Maturaufgabe

a) Weil $\vec{AB}$ und $\vec{AD}$ gleich lang sind, folgt $z=\pm4$. Da $\vec{AB}$ auf $\vec{AD}$ senkrecht steht, folgt $x=0$. Also gibt es die beiden Möglichkeiten $\begin{pmatrix} 0\\3\\ \pm4 \end{pmatrix}$ Ich nehme für die Fortsetzung $z=4$.

b) $\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}=\begin{pmatrix} 5\\3\\4 \end{pmatrix}$ und $\vec{BD}=-\vec{AB}+\vec{AD}=\begin{pmatrix} -5\\3\\4 \end{pmatrix}$

c)

Wir haben die Gleichungen

Das Vektorprodukt ist $\begin{pmatrix} 0\\-20\\15 \end{pmatrix}$ und hat Länge $25$, also ist $\vec{MS}=\begin{pmatrix} 0\\-8\\6 \end{pmatrix}$ und damit folgt $\vec{AS}=\begin{pmatrix} 2.5\\-6.5\\8 \end{pmatrix}$.

a) $\alpha=\arccos\left(\frac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{ \mid \vec{AB} \mid \cdot \mid \vec{AC} \mid }\right)=\arccos(\frac{1}{\sqrt{5}})\approx63^\circ$, $\beta=90^\circ$ und $\gamma=180-\alpha-beta=27^\circ$. Die Fläche ist $F=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\sqrt{5}\sin(\alpha)=1$.

b) Ich vergleiche die Normalenvektoren der Seitenflächen. $\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix} 0\\0\\2 \end{pmatrix}$ und $\vec{AB}\times\vec{As}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix}$. Mit der Zwischenwinkel-Formel folgt $\varphi=45^\circ$.

c) Für das Volumen brauchen wir die Höhe und für die Höhe den Lotfusspunkt $H$. Die Grundfläche $ABC$ hat Koordinatengleichung $E:z+D=0$ oder in der $xy$-Ebene platziert $z=0$. Zusätzlich wählen wir $A$ im Ursprung. Damit gilt $H=\vec{AS}+\lambda\begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix}$, also $2+\lambda=0$. Somit $\lambda=-2$ und $H(2 \mid 0 \mid 0)$.\ Man hätte auch Richtung $\vec{AB}$ und $\vec{AC}$ gehen können um $\vec{AH}$ zu erhalten, dies mit den Nebenbedingungen, dass $\vec{HS}$ sowohl auf $\vec{AB}$ als auch auf $\vec{AC}$ senkrecht steht.

Nun können wir mit dem Flächensatz das Volumen ausrechnen: