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Exercise 1

Die Verteilung der Zufallsvariablen $Y$ ist wie folgt: $p(Y=1)=\beta$ , $p(Y=2)=2\beta$ , $p(Y=3)=3\beta$ , $p(Y=4)=4\beta$ .
1. Finde den Wert $\beta$
2. Finde $p(Y=2)$ und $p(Y>2)$
3. Finde den Mittelwert und die Standardabweichung von $Y$
Eine Bäckerei hat sechs ununterscheidbare Muffins in der Auslage. Zwei davon sind jedoch mit Erdbeermarmelade und die anderen mit Aprikosenmarmelade gefüllt. Claire, die Erdbeermarmelade hasst, kauft zwei Muffins nach dem Zufallsprinzip. Bestimme die durchschnittliche Anzahl der Erdbeer-Muffins, die Claire kaufen wird, wenn sie diese Strategie jedes Mal anwendet, wenn sie Muffins kauft.
Die Anzahl der während eines Zeitraums von einer Stunde emittierten Partikel wird durch die Zufallsvariable $X$ bezeichnet. Die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$
$p(X=k)=\frac{4^k}{k!} e^{-4}$
ist, wobei $k=0,1,2,...$ . Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass während einer Stunde mehr als $4$ Teilchen emittiert werden.
Sophie hat $20$ Töpfe, die mit 1 bis 20 beschriftet sind. Jeder Topf und sein Inhalt sind in jeder Hinsicht identisch. Sophie pflanzt einen Samen in jeden Topf, mit der Hoffnung, dass eine Blume wächst. Jeder Samen hat eine Keimwahrscheinlichkeit von $0.8$ .
1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Samen keimen werden?
2. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass nur fünf Samen nicht keimen werden?
3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als die Hälfte der Samen keimt?
4. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen $7$ und $14$ Samen keimen werden?
5. Wie viele Töpfe muss Sophie verwenden, um $99.99\%$ sicher zu sein, dass mindestens ein Samen keimt?
6. Sophie pflanzt jedes Jahr $20$ Töpfe. Wie viele keimende Samen erhält sie im Durchschnitt pro Jahr? Und um wie viel schwankt diese Anzahl pro Jahr?
Während einer Wahlkampagne sind $66\%$ einer Wählerschaft für einen Vorschlag zur Kontrolle der Lebensmittelqualität. Eine Stichprobe von $7$ Personen wurde nach dem Zufallsprinzip aus der Wählerschaft ausgewählt. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass:
1. es $4$ Wähler geben wird, die für den Vorschlag sind.
2. mindestens $2$ Wähler für den Vorschlag gestimmt haben.
Ein Röntgenbild zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von $0.95$ einen Beinbruch. Wenn $5$ verschiedene Röntgenbilder von einem bestimmten Bein gemacht werden, finde die Wahrscheinlichkeit, dass
1. alle fünf Röntgenbilder die Fraktur erkennen.
2. die Fraktur nicht zu sehen ist.
3. mindestens 3 Röntgenbilder die Fraktur zeigen.
Es wird angenommen, dass die Geburten von Männern und Frauen gleich wahrscheinlich sind. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit $6$ Kindern:
1. es genau $3$ Mädchen gibt.
2. es keine Mädchen gibt.
3. die Mädchen in der Mehrheit sind.
4. Wie viele Mädchen können in einer Familie mit 6 Kindern erwartet werden? Und was ist die typische Abweichung von diesem Durchschnitt?
Zwei Münzen werden zwanzig-mal geworfen. Otto gewinnt $10$ £, wenn zwei Köpfe auftauchen, und er verliert sonst $1$ £. Wie viel Geld kann Otto im Durchschnitt gewinnen?
Das Startgeld für das Spiel "Chuck the Luck" beträgt $1$ Dollar. Zunächst wählt der Spieler eine Zahl zwischen $1$ und $6$ . Dann wird dreimal ein Würfel geworfen. Wird die gewählte Zahl nicht erreicht, ist das Startgeld verloren. Wird die gewählte Zahl einmal, zweimal oder dreimal getroffen, gewinnt der Spieler $1$ , $2$ bzw. $3$ Dollar. Ist dies ein faires Spiel in dem Sinne, dass der erwartete Gesamtgewinn pro Spiel gleich Null ist?
Ein Beutel enthält $5$ Kugeln, von denen $2$ rot sind. Ein Ball wird nach dem Zufallsprinzip ausgewählt, die Farbe notiert, und in den Beutel zurückgelegt. Dieser Vorgang wird $50$ Mal durchgeführt. Bestimme den Durchschnitt und die Standardabweichung der Anzahl der ausgewählten roten Kugeln.
Die binomial verteilte Zufallsvariable $X$ hat den Mittelwert $\mu=8$ und die Standardabweichung $\sigma=\sqrt{4.8}$ . Finde $p(X=3)$ .
Bei einem Schiesswettbewerb trifft eine Teilnehmerin immer die Zielscheibe, und ins Schwarze bei drei von fünf Versuchen. Wenn die Teilnehmerin ins Schwarze trifft, erhält sie $10$ Dollar, sonst nur $5$ Dollar. Was kann die Teilnehmerin an Gewinn
1. bei einem Versuch auf das Ziel im Durchschnitt erwarten?
2. bei $20$ Versuchen im Durchschnitt erwarten?

