Lineare Funktionen und Geometrieprobleme

Transformationen der Geraden: Siehe die Abbildung unten, welche ganz allgemein Spiegelungen einer Geraden $h$ and der $x$ -Achse, $y$ -Achse und Koordinatenursprung aufzeigen.

Exercise 1

Betrachte die Funktionen $f(x)=3x$ und $g(x)=-\frac{1}{2}x-1$ .
1. Die Graphen von $f$ und $g$ werden an der $y$ -Achse gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichungen der gespiegelten Graphen.
2. Die Graphen von $f$ und $g$ werden an der $x$ -Achse gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichungen der gespiegelten Graphen.
3. Die Graphen von $f$ und $g$ werden am Ursprung gespiegelt. Bestimme die Funktionsgleichungen der gespiegelten Graphen. Tipp: Finden Sie heraus, wie sich diese Transformationen auf die Steigungsdreiecke auswirken und $y$ -Achsenabschnitte auswirken.
Gegeben ist die Funktion $f(x)=-2.5x+4$ . Der Graph einer linearen Funktion $g$ ist parallel zum Graphen von $f$ . Finde die Funktionsgleichung von $g$ für die folgenden Fälle: Der Graph von $g$
1. geht durch den Koordinatennullpunkt.
2. geht durch den Punkt $P(4|1)$ .
3. Die Nullstelle von $g$ ist rechts von der Nullstelle von $f$ , und zwar um $1$ verschoben.
Gegeben ist der Punkt $A(3|5)$ und die Funktion $g(x)=0.4x-2$ . Von allen Punkten auf $g$ finde denjenigen (nennen wir ihn $B$ ) welcher am nächsten bei $A$ liegt. Bestimme auch die Distanz zwischen $A$ und $B$ . Hinweis: Skizziere die Situation. Welcher Winkel wird zwischen der Geraden $g$ und der Linie durch $A$ und $B$ gebildet?
Betrachte das Dreieck $ABC$ mit $A(-3|4)$ , $B(-4|-3)$ , und $C(8|6)$ . Eine Gerade $h$ geht durch $A$ und ist orthogonal zur Basis $BC$ . Bestimme die Funktionsgleichung von $h$ . Bestimme auch den Flächeninhalt des Dreiecks.
Zwei Wanderer sind $3.2km$ voneinander getrennt. Zum Zeitpunkt $t=0$ (Stunden) beginnen sie aufeinander zuzulaufen. Der eine läuft mit der Geschwindigkeit $4.5km/h$ , der andere mit der Geschwindigkeit $3.5km/h$ . Wo und wann treffen sie sich? Tipp: Löse diese Aufgabe, indem die beiden Wanderer als Linien im gleichen Koordinatensystem darstellen werden, und überlege die geometrische Interpretation von "die Wanderer treffen sich".
Betrachte das Dreieck $ABC$ mit den Eckpunkten $A(1\vert -3), B(12\vert 1)$ , und $C(8,12)$ .
1. Zeige, dass das Dreieck bei $B$ einen rechten Winkel hat.
2. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks.
3. Finde einen Punkt $D$ , so dass $ABCD$ ein Rechteck bildet.
4. Finde den Schnittpunkt $S$ zwischen den Diagonalen des Rechtecks $ABCD$ . Überprüfe deine Lösungen mit der Geogebra App (Calculator Suite).
Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden $f$ , wobei gilt:
1. $f$ ist parallel zur $x$ -Achse und hat den $y$ -Achsenabschnitt $3$ .
2. $f$ geht durch den Punkt $A(2\vert 5)$ und hat die Steigung $-2$ .
3. $f$ geht durch den Punkt $A(2\vert 4)$ und hat den $y$ -Achsenabschnitt $-3$ .
4. $f$ geht durch die Punkte $A(-1.9\vert 2.3)$ und $B(-3.3\vert -1.2)$ .
5. $f$ hat eine Steigung von $2$ und die Nullstelle $1.5$ .
6. $f$ hat die Nullstelle $2$ und liegt orthogonal zu der Geraden, die die $x$ -Achse bei $5.1$ und die $y$ -Achse bei $2.3$ schneidet.

Solution

Bezeichne mit $\tilde{f}$ und $\tilde{g}$ die gespiegelten Graphen.
1. Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die ursprünglichen Steigungen das Vorzeichen wechseln und die neuen Geraden die gleichen $y$ -Achsenabschnitte haben wie die alten. Also $\tilde{f}(x)=-3x, \tilde{g}(x)=\frac{1}{2}x-1$
2. Aus der Abbildung geht hervor, dass die ursprünglichen Steigungen das Vorzeichen wechseln, und dasselbe gilt für die $y$ -Achsenabschnitte. Also $\tilde{f}(x)=-3x, \tilde{g}(x)=\frac{1}{2}x+1$
3. Aus der Abbildung können wir ersehen, dass die ursprünglichen Steigungen das Vorzeichen nicht ändern, aber die $y$ -Achsenabschnitte ändern das Vorzeichen, also $\tilde{f}(x)=3x, \tilde{g}(x)=-\frac{1}{2}x+1$ Ein anderer Ansatz könnte darin bestehen, zwei Punkte des ursprünglichen Graphen $f$ zu spiegeln und dann die Funktionsgleichung der neuen Geraden $\tilde{f}$ zu finden, die durch diese beiden gespiegelten Punkte verläuft.
Die Gerade $g$ hat die gleiche Steigung wie $f$ , $a=-2.5$ , also $g(x)=-2.5x+b$ .
1. $y$ -Achsenabschnitt $b=0$ , also $g(x)=\underline{-2.5x}$
2. Da $P(4\vert 1)$ auf dem Graphen von $g$ liegt, folgt $g(4)=1$ . Somit ist $-2.5\cdot 4+b =1$ und somit $b=11$ . Daraus folgt $g(x)=\underline{-2.5x+11}$ .
3. Finden wir zunächst den $x$ -Achsenabschnitt von $f$ : Finde $x$ mit $f(x)=0\rightarrow -2.5x+4=0\rightarrow x=1.6$ . Der Graph von $g$ schneidet die $x$ -Achse eine Einheit rechts von $x=1.6$ , also bei $x=2.6$ . Somit ist $g(x)=-2.5x+b$ mit $g(2.6)=0 \rightarrow -2.5\cdot 2.6+b=0$ , und es folgt $b=6.5$ und $g(x)=\underline{-2.5x+6.5}$
Bezeichne die Gerade, die durch $A$ und $B$ verläuft, mit $h$ . Aus der Abbildung (siehe unten) folgt, dass $g$ und $h$ einen rechten Winkel bilden müssen, sonst ist $B$ nicht der Punkt, der $A$ am nächsten ist. Berechnen wir also die Koordinaten des Punktes $B$ , indem wir zuerst die Funktionsgleichung von $h$ finden und dann den Schnittpunkt von $h$ und $g$ . Funktionsgleichung von $h$ : Da $h$ und $g$ einen rechten Winkel bilden, muss die Steigung von $h$ sein (siehe Abbildung unten, links) $a=\frac{1}{-0.4}=-2.5$ Wir haben also $h(x)=-2.5x+b$ Da $h$ durch $A(3\vert 5)$ geht, haben wir auch $h(3)=5$ $-2.5\cdot 3+b=5 \rightarrow b=12.5$ Koordinaten von $B$ : Wir schneiden $h$ und $g$ , also müssen wir ein $x$ finden mit $g(x)=h(x)$ $0.4x-2=-2.5x+12.5$ $2.9x=14.5\rightarrow x=5$ und somit ist die $y$ -Koordinate $y=g(5)=0.4\cdot 5-2=0$ Wir haben also $B(5\vert 0)$ . Du hast diese Koordinaten vielleicht aus der Zeichnung erraten, aber du solltest sie auch berechnen können! Abstand zwischen A und B: Nun können wir mit Hilfe des Satzes von Pythagoras den Abstand von $A$ zu $B$ berechnen (siehe Abbildung unten rechts): $d=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}=\sqrt{5^2+2^2}=\underline{\sqrt{29}}$ .
