Systeme linearer Gleichungen

Eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten

Betrachte eine Gleichung der Form

3x+2y=03x+2y=0

wobei xx und yy Variablen sind, die für unbekannte Werte stehen. Im Gegensatz zu einer gewöhnlichen linearen Gleichung, z.B. 3x+2=03x+2=0, hat die obige Gleichung also zwei Unbekannte. Aber wir nennen die Gleichung 3x+2y=33x+2y=3 immer noch linear, weil sowohl xx als auch yy nicht quadriert werden, nicht die Wurzel gezogen werden, usw. Zum Beispiel sind alle diese Gleichungen nicht linear:

  1. 3x2+2y=03x^2+2y=0
  2. 3x+2y=03x+2\sqrt{y}=0
  3. 31y+2y=03\frac{1}{y}+2y=0
  4. 3x2+2y2=03x^2+2y^2=0

Die lineare Gleichung 3x+2y=03x+2y=0 zu lösen bedeutet, für die Variablen xx und yy Werte zu finden, so dass die linke Seite gleich der rechten Seite ist. Es stellt sich heraus, dass es unendlich viele Lösungen gibt. Weisen wir zum Beispiel yy einen beliebigen Wert zu, sagen wir y=4y=4, muss nun gelten

3x+2⋅4=03x+2\cdot 4=0

und das passende xx ist somit

x=−83x=-\frac{8}{3}

Eine Lösung ist also x=43,y=4x=\frac{4}{3}, y=4. Oder weisen wir yy den Wert −2-2 zu, d.h. wir müssen ein xx finden mit

3x+2⋅(−2)=03x+2\cdot (-2)=0

woraus x=43x=\frac{4}{3} folgt. Eine andere Lösung der linearen Gleichung ist also x=43,y=−2x=\frac{4}{3}, y=-2. Und so weiter.

Ein System linearer Gleichungen

Wir fügen nun eine zweite Gleichung hinzu, z. B.

3x+2y=02x−5y=−1\begin{array}{|llr|} 3x+2y & =&0 \\ 2x-5y & =&-1 \end{array}

Wir nennen dies ein System von linearen Gleichungen. Die beiden senkrechten Linien, die die beiden Gleichungen einrahmen, sind wichtig. Sie zeigen an, dass wir jetzt nach einem xx-Wert und einem yy-Wert suchen, so dass beide Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Zum Beispiel, die Werte x=43,y=4x=\frac{4}{3}, y=4 sind zwar eine Lösung von 3x+2y=03x+2y=0, aber nicht von 2x−5y=−12x-5y=-1, und somit keine Lösung des Systems.

Lösen eines Systems linearer Gleichungen

Wie können wir nun eine Lösung des obigen linearen Gleichungssystems finden, wenn es überhaupt eine gibt? Die Methode ist immer dieselbe: Wir lösen zunächst eine Gleichung für xx, oder für yy, was immer besser passt, respektive einfacher ist. Lösen wir zum Beispiel die obere Gleichung für xx:

3x+2y=0∣ −2y3x=−2y∣ :3x=−2y3\begin{array}{rlrl} 3x+2y & =&0& \quad | \, -2y \\ 3x & =&-2y& \quad | \, :3 \\ x & =&-\frac{2y}{3}& \end{array}

Hilft das? Ja, denn wenn wir jetzt das xx {\it in der zweiten Gleichung} durch −2y3-\frac{2y}{3} ersetzen, erhalten wir eine lineare Gleichung mit nur einer Variablen, und diese können wir lösen:

2⋅(−2y3)−5y=−1−4y3−5y=−1−4y−15y3=−1∣ ⋅3−19y=−3∣ :19y=319\begin{array}{rlrl} 2\cdot (-\frac{2y}{3}) - 5y & = & -1 \\[1ex] -\frac{4y}{3} - 5y & = & -1 \\[1ex] \frac{-4y-15y}{3} &= & -1 &\quad | \, \cdot 3 \\[1ex] -19y & = & -3& \quad | \, :19 \\[1ex] y & = & \frac{3}{19} \end{array}

Nun können wir dieses Ergebnis verwenden, um xx zu finden:

x=−2y3=−2⋅3193=−61931=−619⋅13=−219\begin{array}{lll} x=-\frac{2y}{3}&=&-\frac{2\cdot \frac{3}{19}}{3}\\[2ex] &=&-\dfrac{\frac{6}{19}}{\frac{3}{1}}\\[3ex] &=&-\frac{6}{19}\cdot \frac{1}{3}\\[2ex] &=&-\frac{2}{19} \end{array}

Eine Lösung der obigen Gleichung ist also x=−219‾x=\underline{-\frac{2}{19}} und y=319‾y=\underline{\frac{3}{19}}.

