Funktionen

Im Geometrieunterricht hast du schon gelernt, was man unter einer Abbildung versteht. Als Beispiele von Abbildungen sind dir sicher die Achsenspiegelung, die Punktspiegelung und die Verschiebung bekannt. Du weisst, dass man in der Geometrie immer dann von einer Abbildung spricht, wenn jedem Punkt $P$ der Ebene genau ein Bildpunkt $P'$ zugeordnet wird.

Solche eindeutigen Zuordnungen kommen auch in anderen Teilgebieten der Mathematik, bei Naturvorgängen und in vielen anderen Zusammenhängen vor. Das zeigen die folgenden Beispiele.

Das Gemeinsame an diesen Beispielen lässt sich folgendermassen beschreiben: Man hat jeweils zwei Mengen und eine Vorschrift, welche jedem Element der einen Menge genau ein Element der andern Menge zuordnet. In Abbildung 86.1 ist dieser Sachverhalt veranschaulicht; die Zuordnungsvorschrift wird dabei durch die Pfeile dargestellt. Wesentlich ist, dass von jedem Element der ersten Menge nur ein einziger Pfeil ausgeht; denn zu ihm gehört ja genau ein Element der zweiten Menge. Wohl aber können zwei oder mehr Pfeile auf dasselbe Element der zweiten Menge zeigen. Vergleiche dazu das Beispiel 2.

Da das Wesentliche an einer Abbildung die Eindeutigkeit der Zuordnung ist, spricht man auch in solchen Fällen, wo wie in unseren Beispielen nicht Punkten wieder Punkte zugeordnet werden, von einer Abbildung. Man sagt, dass die erste Menge in die zweite Menge abgebildet wird. Für eine solche nicht geometrische Abbildung gibt es aber noch eine andere Bezeichnung; man nennt sie auch Funktion (functio: lat. Verrichtung).

Als Zeichen für eine Funktion verwendet man im Allgemeinen einen kleinen lateinischen Buchstaben, zumeist f. Die erste Menge heisst Definitionsmenge $\mathbb{D}$ der Funktion. Ein Element von $\mathbb{D}$ wird in der Regel mit der Variablen x bezeichnet. Für das ihm zugeordnete Element der zweiten Menge verwendet man dann das Zeichen $f(x)$, gelesen "f von x". Man nennt $f(x)$ den zu $x$ gehörenden Funktionswert; $x$ bezeichnet man oft als Argument (argumentum: lat. Gegenstand, Inhalt, der Gehalt) der Funktion $f$. Alle Funktionswerte einer Funktion fasst man zu ihrer Wertemenge $\mathbb{W}$ zusammen. Die Zuordnung zwischen den Elementen der Definitions- und der Wertemenge wird durch einen besonderen Pfeil, den Abbildungspfeil oder Fusspfeil $\mapsto$, dargestellt. Man schreibt kurz

Oft wird auch als Bezeichnung für ein Element der Wertemenge die Variable y verwendet. Man schreibt dann etwas ausführlicher $f: x \mapsto y$ mit $y=f(x)$ und $x \in \mathbb{D}$. Dabei ist zu beachten, dass den Variablen $x$ und $y$ ganz verschiedene Rollen zugeteilt sind. Für $x$ darf ein beliebiger Wert aus der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ gewählt werden. Für $y$ muss dann der diesem $x$ zugeordnete Funktionswert genommen werden. Wegen dieses Unterschiedes nennt man $x$ die unabhängige und $y$ die abhängige Variable der Funktion.

Das Wort functio hat 1692 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bei geometrischen Betrachtungen in die Mathematik eingeführt. Die Bezeichnungen $f$ und $f(x)$ für Funktion und Funktionswert gehen auf Leonhard Euler (1707-1783) zurück, bei dem sie erstmals 1734 in einer Abhandlung vorkommen. Die Schreibweise $y=f(x)$ wurde erstmals 1883 von dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano (1858-1932) verwendet.