Solution

A1

In einem Zufallsexperiment mit $n$ möglichen Werten $x$ einer Zufallsvariable $X$ gilt: $p(X = x_1) + p(X = x_2) + p(X = x_3) + ... + p(X = x_n) = 1$ . Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ausgänge muss genau $1$ betragen. Somit: $\\p(Y = 1) + p(Y = 2) + p(Y = 3) + p(Y = 4) = 1 \Rightarrow \beta + 2\beta + 3\beta + 4\beta = 1 \Leftrightarrow 10\beta = 1 \Leftrightarrow \underline{ \beta = \frac{1}{10}}$
1. $p(Y = 2) \Rightarrow 2\beta \Rightarrow 2 \cdot \frac{1}{10} = \underline{\frac{1}{5}}$
2. $p(Y > 2) = p(Y = 3) + p(Y = 4) \Rightarrow \underline{\frac{7}{10}}$
1. $\mu = p(Y = 1) \cdot 1 + p(Y = 2) \cdot 2 + p(Y = 3) \cdot 3 + p(Y = 4) \cdot 4 \Rightarrow \beta \cdot 1 + 2\beta \cdot 2 + 3\beta \cdot 3 + 4\beta \cdot 4 = 30\beta \Rightarrow \underline{\frac{30}{10} = 3}$
2. $\sigma^2=p(Y = 1)(1 - \mu)^2 + p(Y = 2)(2 - \mu)^2 + p(Y = 3)(3 - \mu)^2 + p(Y = 4)(4 - \mu)^2 \Rightarrow \beta \cdot (-2)^2 + 2\beta \cdot (-1)^2 + 3\beta \cdot (0)^2 + 4\beta \cdot (1)^2 = 4\beta + 2\beta + 4\beta = 10\beta \Rightarrow \frac{10}{10} = 1$ Somit: $\sigma = \sqrt{1} = \underline{1}$

A2

Wir definieren die Zufallsvariable $X =$ "Anzahl Erdbeermuffins" $\\ p(X = 0) = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5} \\ p(X = 1) = \frac{2}{6} \cdot \frac{4}{5} + \frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{15} \\ p(X = 2) = \frac{2}{6} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{15} \\ \mu = p(X = 0) \cdot 0 + p(X = 1) \cdot 1 + p(X = 2) \cdot 2 = 0 + \frac{5}{15} + \frac{1}{15} \cdot 2 = \frac{10}{15} = \underline{\frac{2}{3}}$

A3

$p(X > 4) = 1 - p(X = 4) - p(X = 3) - p(X = 2) - p(X = 1) - p(X = 0)\\ \Rightarrow 1 - e^{-4}(\frac{4^4}{4!} + \frac{4^3}{3!} + \frac{4^4}{2!} + \frac{4^4}{2!} + \frac{4^1}{1!} + \frac{4^0}{0!})\\ = 1- e^{-4}(+ + 4 + 8 + \frac{64}{3})\\ = 1 - 0.6288 = \underline{0.3712}$

A4

Wir definieren die Zufallsvariable $X =$ "Anzahl gekeimte Samen im Topf", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 20$ und $p = 0.8$ .

