mit Nullen gefüllt, so dass unser Resultat wieder in ein Byte hinein passt. Es könnte ja auch sein, dass das vordere Byte benötigt wird, nämlich dann, wenn das Ergebnis grösser als $255$ ist.

Hexadezimalsystem

In der Informatik verwendet man manchmal statt des Binärsystems das 16er-System (Hexadezimalsystem). Dadurch können Werte übersichtlicher geschrieben werden und die Umrechnung ist wegen $16=2^4$ sehr einfach. Man braucht nun $16$ Ziffern und schreibt

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.

Example 4

Public Key von jorma.wassmer@lerbermatt.ch

Example 5

Das Zeichen 🧩 lautet in HTML-Code 🧩.

Exercise 11: Hex zu Dec und Bin

Welche Werte hat $1A_{(16)}$ und $ABC_{(16)}$ dezimal bzw. binär?

Solution

Es ist $1A_{(16)}=26$ , binär ist das $11010_{(2)}$ . $ABC_{(16)}=2748$ . Für die Binärdarstellung schreibe ich direkt 4er-Pakete um: $ABC_{(16)}=101010111100_{(2)}$ .

Exercise 12: Dec zu Hex

Notiere die Dezimalzahl $100$ im Hexadezimalsystem.

Solution

Die Umrechnung ergibt sich aus $100=6\cdot16+4=64_{(16)}$ .

Exercise 13: Hex zu Dec II

Welchen Wert haben folgende Hexadezimalzahlen im Dezimalsystem?

a) $10_{(16)}$

b) $A_{(16)}$

c) $1A_{(16)}$

d) $DEF_{(16)}$

Solution

a) $16$

b) $10$

c) $26$

d) $3567$

Exercise 14: Dec zu Hex II

Schreibe folgende Dezimalzahlen im Hexadezimalsystem:

a) $10$

b) $100$

c) $16$

d) $257$

Solution

a) Die $10$ entspricht dem Hexadezimalsymbol $A$ , also $A_{(16)}$ .

b) $64_{(16)}$

c) $10_{(16)}$

d) $101_{(16)}$

Exercise 15: Der direkte Draht

Da $16=2^{4}$ ist, entspricht jede Hexadezimalziffer genau einem 4er-Block von Binärziffern. Wandle folgende Zahlen direkt um: a) $11100101_{2}$ in eine Hexadezimalzahl. b) $A7F_{16}$ in eine Binärzahl.

Solution

a) $11100101_{2} \rightarrow E5_{16}$ b) $A7F_{16} \rightarrow 101001111111_{2}$

Exercise 16: Binäre Addition

Addiere die folgenden Binärzahlen schriftlich, wie du es vom Dezimalsystem gewohnt bist. Beachte die Überträge (z.B. $1_{2} + 1_{2} = 10_{2}$ ). a) $101_{2} + 10_{2}$ b) $1110_{2} + 1011_{2}$

Solution

a) $111_{2}$ (Dezimal: 5+2=7) b) $11001_{2}$ (Dezimal: 14+11=25)

Exercise 17: Die Macht der Null

Erkläre in deinen eigenen Worten, warum die Erfindung der Null für Stellenwertsysteme so entscheidend war. Welches konkrete Problem hatten die Babylonier ohne sie?

Solution

Die Null dient als Platzhalter. Ohne sie kann man in einem Positionssystem nicht zwischen Werten wie 2, 20 und 200 unterscheiden. Die Babylonier konnten z.B. 61 ( $1,1_{60}$ ) nicht eindeutig von 3601 ( $1,0,1_{60}$ ) unterscheiden, was zu Missverständnissen führen konnte.

Exercise 18: Farben im Web

Farben am Computer werden oft als Hexadezimal-Code im RGB-Format (Rot, Grün, Blau) angegeben. Der Code #FF8800 steht für eine Farbe. Die ersten beiden Stellen (FF) geben den Rotwert an, die nächsten beiden (88) den Grünwert und die letzten beiden (00) den Blauwert. Rechne die drei Farbwerte ins Dezimalsystem um (Wertebereich 0−255).

Solution

Rot: $FF_{16} = 15 \cdot 16^{1} + 15 \cdot 16^{0} = 240+15=255$ Grün: $88_{16} = 8 \cdot 16^{1} + 8 \cdot 16^{0} = 128+8=136$ Blau: $00_{16} = 0$

Das Sexagesimalsystem

Das babylonische Zahlensystem ist ein Stellenwertsystem zur Basis 60, mit dem beliebig grosse, aber auch beliebig kleine Zahlen systematisch dargestellt werden können. Die Babylonier benutzten eine Keilschrift. Da pro "Stelle" 60 Ziffern verwendet werden können, nennt man dieses Zahlensystem auch Sexagesimalsystem.

Interessant ist auch, dass die Babylonier ihr Stellenwertsystem auch für Nachkommazahlen nutzten. Dabei kam ihnen die vielfältige Teilbarkeit der Zahl 60 zugute - dies war vermutlich auch der Grund, weshalb das Sexagesimalsystem überhaupt eingeführt wurde. Ein Zeichen für den "Punkt" war nicht vorhanden, so dass die Zuordnung der Stellen zu den 60er-Potenzen nicht eindeutig war. Welche Position z.B. die $60^{0}$ -Stelle hat, musste aus dem Kontext erraten werden.

Eine genaue Untersuchung des Objekts fördert folgendes Schriftbild zutage. Wir erhalten so für die erste Zeile

1 \cdot 60^{0} + 24 \cdot 60^{-1} + 51 \cdot 60^{-2} + 10 \cdot 60^{-3}

Exercise 19: 🧩

Welche Zahl wird hier beschrieben?

Solution

Es ist $1 \cdot 60^{0} + 24 \cdot 60^{-1} + 51 \cdot 60^{-2} + 10 \cdot 60^{-3} = 1.41421_{296}$ , was nahe bei $\sqrt{2} \approx 1.414213\ldots$ ist.

Alte Einheiten

Früher waren noch Einheiten wie das Dutzend und, wie eben bei den Babyloniern gesehen, 60er Einheiten gebräuchlich. Folgende Tabelle, in der die Anzahl Teiler der ersten 100 Dezimalzahlen aufgelistet sind, kann einen Hinweis liefern, wieso gerade 12 und 60 als Basen so beliebt waren.