Betrachten wir noch einmal unsere vier Beispiele, um darauf die neuen Begriffe anzuwenden und einige Ergänzungen zu erläutern.

In Beispiel 1 handelt es sich um eine Funktion mit der Definitionsmenge $\mathbb{D}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Der zu $x \in \mathbb{D}$ gehörende Funktionswert y kann, wie wir festgestellt haben, mithilfe der Gleichung $y=(-1)^{x+1} \cdot x$ berechnet werden. Eine solche Gleichung heisst Funktionsgleichung; sie hat die Form $y=f(x)$. Der auf ihrer rechten Seite für $f(x)$ stehende Term, hier also $(-1)^{x+1} \cdot x$, heisst Funktionsterm. Damit lässt sich die Funktion schreiben als

oder kürzer

In Beispiel 2 handelt es sich um eine Funktion mit der Definitionsmenge $\mathbb{N}$. Die Zuordnungsvorschrift lässt sich hier nur in Worten ausdrücken: Jedem $x \in \mathbb{N}$ wird als Funktionswert $f(x)$ die Anzahl aller Primzahlen $p$ zugeordnet, für welche $p \le x$. Der kleinste Funktionswert ist $0$. Lässt man $x$ die natürlichen Zahlen durchlaufen, so wird jedes Mal, wenn $x$ eine Primzahl ist, der Funktionswert um $1$ grösser, sodass $f(x)$ entweder eine Zahlenmenge $\{0, 1, 2, ..., n\}$ oder die ganze Menge $\mathbb{N}_0$ durchläuft, je nachdem, ob es endlich oder unendlich viele Primzahlen gibt.

In Beispiel 3 können wir für Längen bzw. Flächeninhalte die Masseinheiten $1\,\mathrm{m}$ bzw. $1\,\mathrm{m}^2$ verwenden. Setzt man dann $a=x\,\mathrm{m}$ und $A=y\,\mathrm{m}^2$, so sind $x$ und $y$ unbenannte Zahlen, und es gilt: $y = x^2$. Diese Gleichung beschreibt die Zuordnungsvorschrift der Funktion; es handelt sich also wieder um eine Funktionsgleichung. Die Definitionsmenge $\mathbb{D}$ besteht in diesem Fall aus allen positiven rationalen Zahlen, also $\mathbb{D} = \mathbb{Q}^+$. Die Angabe der Wertemenge $\mathbb{W}$ ist hier schwierig! Sie enthält sicher nur positive rationale Zahlen. Stellt sie aber die ganze Menge $\mathbb{Q}^+$ dar? Diese schwierige Frage kann erst später beantwortet werden. Die Funktion $f$ dieses Beispiels lässt sich mithilfe des Funktionsterms $x^2$ kurz so schreiben:

Die Wertemenge können wir indirekt in der Form $\mathbb{W}=\{y \mid y=x^2 \wedge x \in \mathbb{Q}^+\}$ angeben.

In Beispiel 4 stellen, wenn man sich auf die in der Tabelle enthaltenen Werte beschränkt, die Zeitangaben in der ersten Zeile die Definitionsmenge, die Temperaturangaben in der zweiten Zeile die Wertemenge der Funktion dar. Die Zuordnung wird in der Tabelle durch das Untereinanderschreiben zusammengehörender Werte festgelegt.

Wesentlich komplizierter wird es, wenn man sich vorstellt, dass jedem Zeitpunkt eine bestimmte Temperatur zugeordnet ist. Für diese Funktion ist $\mathbb{D}$ die Menge aller Zeitpunkte des betreffenden Tages. Um $\mathbb{W}$zu bestimmen, müsste man die niedrigste und die höchste Temperatur an diesem Tag ermitteln. Da die Natur keine Sprünge macht, gehören auch alle dazwischen liegenden Temperaturwerte zu $\mathbb{W}$.