$p(X = 20) \Rightarrow binompdf(20, 0.8, 20) \Rightarrow 0.8^{20} \cdot 0.2^{0} = \underline{0.8^{20}}$
$p(X = 15) \Rightarrow binompdf(20, 0.8, 15) = \underline{0.175}$
$p(X \le 10) \Rightarrow binomcdf(20, 0.8, 9) = \underline{5.63 \cdot 10^{-4}}$
$p(7 \le X \le 14) = p(X \le 14) - p(X \le 6) \Rightarrow binomcdf(20, 0.8, 14) - binomcdf(6, 0.8, 20) = \underline{0.1958}$
Es muss gelten: $\\ p(X \ge 1) \stackrel{!}{>} 99.99\%$ $\\$ Wir betrachten nun die Gleichung: $\\ 1 - p(X = 0) = 0.9999\\ \Rightarrow 1 - binompdf(20, 0.8, 0) = 0.9999\\ \Rightarrow 1 - \binom{n}{0} \cdot 0.8^0 \cdot 0.2^{n} = 0.9999 \\ \Rightarrow 1- 1 \cdot 1 \cdot 0.2^n = 0.9999\\ \Leftrightarrow -0.2^n = -0.0001\\ \Leftrightarrow 0.2^n = 0.0001\\ \Leftrightarrow n = log_{0.2}(0.0001)\\ \Leftrightarrow n = 5.72\\$ Wir suchen $p(X \ge 1) > 99.99\%$ mit $n \ge 5.72\\$ Aufgrund von $n \in \mathbb{N}$ gilt: $\\\underline{n \ge 6}$
Der Mittelwert einer binominalverteilten Zufallsvariable wird berechnet mit $\mu = n \cdot p$ , also: $\\ \mu = 20 \cdot 0.8 = \underline{16}\\$ Die Standardabweichung wiederum mit: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ , also: $\\ \sigma = \sqrt{20 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \underline{\sqrt{3.2}}$

A5

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Anzahl Zustimmungen", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 7$ und $p = 0.66$ .

$p(X = 4) \Rightarrow binompdf(7, 0.66, 4) = \underline{0.26}$
$p(X \ge 2) = 1 - p(X \le 1) \Rightarrow 1 - binomcdf(7, 0.66, 1) = \underline{0.99}$

A6

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Feststellung der Fraktur", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 5$ und $p = 0.95$ .

$p(X = 5) \Rightarrow binompdf(5, 0.95, 5) \Rightarrow 0.95^5 = \underline{0.77}$
$p(X = 0) \Rightarrow binompdf(5, 0.95, 0) \Rightarrow 0.05^5 = \underline{3.125 \cdot 10^{-7}}$
$p(X \ge 3) = 1 - p(X \le 2) \Rightarrow 1 - binomcdf(5, 0.95, 2) = \underline{0.9988}$

A7

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Geburt eines Mädchens", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 6$ und $p = 0.5$ .

$p(X = 3) \Rightarrow binompdf(6, 0.5, 3) = \underline{0.3125}$
$p(X = 0) \Rightarrow binompdf(6, 0.5, 0) \Rightarrow 0.5^6 = \underline{0.016}$
$p(X > 3) = 1 - p(X \le 3) \Rightarrow 1 - binomcdf(6, 0.5, 3) = \underline{0.34}$
Der Mittelwert einer binominalverteilten Zufallsvariable wird berechnet mit $\mu = n \cdot p$ , also: $\\ \mu = 6 \cdot 0.5 = \underline{3}\\$ Die Standardabweichung wiederum mit: $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)}$ , also: $\\ \sigma = \sqrt{6 \cdot 0.5 \cdot 0.5} = \underline{\sqrt{\frac{3}{2}}}$