Bezeichne die Linie, die durch $B$ und $C$ verläuft, mit $f$ (siehe Abbildung unten). Die beiden Geraden $f$ und $h$ schneiden sich im Punkt $P$ und bilden einen rechten Winkel. Finden wir also zuerst die Funktionsgleichung von $f$ und dann die Funktionsgleichung von $h$ . Funktionsgleichung von $f$ : Wir haben $f(x)=ax+b$ , mit $a=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{C_y-B_y}{C_x-B_x}=\frac{6-(-3)}{8-(-4)}=0.75$ Die Steigung der Geraden $f$ ist $\frac{9}{12}=0.75$ , weil und weil $B$ auf der Geraden liegt, haben wir $f(-4)=-3 \rightarrow 0.75\cdot(-4)+b = -3 \rightarrow b=0$ Somit gilt $f(x)=0.75x$ Funktionsgleichung von $h$ : Wir haben $h(x)=ax+b$ und weil $f$ und $h$ orthogonal sind, haben wir (siehe Abbildung) $a=\frac{-1}{0.75}=-\frac{4}{3}$ Es gilt also $h(x)=\frac{4}{3}x+b$ Und weil $A$ auf $h$ liegt, haben wir $h(-3)=4\rightarrow -\frac{4}{3}\cdot (-3)+b=4 \rightarrow b=0$ und damit ist es $g(x)=\underline{-\frac{4}{3}x}$ Fläche des Dreiecks: Wir brauchen die Höhe des Dreiecks und die Länge der Grundfläche. Die Höhe lässt sich ermitteln, indem man den Abstand von $A$ zu $P$ bestimmt, wobei $P$ der Schnittpunkt zwischen $f$ und $h$ ist. Finde also $x$ mit $f(x)=g(x)$ , also $0.75x = -\frac{4}{3}x$ , und es folgt $x=0$ , und damit $y=f(0)=0$ . Somit hat $P$ die Koordinaten $P(0\vert 0)$ . Der Abstand zwischen $A$ und $P$ lässt sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln: $d=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$ Die Länge der Basis $b$ lässt sich ebenfalls mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln: $b = \sqrt{12^2+9^2}=15$ Der Flächeninhalt des Dreiecks ist also $A=\frac{b\cdot h}{2} =\frac{5\cdot 15}{2}=\underline{37.5}$
Angenommen, ein Wanderer beginnt am Ursprung ( $0 km$ ), der andere in $3.2 km$ Entfernung vom Ursprung. Da wir die Laufgeschwindigkeit kennen, können wir bestimmen, wo sich jeder Wanderer zu jedem Zeitpunkt $t$ befindet: Wanderer 1 hat die Position $f(t)=4.5\cdot t$ , und Wanderer 2 hat die Position $g(t)=3.2-3.5t=-3.5t+3.2$ (siehe Abbildung unten). Sie treffen sich im Schnittpunkt der beiden Graphen, denn dort haben beide Wanderer den Abstand Null. Um herauszufinden, wann das ist, müssen wir also einen Wert für $t$ finden, wobei $f(t)=g(t)$ $4.5t=-3.5t+3.2$ $8t=3.2 \rightarrow t=\underline{0.4h}$ Wo treffen sie sich? An der Position $s=f(0.4)=4.5\cdot 0.4=\underline{1.8km}$ vom Ursprung.
Zeichne die Situation!!!
1. Bestimme zunächst die Steigungen der Dreiecksseiten $AB$ und $BC$ : $\text{Steilheit }a_{AB} = \frac{4}{11}$ $\text{Steilheit }a_{BC} = \frac{-11}{4}$ Wir sehen, dass $a_{BC} = -\frac{1}{a_{AB}}$ und daher bilden die Linien einen rechten Winkel. Das Dreieck hat also einen rechten Winkel bei $B$ .