Überprüfen wir, ob dies richtig ist:

3⋅(−219)+2⋅319=0✓2⋅(−219)−5⋅319=−1✓\begin{array}{lll} 3\cdot (-\frac{2}{19})+2\cdot \frac{3}{19} & =0 \quad \checkmark\\[1ex] 2\cdot (-\frac{2}{19})-5\cdot \frac{3}{19} & =-1 \quad \checkmark\\[1ex] \end{array}

Es gibt auch andere Verfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen. Dieses hier nennt sich Substitutionsverfahren oder Einsetzverfahren.

Beachte, dass es wichtig ist, beide Gleichungen zu verwenden, um die Lösungen zu finden. Man kann zum Beispiel nicht −2y3-\frac{2y}{3} wieder durch das xx in der ersten Gleichung ersetzen, denn das führt zu der Gleichung

0=00=0

aus der wir keine weiteren Erkenntnisse über die Lösung gewinnen.

Exercise 1

Lösen Sie das lineare Gleichungssystem. Überprüfe die Lösung durch Einsetzen!

  1. 6x−7y=88x=24\begin{array}{|lll|} 6x-7y & =88 \\ x & =24 \end{array}
  2. x+3y=3y=3x\begin{array}{|lll|} x+3y & =3 \\ y & =3x \end{array}
  3. 5x−7y+9=0x+y=0\begin{array}{|lll|} 5x-7y+9 & =0 \\ x+y & =0 \end{array}
  4. 15x+4y=186x+y=0\begin{array}{|lll|} 15x+4y & =18 \\ 6x+y & =0 \end{array}
  5. 3x+4y=16y=2−x\begin{array}{|lll|} 3x+4y & =16 \\ y & =2-x \end{array}
  6. 6x+5y=42x=4y+2\begin{array}{|lll|} 6x+5y & =4 \\ 2x & =4y+2 \end{array}
  7. 9(x−y)+24x=1003(x−y)=32\begin{array}{|lll|} 9(x-y)+24x & =100 \\ 3(x-y) & =32 \end{array}
  8. 4y−19=y+205x+2y=126\begin{array}{|lll|} 4y-19 & =y+20 \\ 5x+2y & =126 \end{array}
  9. 2x−3y=612x+13y=16\begin{array}{|lll|} 2x-3y & =6 \\[1ex] \frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y & =\frac{1}{6} \end{array}
  10. 25x−312−20y−118=2x−yx+49=y+35\begin{array}{|lll|} \frac{25x-3}{12}-\frac{20y-1}{18} & =2x-y \\[1ex] \frac{x+4}{9} & =\frac{y+3}{5} \end{array}
  11. 16x+17y=9917y+16x=99\begin{array}{|lll|} 16x+17y & =99 \\ 17y+16x & =99 \end{array}
Solution
  1. x=24,y=8x=24, y=8
  2. x=0.3,y=0.9x=0.3, y=0.9
  3. x=−0.75,y=0.75x=-0.75, y=0.75
  4. x=−2,y=12x=-2, y=12
  5. x=−8,y=10x=-8, y=10
  6. x=1317,y=−217x=\frac{13}{17}, y=-\frac{2}{17}
  7. x=16,y=−212x=\frac{1}{6}, y=-\frac{21}{2}
  8. x=20,y=13x=20, y=13
  9. x=1513,y=−1613x=\frac{15}{13}, y=-\frac{16}{13}
  10. x=5,y=2x=5, y=2
  11. infinitely many solutions (both equations are identical).
Exercise 2

Löse das Gleichungssystem. Oftmals müssen die Gleichungen zunächst in eine lineare Form gebracht werden. Überprüfe die Lösung durch Einsetzen!

  1. xx−2−4y=1x2+1y=y3−1x\begin{array}{|lll|} \frac{x}{x-2}-\frac{4}{y} & =1 \\[1ex] \frac{x}{2+\frac{1}{y}}= & \frac{y}{3-\frac{1}{x}} \end{array}
  2. 1y+1+1y−1=10−xy2−11x−2+3y−4=52−x\begin{array}{|lll|} \frac{1}{y+1}+\frac{1}{y-1} & =\frac{10-x}{y^2-1} \\[1ex] \frac{1}{x-2}+ \frac{3}{y-4}& =\frac{5}{2-x} \end{array}
  3. x2−y2=1000x−y=10\begin{array}{|lll|} x^2-y^2 & =1000 \\ x-y & =10 \end{array}

Hinweis: Die erste Gleichung ist keine lineare Gleichung. Versuche trotzdem, sie zu lösen.

