Baumdarstellung von bedingten Wahrscheinlichkeiten

Definition 1

Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit dem Ergenisraum $S$ und den Ereignissen $E\subset S$ und $F\subset S$ , und der dazugehörende Wahrscheinlichkeitsbaum, beginnend mit $E$ (wir könnten auch $F$ wählen, je nach Kontext).

Entlang den Ästen definieren wir nun sogennante Astwahrscheinlichkeiten (oder Verzweigungswahrscheinlichkeiten) wiefolgt ein:

In der ersten Generation des Baums ist die Astwahrscheinlichkeit, dass $E$ auftritt (linker Ast) und dass $E$ nicht auftritt (rechter Ast).
In der nächsten Generation tragen wir unterhalb von $E$ die bedingten Wahrscheinlichkeiten ein, dass $F$ vorkommt (linker Ast) gegeben dass $E$ eingetreten ist, und dass $F^\prime$ vorkommt (rechter Ast), gegeben dass $E$ ingetreten ist. Analog verfahren wir für die Äste unterhalb von $E^\prime$ . Hier bedingte Wahrscheinlichkeiten zu verwenden macht Sinn: "gegeben, dass wir bei $E$ sind, was ist nun die Wahrscheinlichkeit für $F$ ", usw.

Für jeden Pfad definieren wir die Pfadwahrscheinlichkeit als die Multiplikation aller Astwahrscheinlichleiten entlang des Pfads.

Wenn wir die Astwahrscheinlichkeiten und Pfadwahrscheinlichkeiten so definieren, hat der Wahrscheinlichkeitsbaum einige intuitive Eigenschaften:

Theorem 1

Die Addition der Astwahrscheinlichkeiten von demselben Elternteil ergibt $1$ :
$\begin{array}{lll} p(E)+p(E^\prime)&=&1\\ p(F|E)+p(F^\prime|E)&=&1\\ p(F|E^\prime)+p(F^\prime|E^\prime)&=&1\\ \end{array}$
Multiplikationsregel: Die Multiplikation der Astwahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades von oben nach unten ergibt die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ereignisse entlang des Pfads eintreten:
$\begin{array}{lll} p(E)\cdot p(F|E)&=&p(E\cap F)\\ p(E)\cdot p(F^\prime|E)&=&p(E\cap F^\prime)\\ p(E^\prime)\cdot p(F|E^\prime)&=&p(E^\prime\cap F)\\ p(E^\prime)\cdot p(F^\prime|E^\prime)&=&p(E^\prime\cap F^\prime) \end{array}$
Dies sind die Pfadwahrscheinlichkeiten.
Summenregel: Die Addition der Pfadwahrscheinlichkeiten, die zum gleichen Endereignis ( $F$ oder $F^\prime$ ) führen, ergibt die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses (wie aus den Venn-Diagrammen am unteren Ende des obigen Baumes ersichtlich ist):
$\begin{array}{lll} p(E \cap F)+p(E^\prime \cap F)&=& p(F)\\ p(E \cap F^\prime)+p(E^\prime \cap F^\prime)&=&p(F^\prime) \end{array}$

All diese Eigenschaften sind nicht neu, wir haben sie bereits besprochen. Der Baum fasst sie auf eine schöne Weise zusammen.

Machen wir ein Beispiel.

Example 1

Die Erfahrung zeigt, dass die Wahrscheinlichkeit für Regen an einem bestimmten Tag 1/3 beträgt. Wenn es regnet, ist die Wahrscheinlichkeit für starken Verkehr 1/2. Wenn es nicht regnet, ist die Wahrscheinlichkeit für starken Verkehr nur 1/4.

Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass es morgen viel Verkehr geben wird.
Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet, wenn es morgen viel Verkehr gibt?

Solution

Wir definieren die Ereignisse $R$ ="es regnet", und $H$ ="starker Verkehr". Das Experiment besteht darin, einen Tag auszuwählen. Wir beginnen mit dem Zeichnen des Baumes. Wir können entweder mit $R$ oder mit $H$ beginnen. Manchmal muss man ausprobieren, welche Reihenfolge besser funktioniert. Für dieses Beispiel kennen wir die Wahrscheinlichkeit $p(H\vert R)$ , wir beginnen also mit $R$ , so dass wir mehr Zweigwahrscheinlichkeiten haben, die wir im Baum angeben können.

