Vektoren in der Physik

Arbeit

Die Arbeit im physikalischen Sinn wird oft einfach durch Kraft mal Weg angegeben. Beide Grössen sind vektoriell, $\vec{F}$ und $\vec{s}$ . Wie die Figur zeigt, ist aber zur Berechnung der Arbeit $W$ nur die vektorielle Komponente $\vec{F_s}$ der Kraft $F$ in Richtung des Weges $\vec{s}$ zu berücksichtigen.

Benutzt man $F_s = F\cdot\cos\varphi$ , so erhält man für die Arbeit

W = \vec{F_s}\cdot\vec{s} = F\cdot s \cdot \cos \varphi

Merkwürdig ist, dass die Verknüpfung zweier vektorieller Grässen (Kraft, Weg) eine skalare Grösse (Arbeit) ergibt. Ferner bemerken wir, dass die Länge von $\vec{F_s}$ vom Winkel $\varphi$ abhängt.

Zerlegung eines Vektors

Die Zerlegung eines beliebigen Ortsvektors nach den Basisvektoren $\vec{e}_x$ und $\vec{e}_y$ im rechtwinkligen Koordinatensystem ist ein Spezialfall eines allgemeineren Sachverhalts. Insbesondere bei physikalischen Problemen muss man oft eine Kraft in zwei Teilkräfte, deren Richtungen vorgegeben sind, zerlegen.

Example 1

Die Lampe einer Strassenbeleuchtung hängt an zwei Spannseilen. Die Gewichtskraft der Lampe wird in zwei Teilkräfte mit vorgeschriebenen Richtungen zerlegt.
Eine Kugel mit der Gewichtskraft $\vec{F_G}$ bindet sich auf einer schiefen Ebene mit Neigungswinkel $\alpha$ . $\vec{F_G}$ lässt sich in die beiden Teilkräfte Hangabtriebskraft $\vec{F_H}$ und Normalkraft $\vec{F_N}$ zerlegen.

Realistische Darstellungen mit dem Computer

Wer kennt sie nicht, die Computergraphiken und -animationen in den Videoclips, in der Werbung, in kommerziellen und wissenschaftlichen Filmen, \dots?

In einem Werbespot der Firma General Motors wird ein Sportwagen vom Typ Pontiac Fiero Bauteil für Bauteil über den Wolken montiert.
Für das Weltraum-Epos The Last Starfighter wurden im Computer - ohne Modelle oder Zeichentrick-Vorlagen - 27 Minuten Schlachtgetümmel und Sternreisen komponiert.
Die Digital Effects Studios in New York bauten im Computer einen Strassenzug Manhattans der 30er Jahre nach, in dem der Betrachter mit naturgetreu wechselnden Perspektiven zwischen Wolkenkratzern wandeln kann.
Am MIT wurde ein Computer-Trickfilm entwickelt, in dem ein nahezu lichtschnelles Raumschiff den Studenten die Tücken relativistischer Raumfahrt demonstriert.

Um wirklichkeitsgetreue Abbildungen zu erhalten, muss man die verschiedensten Dinge beachten wie zum Beispiel die Richtung des einfallenden Lichts, die Oberflächenbeschaffenheit der darzustellenden Körper, deren Lichtdurchlässigkeit etc. In Wirklichkeit sind sehr wenige Flächen einfarbig. Oft beeinflussen Schattierungen, Spiegelbilder und durchscheinende Bilder das Ergebnis. Mit einfachen und komplizierten Algorithmen kann man heute schon sehr realistische Bilder erstellen. Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie eine Tiefenwirkung durch die verschiedenen Begrenzungsflächen eines Körpers mit einer einfachen Idee erzeugt werden kann.

Wir gehen davon aus, dass der darzustellende Körper von einer Lichtquelle, die sich der Einfachheit halber im Unendlichen befindet, beleuchtet wird. Die Lichtstrahlen treffen auf die verschiedenen Begrenzungsflächen des Körpers auf und werden nach dem Reflexionsgesetz (Einfallswinkel=Ausfallswinkel) reflektiert.

Man nimmt nun an, dass die Helligkeit einer Fläche nur durch den Einfallswinkel $\varphi$ bestimmt wird. In der Informatik benutzt man die Lambert'sche Regel, die besagt, dass der Anteil des jeweils reflektierten Lichts gleich dem Cosinus des Einfallswinkels $\varphi$ ist. Wenn $L$ die Intensität der Lichtquelle ist, so berechnet sich die Helligkeit $H$ der darzustellenden Fläche durch

H(\varphi) = k\cdot L\cdot\cos(\varphi)

wobei $k$ eine Materialkonstante ist. $k$ nimmt Werte zwischen $0$ und $1$ an und gibt den Prozentsatz des reflektierten Lichts an.

Mit Hilfe dieser einfachen Methode kann man mit verhältnismässig wenig Rechenaufwand schon erstaunlich gute Bilder erstellen.

Das Drehmoment

Auf den Körper wirke im Punkt $P$ eine Kraft $\vec{F}$ wie in der Abbildung skizziert. Für die Berechnung des Drehmoments $M$ benötigt man nicht die Entfernung $r =\overline{OP}$ , sondern den Abstand $a =r\cdot\sin\varphi$ der Wirkungslinie der Kraft vom Drehpunkt $O$ :

M = a\cdot F = r\cdot F\cdot \sin(\varphi)

Physikalische Experimente zeigen:

die Drehachse steht senkrecht zur Ebene, die durch $\vec{r}$ und $\vec{F}$ aufgespannt wird,
die Drehrichtung wird durch $\vec{r}$ und $\vec{F}$ so bestimmt, dass ein rechtshändiges System vorliegt ( $\vec{r}$ : Daumen, $\vec{F}$ : Zeigefinger, Drehrichtung: Mittelfinger der rechten Hand).

Man schreibt dafür:

\vec{M} = \vec{r}\times\vec{F}

Example 2

Eine nützliche Anwendung zeigt sich in der Elektrotechnik zur Bestimmung der Richtung der Lorentzkraft. Es gilt nämlich

\vec{F} = Q\cdot(\vec{v}\times\vec{B}),

wobei $Q$ für die Ladung, $\vec{v}$ für die Geschwindigkeit der Ladung und $\vec{B}$ für das Magnetfeld steht.

Der ausgestreckte rechte Zeigefinger folgt der technischen Stromrichtung, also der Bewegungsrichtung von positiv geladenen Ladungsträgern bzw. der entgegengesetzten Bewegungsrichtung negativer Ladungsträger.

Der ausgestreckte rechte Mittelfinger folgt der Richtung der Magnetfeldlinien, also der Richtung, in die sich der Nordpol eines Probemagneten ausrichtet. Der rechte Daumen zeigt nun in die Wirkungsrichtung der Lorentzkraft.