A8

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Anzahl Köpfe", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 20$ und $p = 0.25$ (Wahrscheinlichkeit, 2x Kopf zu werfen). $\\$ Im Durchschnitt gewinnt eine Person $\mu = n \cdot p \Rightarrow 20 \cdot 0.25 = 5$ Mal. Bei jedem dieser 5 Gewinne erhält die Person 10£ ( $10£ \cdot 5 = 50£$ ), während sie bei den restlichen $15$ Durchläufen je 1£ verliert ( $-1 \cdot 15£ = -15£$ ). Somit beträgt die Gesamtsumme: $\\$ $50£ - 15£ = \underline{35£}$

A9

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Anzahl der gewählten Zahl", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 3$ und $p = \frac{1}{6}$ (Würfelwahrscheinlichkeit), sowie eine Zufallsvariable $W =$ "Gesamtgewinn". $\\ p(W = 2) = p(X = 3) \Rightarrow binompdf(3,\frac{1}{6}, 3) \Rightarrow (\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}\\ p(W = 1) = p(X = 2) \Rightarrow binompdf(3, \frac{1}{6}, 2) = \frac{15}{216}\\ p(W = 0) = p(X = 1) \Rightarrow binompdf(3, \frac{1}{6}, 1) = \frac{75}{216}\\ p(W = -1) = p(X = 0) \Rightarrow binompdf(3, \frac{1}{6}, 0) \Rightarrow (\frac{5}{6})^3 = \frac{125}{216}\\$ Der Durchschnitt des gewonnenen Geldes beträgt: $\\ \mu = p(W = -1) \cdot -1 + p(W = 0) \cdot 0 + p(W = 1) \cdot 1 + p(W = 2) \cdot 2 \Rightarrow \frac{125}{216} \cdot -1 + \frac{75}{216} \cdot 0 + \frac{15}{216} \cdot 1 + \frac{1}{216} \cdot 2 = \underline{-\frac{1}{2}}\\$ Die Person verliert im Schnitt 0.5 Dollar.

A10

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Anzahl rote Kugeln", die binomialverteilt ist mit den Parametern $n = 50$ und $p = 0.4$ (Ziehwahrscheinlichkeit).

$\mu = n \cdot p \Rightarrow 50 \cdot 0.4 = \underline{20}$
$\sigma^2 = n \cdot p \cdot (1 - p) \Rightarrow 50 \cdot 0.4 \cdot 0.6 = 12 \\ \sigma = \underline{\sqrt{12}}$

A11

Es gilt: $\\ \mu \stackrel{!}{=} 8\\ \Rightarrow n \cdot p = 8\\ \sigma \stackrel{!}{=} \sqrt{4.8}\\ \Rightarrow\sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \sqrt{4.8}\\ \Leftrightarrow n \cdot p - n \cdot p^2 = 4.8\\$ Wir setzen $n \cdot p = 8$ in die zweite Gleichung ein: $\\ \Rightarrow 8 - 8p = 4.8\\ \Leftrightarrow 8p = 3.2\\ \Leftrightarrow p = 0.4\\$ Und für $n$ erhalten wir: $\\ \Rightarrow n \cdot 0.4 = 8 \Leftrightarrow n = 20\\$ Also gilt: $\\ p(X = 3) \Rightarrow binompdf(20, 0.4, 8) \Rightarrow \underline{0.0123}$

A12

Wir definieren eine Zufallsvariable $X =$ "Preis". $\\$ Es gilt: $\\ p(X = 10) = \frac{3}{5} p(X = 5) = \frac{2}{5}\\$ Der durchschnittliche Geldgewinn beträgt: $\\ \mu = \frac{3}{5} \cdot 10 + \frac{2}{5} \cdot 5 = \underline{8}$
Nun ist die Zufallsvariable binomialverteilt mit den Parametern $n = 20$ und $p = \frac{3}{5}$ . Also beträgt die durchschnittliche Anzahl Gewinne in 20 Versuchen: $\\ \mu = n \cdot p \Rightarrow 20 \cdot \frac{3}{5} = 12\\$ Somit beträgt der durchschnittliche Geldgewinn in 20 Versuchen: $\\ \mu_{Geldgewinn} = 12 \cdot 10 + (20 - 12) \cdot 5 = 120 + 8 \cdot 5 = 120 + 40 = \underline{160}$