Von einer Geraden zur Funktionsgleichung

Ein häufiges Problem ist das folgende. Wir suchen die Gleichung einer linearen Funktion $f$ , kennen aber nur die Koordinaten von zwei Punkten, durch die der Graph von $f$ verläuft. Ein solcher Graph ist unten dargestellt. Er geht durch die Punkte $A(1\vert 3)$ und $B(6\vert 7)$ . Wie findet man seine Funktionsgleichung

f(x)=ax+b

Das funktioniert folgendermassen. Wir können die beiden Punkte verwenden, um die Steigung $a$ zu finden, indem wir das Steigungsdreieck wie in der Abbildung oben geschickt wählen (mit Eckpunkten $A$ und $B$ ). $\Delta x$ ist dann der horizontal Weg von $A$ nach $B$ ,

\Delta x = 6-1=5

und $\Delta y$ ist der vertikale Weg von $A$ nach $B$ ,

\Delta y = 7-3=4

Wir haben also

a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{4}{5}=0.8

und somit

f(x)=0.8x+b

Wie können wir $b$ finden? Nun, wir wissen, dass der Graph durch den Punkt $A$ geht, also muss gelten

f(1)=3 \rightarrow 0.8\cdot 1+b=3 \rightarrow b=2.2

Natürlich hätten wir auch $B$ nehmen können, und hätten das gleiche $b$ erhalten:

f(6)=7 \rightarrow 0.8\cdot 6+b=7 \rightarrow b=2.2

Die Funktionsgleichung von $f$ lautet also

f(x)=0,8x+2,2

Exercise 1

Bestimme die Funktionsgleichung der unten stehenden Graphen mit Hilfe des Steigungsdreiecks und der Tatsache, dass $b$ der $y$ -Achsenabschnitt ist.

Solution

Gerade $f$ : Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung $a=\frac{-3}{1}=-3$ . Wegen $b=2$ gilt $f(x)=\underline{-3x+2}$ .

Gerade $g$ : Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung $a=\frac{1}{4}$ . Wegen $b=-1$ gilt $g(x)=\underline{\frac{1}{4}x-1}$ .

Gerade $h$ : Aus dem Steigungsdreieck folgt die Steigung $a=\frac{1}{1}=1$ . Wegen $b=0$ gilt $h(x)=\underline{x}$ .

Exercise 2

Bestimmen die Funktionsgleichung einer linearen Funktion $f$ , deren Graph
1. durch die Punkte $U(1|4)$ und $V(5|6)$ geht
2. durch die Punkte $U(-3|3.2)$ und $V(2|-10)$ geht
3. einen $y$ -Achsenabschnitt bei $-3.3$ hat und die Nullstelle $-4.4$ besitzt.
4. die $y$ -Achse bei $4$ schneidet die und die $x$ -Achse bei $7$ .
5. Diagonale eines Quadrats der Seitenlänge $2$ ist (zwei Lösungen), wobei der linke untere Punkt des Quadrats im Ursprung liegt.
6. den $y$ -Achsenabschnitt $-3$ und die Steigung $-2$ besitzt.
Bestimme den Schnittpunkt $S$ zwischen den Geraden $g$ und $h$ dessen Graphen unten gezeigt sind.
Betrachten Sie die lineare Funktion $f(x)=0.5x+1$ . Finden Sie eine andere lineare Funktion, deren Graph einen rechten Winkel mit dem Graphen von $f$ bildet und durch den Punkt $P(4|3)$ geht.

Solution

$f(x)=ax+b$ . Zeichne die Graphen!
1. $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2}{4}=0.5$ , thus $f(x)=0.5x+b$ . $f(1)=4 \rightarrow 0.5\cdot 1+b=4 \rightarrow b=3.5$ . Also $f(x)=\underline{0.5x+3.5}$ .
2. $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-13.2}{5}=-2.64$ , thus $f(x)=-2.64x+b$ . $f(2)=-10 \rightarrow 2\cdot (-2.64)+b=10 \rightarrow b=-4.72$ . Also $f(x)=\underline{-2.64x-4.72}$ .
3. $U(-4.4|0)$ , $V(0|-3.3)$ . $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-3.3}{4.4}=\underline{-0.75}$ , also $f(x)=-0.75x+b$ . $b=-3.3$ ( $y$ -Achsenabschnitt). Also $f(x)=\underline{-0.75x-3.3}$ .
4. $U(0|4)$ , $V(7|0)$ $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4}{7}$ , also $f(x)=-\frac{4}{7}x+b$ . $f(0)=4=b$ , thus $f(x)=\underline{-\frac{4}{7}x+4}$ .
5. Das Quadrat ist unten gezeigt. 1. Lösung: der Graph geht durch $U(0\vert 2)$ und $V(2\vert 0)$ , also $f(x)=\underline{-x+2}$ . 2. Lösung: der Graph geht durch $U(0\vert 0)$ und $V(2\vert 2)$ , also $f(x)=\underline{x}$ .
6. $f(x)=\underline{-2x-3}$ .
Erstens: Finde zuerst die Funktionsgleichungen von $h$ und $g$ . $g(x)=ax+b$ mit Steigung $a=\frac{4}{3}$ , also $g(x)=\frac{4}{3}x+b$ . Da $P(1|1)$ auf $g$ ist, folgt $g(1)=1\rightarrow \frac{4}{3}\cdot 1+b=1 \rightarrow b=-\frac{1}{3} \rightarrow g(x)=\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}$ . $h(x)=ax+b$ mit Steigung $a=-\frac{3}{3}=-1$ , also $h(x)=-x+b$ . Da $P(1|5)$ auf $h$ ist, folgt $h(1)=5\rightarrow -1+b=5 \rightarrow b=6 \rightarrow h(x)=-x+6$ . Zweitens: Wir such die $x$ -Koordinate des Schnittpunkts $S$ : Finde also $x$ mit $g(x)=h(x)$ $\frac{4}{3}x-\frac{1}{3}=-x+6$ $\frac{7}{3}x=\frac{19}{3} \rightarrow 7x=19 \rightarrow x=\frac{19}{7}=2.71... .$ Die $y$ -Koordinate ist $y=h(\frac{19}{7})=-\frac{19}{7}+6=\frac{23}{7}=3.28...$ . Wir hätten auch $g$ nehmen können, und hätten die dieselbe $y$ -Koordinate erhalten. $S$ ist somit $\underline{S(\frac{19}{7}|\frac{23}{7})}$ .
Nennen wir die neue Funktion $g$ , und die Funktionsgleichung lautet $g(x)=ax+b$ . Aus der Abbildung (siehe unten) folgt, dass der Graph von $g$ die Steigung $a=\frac{-4}{2}=-2$ hat und weil er durch den Punkt $P(4|3)$ geht, ist $g(4)=3\rightarrow -2\cdot 4+q=3\rightarrow q=11 \rightarrow \underline{g(x)=-2x+11}$ .