Eindeutige Zuordnungen zwischen zwei Mengen, also Funktionen bzw. Abbildungen, treten besonders häufig auf und haben in der Mathematik eine sehr grosse Bedeutung. Es gibt daneben aber auch mehrdeutige Zuordnungen:

Der Graph einer Funktion

Bei sehr vielen Funktionen besteht sowohl die Definitionsmenge $\mathbb{D}$als auch die Wertemenge $\mathbb{W}$ aus Zahlen. Da eine solche Funktion jeder Zahl $x \in \mathbb{D}$ eine Zahl $y \in \mathbb{W}$ zuordnet, kann man sagen: Die Funktion erzeugt Zahlenpaare $(x \mid y)$. Ein solches Paar besteht also jeweils aus einem Wert der unabhängigen Variablen an erster Stelle und dem dazugehörenden Wert der abhängigen Variablen an zweiter Stelle. Diese Zahlenpaare erkennt man besonders leicht, wenn die Funktion durch eine Wertetabelle beschrieben ist. Betrachte etwa die Funktion von Beispiel 1 des vorhergehenden Abschnitts; zu ihr gehören die Zahlenpaare $(1 \mid 1)$, $(2 \mid -2)$, $(3 \mid 3)$, $(4 \mid -4)$, $(5 \mid 5)$ und $(6 \mid -6)$. Aber auch bei einer Funktion, die durch einen Term bzw. eine Gleichung definiert ist, lassen sich die entsprechenden Zahlenpaare leicht angeben. So erzeugt die im Beispiel 3 von 5.1 betrachtete Funktion unendlich viele Zahlenpaare $(x \mid x^2)$ mit $x \in \mathbb{Q}^+$.

Mit Zahlenpaaren hast du auch schon bisher im Mathematikunterricht zu tun gehabt, vor allem in der Geometrie. Dort werden sie zur Beschreibung der Lage von Punkten benützt. Man benötigt dazu bekanntlich ein Koordinatensystem, also zwei zueinander senkrechte Zahlengeraden mit gemeinsamem Nullpunkt, das so genannte Achsenkreuz.

Die eine Gerade, meist von links nach rechts laufend, bezeichnet man als x-Achse, die andere als y-Achse. Falls die Längeneinheiten auf beiden Achsen gleich sind, spricht man von einem kartesischen Koordinatensystem.

Zu einem Zahlenpaar $(a \mid b)$ erhält man eindeutig einen Punkt $P$, indem man durch den Punkt $a$ auf der x-Achse und den Punkt $b$ auf der $y$-Achse die Parallele zur jeweils anderen Achse zieht. $a$ ist die x-Koordinate bzw. Abszisse, $b$ die y-Koordinate bzw. Ordinate des Schnittpunktes $P$. Diesen Zusammenhang zwischen dem Punkt und seinen Koordinaten bringt man durch die Schreibweise $P(a \mid b)$ zum Ausdruck.

Es liegt nun nahe, die von einer Funktion erzeugten Zahlenpaare als Koordinaten von Punkten zu deuten. Dem Paar $(x \mid y)$ mit $y=f(x)$ wird damit in der Koordinatenebene der Punkt $(x \mid y)$ zugeordnet. Da zu jedem $x \in D$ genau ein Funktionswert y existiert, entspricht ihm auch genau ein Punkt. Die Menge aller Punkte, die auf diese Weise einer Funktion zugeordnet werden, heisst Graph der Funktion; man bezeichnet ihn mit G oder auch $G_f$.

Der Graph einer Funktion wird oft auch als Schaubild bezeichnet. Wir wollen nun die Schaubilder der in den Beispielen besprochenen Funktionen zeichnen.

Zu Beispiel 1: Der Graph besteht aus den sechs Punkten (1 \mid 1), (2 \mid -2), (3 \mid 3), (4 \mid -4), (5 \mid 5) und (6 \mid -6); vgl. Abbildung 93.2.