Lineare Funktionen

Wieso man Funktionen mit der Gleichung $y = ax + b$ als linear bezeichnet, wird verständlich, wenn man ihre Graphen untersucht: Für $a \neq 0$ beschreibt $y = ax$ bekanntlich eine direkte Proportionalität, deren Graph aus Punkten einer Geraden durch den Ursprung $O(0|0)$ besteht. Indem man zu den y-Koordinaten dieser Punkte jeweils b addiert, d. h. die Punkte um den Pfeil $\vec{p}$ parallel zur y-Achse verschiebt, erhält man den Graphen der linearen Funktion mit der Gleichung $y=ax+b$ (Abbildung 110.1). Seine Punkte liegen also wieder auf einer Geraden!

Für $a=0$ lautet die Gleichung der linearen Funktion $y = 0 \cdot x + b$, kurz $y=b$. Jedem Wert der unabhängigen Variablen x ist in diesem Fall derselbe Funktionswert zugeordnet; man spricht daher von einer konstanten Funktion. Offensichtlich liegen die Punkte des Graphen auf einer zur x-Achse parallelen Geraden (Abbildung 110.2). Damit gilt

Man sagt dafür kurz: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Die Kennzeichnung »linear«* soll darauf hinweisen, dass der Graph einer solchen Funktion eine Gerade ist. Welche Lage die der Funktion $f: x \mapsto ax+b$ entsprechende Gerade im Koordinatensystem hat, hängt von den Zahlen a und b ab. Die geometrische Bedeutung des Faktors a haben wir bereits bei der direkten Proportionalität erkannt: Wenn man x um 1 vergrössert, ändert sich y um a. Ist a positiv, so steigt die Gerade von links nach rechts an, und zwar umso stärker, je grösser a ist. Man nennt die Zahl a das Steigungsmass oder kurz die Steigung der Geraden.

Image of a constant function graph y=b

Im Fall $a < 0$ erhält man eine fallende Gerade, die man auch als Gerade mit negativer Steigung bezeichnet. Der Graph einer konstanten Funktion, also eine zur x-Achse parallele Gerade, hat die Steigung 0. Zur vollständigen Festlegung der Geraden benötigt man ausser der durch die Steigung a bestimmten Richtung noch einen Punkt. Besonders leicht findet man die y-Koordinate des zu $x=0$ gehörenden Punktes: $y = a \cdot 0 + b = b$. Die Gerade muss also den Punkt $B(0|b)$ enthalten; es ist dies ihr Schnittpunkt mit der y-Achse. Man nennt daher die Zahl b den y-Achsenabschnitt der Geraden.

Wenn man eine lineare Funktion graphisch darstellen will, genügt es, zwei Wertepaare $(x_1|y_1)$ und $(x_2|y_2)$ zu berechnen. Durch die entsprechenden Punkte ist die Gerade eindeutig bestimmt. Im Allgemeinen wird man dabei den Punkt $(0|b)$ bevorzugt benützen. Um eine gute Zeichengenauigkeit zu erreichen, sollte man darauf achten, dass die beiden verwendeten Punkte nicht zu nahe beieinander liegen und möglichst einfache Koordinaten haben.

Sind allgemein $P(x_1|y_1)$ und $Q(x_2|y_2)$ zwei verschiedene Punkte des Graphen einer linearen Funktion $f: x \mapsto ax+b$, so folgt aus $y_1=ax_1+b$ und $y_2=ax_2+b$ die Gleichung $y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1)$ und daraus wegen $x_1 \neq x_2$

Man erhält also die Steigung des Graphen, wenn man die Differenz zweier Funktionswerte durch die Differenz der entsprechenden x-Werte dividiert.