2. Da das Dreieck bei $B$ einen rechten Winkel hat, ist der Flächeninhalt $Fläche=\frac{\vert AB \vert \cdot \vert BC \vert}{2}$ wobei $\vert AB \vert$ die Länge der Dreiecksseite von $A$ nach $B$ bezeichnet und $\vert BC \vert$ die Länge der Dreiecksseite von $B$ nach $C$ ist. Wir können diese Längen mit Hilfe des Pythagoras ermitteln: $\vert AB \vert = \sqrt{11^2+4^2}=\sqrt{137}$ $\vert BC \vert = \sqrt{(-11)^2+4^2}=\sqrt{137}$ Die Fläche ist also $Fl=\frac{\sqrt{137}\cdot \sqrt{137}}{2}=\frac{137}{2}=\underline {68.5}$
3. Wir wissen, wie wir vom Punkt $B$ zum Punkt $C$ kommen, indem wir uns einfach entlang des Steigungsdreiecks zwischen $B$ und $C$ bewegen, z.B.: $\Delta x= -4, \Delta y=11$ Auf die gleiche Weise können wir von $A$ nach $D$ gelangen. Man beginnt also bei $A$ und verschiebt $4$ nach links und $11$ nach oben. Wir erhalten den Punkt $D(1-4\vert -3+8)=\underline{D(-3\vert 8)}$
4. Bezeichne die Diagonale von $A$ nach $C$ mit $f$ , und die Diagonale von $B$ nach $D$ mit $g$ . Finden wir die Funktionsgleichung der Diagonalen, so dass wir sie schneiden können. $f(x)=ax+b$ $\text{Steigung } a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{15}{7}$ Daraus folgt, $f(x)=\frac{15}{7} x+b$ Um $b$ zu finden, verwenden wir, dass $A$ auf dem Graphen von $f$ liegt: $f(1)=-3\rightarrow \frac{15}{7} \cdot 1+b=-3 \rightarrow b=-\frac{36}{7}$ Wir erhalten also $f(x)=\underline{\frac{15}{7} x-\frac{36}{7}}$ Um die Funktionsgleichung von $g$ zu finden, setzen wir analog $g(x)=ax+b$ $\text{Steigung } a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-7}{15}$ Daraus folgt, $g(x)=-\frac{7}{15} x+b$ Um $b$ zu finden, verwenden wir, dass $B$ auf dem Graphen von $g$ liegt: $g(12)=1\rightarrow -\frac{7}{15} \cdot 12+b=1 \rightarrow b=\frac{99}{15}$ Wir erhalten also $g(x)=\underline{-\frac{7}{15} x+\frac{99}{15}}$ Schliesslich müssen wir die Gleichung lösen $\frac{15}{7} x-\frac{36}{7} = -\frac{7}{15} x+\frac{99}{15}$ um die $x$ -Koordinate des Schnittpunktes zwischen $f$ und $g$ zu erhalten. $\begin{array}{llll} \frac{15}{7} x-\frac{36}{7} &=& -\frac{7}{15} x+\frac{99}{15} & \vert \cdot 7\\ 15 x-36 &=& -\frac{49}{15} x+\frac{693}{15} & \vert \cdot 15\\ 225 x-540 &=& -49 x+693 & \vert +540, +49x\\ 274 x &=& 1233 & \vert :274\ x &=& 4.5 \end{array}$ Die $y$ -Koordinate ist $y = f(4.5)=\frac{15}{7} \cdot 4.5-\frac{36}{7} = 4.5$ Wir haben also $\underline{\underline{S(4.5\vert 4.5)}}$ .
Es ist:
1. $f(x)=3$ für alle $x$ .
2. $f(x)=-2x+b$ und $f(2)=5 \rightarrow -2\cdot 2+b=5 \rightarrow b=9$ . Also $f(x)=-2x+9$ .
3. $f(x)=ax-3$ und $f(2)=4 \rightarrow a\cdot 2-3=4 \rightarrow a= 3.5$ . Also $f(x)=3.5x-3$ .
4. $f(x)=ax+b$ mit $a=\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3.5}{1.4}=2.5$ und somit $f(x)=2.5x+b$ . Aufgrund von $f(-1.9)=2.3$ erhalten wir $2.5\cdot (-1.9)+b=2.3$ und damit $b=1.54$ . Wir haben also $f(x)=2.5x+7.05$ .
5. $f(x)=2x+b$ . Wir wissen nun auch, dass $f(1.5)=0$ , und somit $2\cdot 1.5+b=0$ und somit $b=-3$ . Daraus folgt $f(x)=2x-3$ .
6. Finde die Steigung von $g$ : $a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{2.3}{-5.1}=-0.45098...$ . Die Steigung von $f$ ist also $-\frac{1}{-0.45098...}=2.21739...$ Also $f(x)=2.21739...\cdot x +b$ . Aufgrund von $f(2)=0$ folgt $2.21739\cdot 2+b =0 \rightarrow b=-4.4347...$ Somit ist $f(x)=2.21739...\cdot x -4.4347...$ .