Die schwarzen Zahlen sind die bekannten Wahrscheinlichkeiten. Wir können die verbleibenden Verzweigungswahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Eigenschaft (1) in der obigen Liste vervollständigen. Diese Zahlen sind in rot angegeben.

Um $p(H)$ zu finden, müssen wir alle Pfade von oben nach $H$ verfolgen (Pfade $RH$ und $R^\prime H$ ), und diese Pfadwahrscheinlichkeiten addieren (Eigenschaft 2):
$p(H)=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{4}=\underline{\frac{1}{3}}$
$p(R|H)=\frac{p(R\cap H)}{p(H)}=\frac{1/6}{1/3}=\frac{3}{6}=\underline{\frac{1}{2}}$

Exercise 1

F1

In einer Stadt lesen $30\%$ der Bevölkerung die Zeitung $A$ , und von diesen sind 1/4 weiblich. Von allen Personen, die Zeitung A nicht lesen, sind 1/5 weiblich. Eine Person wird zufällig ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass

die Person die Zeitung A liest und nicht weiblich ist.
die Person nicht weiblich ist.
die Person die Zeitung A liest, wenn die Person weiblich ist.

F2

Ein Krankenhaus hat 300 Krankenschwestern angestellt. Im vergangenen Jahr erhielten 48 Krankenschwestern eine Gehaltserhöhung. Zu Beginn des Jahres bot das Krankenhaus ein spezielles Fortbildungsseminar an, an dem 138 der Krankenschwestern teilnahmen. 27 der Krankenschwestern, die eine Gehaltserhöhung erhielten, nahmen an dem Seminar teil.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Krankenschwester, die das Seminar besucht hat, eine Gehaltserhöhung erhält?
Wenn eine Krankenschwester zufällig ausgewählt wird, wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Krankenschwester das Seminar besucht und eine Gehaltserhöhung erhalten hat?

F3

Eine Schachtel enthält 2 blaue und 3 rote Kugeln. Du wählst zufällig 2 Kugeln, eine nach der anderen, ohne Zurücklegen aus.

Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, Kugeln unterschiedlicher Farbe auszuwählen?
Die zweite Kugel ist rot. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Kugel auch rot war?

F4

Du wählst zufällig 2 Karten ohne Zurücklegen, eine nach der anderen, aus einem Kartenspiel mit 36 Karten aus. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für

zwei Könige?
mindestens einen König?

F5

Angenommen, wir senden $30\%$ unserer Produkte an Unternehmen A und $70\%$ unserer Produkte an Unternehmen B. Unternehmen A meldet, dass $5\%$ unserer Produkte fehlerhaft sind und Unternehmen B meldet, dass $4\%$ unserer Produkte fehlerhaft sind. Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein Produkt an

Unternehmen A gesandt wird und es fehlerhaft ist.
Unternehmen A gesandt wird und es nicht defekt ist.
Unternehmen B gesandt wird und es defekt ist.
Unternehmen B gesandt wird und es nicht fehlerhaft ist.

F6

Ein kleines Produktionsunternehmen hat $75\%$ seiner Mitarbeiter als zufriedenstellend ( $S$ ) und $25\%$ als ungenügend ( $S^\prime$ ) eingestuft. Aus den Personalunterlagen geht hervor, dass $80\%$ der zufriedenstellenden Arbeitnehmer über frühere Berufserfahrung ( $E$ ) in dem Beruf, den sie jetzt ausüben, verfügten, während $15\%$ der ungenügenden Arbeitnehmer keine Berufserfahrung ( $E^\prime$ ) in dem Beruf hatten, den sie jetzt ausüben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, die bereits über Berufserfahrung verfügt, als ungenügender Arbeitnehmer eingestuft wird?