Solution
  1. x=0,y=4x=0, y=4 or x=6,y=8x=6,y=8
  2. infinitely many solutions
  3. x=55,y=45x=55, y=45
Exercise 3

Übersetze die folgenden Wortprobleme in ein System von linearen Gleichungen und löse es. Beginne immer damit, herauszufinden, was die unbekannten Variablen sind, die wir bisher mit xx und yy bezeichnet werden.

  1. Der Eintrittspreis für einen kleinen Jahrmarkt beträgt 1.50 sFr für Kinder und 4.00 sFr für Erwachsene. An einem bestimmten Tag betreten 2200 Personen den Jahrmarkt und es werden 5050 sFr eingenommen. Wie viele Kinder und wie viele Erwachsene waren anwesend?

  2. Die Summe der Ziffern einer zweistelligen Zahl ist 7. Wenn man die Ziffern umdreht, wird die Zahl um 27 erhöht. Finde die Zahl. Hinweis: Eine Zahl, z.B. 8282, kann als 8⋅10+28\cdot 10+2 geschrieben werden.

  3. Eine Frau besitzt 21 Haustiere. Jedes ihrer Haustiere ist entweder eine Katze oder ein Vogel. Wenn die Haustiere insgesamt 76 Beine haben und angenommen, dass keines der Vogelbeine aus dem Maul der Katzen herausragt, wie viele Katzen und wie viele Vögel besitzt die Frau?

  4. Zwei Arten von Kaffeebohnen werden gemischt. Nimmt man von der billigen Kaffeebohne doppelt so viel wie von der teuren, kostet ein Kilogramm der Mischung 17.50 sFR. Nimmt man von der teuren Kaffeebohne doppelt so viel wie von der billigen, so kostet ein Kilogramm der Mischung 18.50 sFR. Bestimmen Sie die Kosten pro Kilogramm des billigen und des teuren Kaffees.

  5. Ein Passagierflugzeug brauchte drei Stunden, um 1800 Kilometer in Richtung des Jetstreams zu fliegen. Der Rückflug gegen den Jetstream dauerte vier Stunden. Wie hoch war die Geschwindigkeit des Jets in ruhiger Luft und die Geschwindigkeit des Jetstreams?

Solution

  1. xx Anzahl der Kinder, yy Anzahl der Erwachsenen.

    x+y=22001.5x+4y=5050\begin{array}{|lll|} x+y & = &2200\\ 1.5x+4y&=&5050\\ \end{array}

    Lösung: x=1500x=1500 and y=700y=700.

  2. xx die Anzahl der Zehner, yy die Anzahl der Einsen. Eine Zahl, z.B. 8282, kann geschrieben werden als

    8⋅10+28\cdot 10+ 2

    und allgemein kann die Zahl xyxy (keine Multiplikation) geschrieben werden als

    10x+y10x+y

    Wir haben also das System

    x+y=710y+x=10x+y+27\begin{array}{|lll|} x+y & = & 7\\ 10y+x &= &10x+y+27\\ \end{array}

    und es folgt x=2x=2 and y=5y=5.

  3. xx Anzahl Katzen (4 Beine), yy Anzahl Vögel (zwei Beine).

    4x+2y=76x+y=21\begin{array}{|lll|} 4x+2y & = & 76\\ x+y &= & 21\\ \end{array}

    Es folgt x=17,y=4x=17, y=4

  4. xx Preis der billigen Bohnen, yy Preis der teuren Bohnen. In jedem Fall kaufen wir insgesamt drei kg, also haben wir

    2x+y=17.5⋅3x+2y=18.5⋅3\begin{array}{|lll|} 2x+y & = & 17.5\cdot 3\\ x+2y &= & 18.5\cdot 3\\ \end{array}

    Es folgt x=16.5x=16.5 sFr/kg and y=19.5=19.5 sFr/kg.

  5. xx Geschwindigkeit des Jetstreams (Kilometer pro Stunde relativ zum Boden), yy Geschwindigkeit des Jets ohne Wind (Kilometer pro Stunde relativ zum Boden). Gesamtgeschwindigkeit des Flugzeugs (relativ zum Boden), wenn es sich in Richtung des Strahlstroms bewegt: y+xy+x. Gesamtgeschwindigkeit, wenn sich der Jet gegen den Jetstream bewegt: y−xy-x.

    y+x=18003y−x=18004\begin{array}{|lll|} y+x & = & \frac{1800}{3}\\ y-x &= & \frac{1800}{4}\\ \end{array}

    Es folgt x=75x=75 Kilometer pro Stunde, y=525y=525 Kilometer pro Stunde.