F7

Eine Basketballmannschaft soll zwei Spiele in einem Turnier bestreiten. Die Wahrscheinlichkeit, das erste Spiel zu gewinnen, beträgt $0.10$ . Wenn das erste Spiel gewonnen wird, ist die Wahrscheinlichkeit, das zweite Spiel zu gewinnen, $0.15$ . Wenn das erste Spiel verloren wird, ist die Wahrscheinlichkeit, das zweite Spiel zu gewinnen, $0.25$ . Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Spiel gewonnen wurde, wenn das zweite Spiel verloren wird?

Solution

A1

$A$ ="eine Zeitung lesen", $F$ ="weiblich". Aus dem Baumdiagramm (siehe unten) folgt

$p(A\cap F^\prime)=0.3\cdot 0.75=\underline{0.225}$ (Eigenschaft 2)
$p(F^\prime)=0.3\cdot 0.75+0.7\cdot 0.8=\underline{0.785}$ (Eigenschaften 2 und 3)
$p(A\vert F)=\frac{p(A\cap F)}{p(F)} = \frac{0.3\cdot 0.25}{0.215}=\underline{0.348...}$

A2

$R$ ="Gehaltserhöhung", $A$ ="Fortbildung gemacht". Zeichne den Baum (siehe Abbildung unten). Die Zufallsauswahl ist ein Laplace-Experiment, also

p(A)=\frac{\vert A\vert}{\vert S\vert}=\frac{138}{300}

p(R\vert A)=\frac{\vert R\cap A\vert }{\vert A\vert}=\frac{27}{138}

und so weiter.

$p(R\vert A)=\frac{27}{138}=\underline{0.195..}$
$p(R\cap A)=\frac{138}{300}\cdot \frac{27}{138}=\underline{0.09}$

A3

$R_1$ ="rote Kugel in erster Auswahl", $R_2$ ="rote Kugel in zweiter Auswahl". Zeichne den Baum (siehe Abbildung unten).

Andere Farbe: Summiere die Pfadwahrscheinlichkeiten von $R_1 R_2^\prime$ and $R_1^\prime R_2$ : $p=\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\underline{0.6}$
$p(R_1\vert R_2)=\frac{p(R_1\cap R_2)}{p(R_2)}=\frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{2}+\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}}=\underline{0.5}$

A4

$K_1$ ="König in erster Auswahl", $K_2$ ="König in zweiter Auswahl". Zeichne den Baum (siehe Abbildung unten).

$p(K_1\cap K_2)=\frac{4}{36}\cdot \frac{3}{35} = \underline{0.0095}$
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade $K_1 K_2, K_1 K_2^\prime$ und $K_1^\prime K_2$ : $p=\frac{4}{36}\cdot \frac{3}{35} +\frac{4}{36}\cdot \frac{32}{35} +\frac{32}{36}\cdot \frac{4}{35} = \underline{0.217}$ .

Alternativ können wir zuerst das Ereignis "kein König wurde ausgewählt" berechnen, das ist $p(K_1^\prime \cap K_2^\prime)=\frac{32}{36}\cdot \frac{31}{35}=0.7873$ , und dann das entgegengesetzte Ereignis berechnen, also "mindestens ein König wurde ausgewählt": $p=1-0.7873=0.2127$ .

A5

$p(A\cap D)=p(A)P(D|A)= 0.3(0.05)=0.015$
$p(A\cap D^\prime)=p(A)P(D^\prime|A)=0.3(0.95)=0.285$
$p(B\cap D)=p(B)P(D|B)=0.7(0.04)=0.028$
$p(B\cap D^\prime)=p(B)P(D^\prime|B)=0.7(0.96)=0.672$

A6

$p(S^\prime|E)=\frac{0.25\cdot 0.85}{0.25\cdot 0.85+0.75\cdot 0.8}=0.26$

A7

$W_1=$ "Sieg im ersten Spiel", $W_2=$ "Sieg im zweiten Spiel".

$p(W_1|W_2^\prime)=\frac{0.1 \cdot 0.85}{0.1 \cdot 0.85 + 0.9 \cdot 0.75}=0.112$