Allgemeinere Bäume

Das Baumdiagramm kann auf verschiedene Weise verallgemeinert werden, ohne seine Eigenschaften (1-3) zu verändern.

Definition 1

Eine Möglichkeit besteht darin, weitere Generationen hinzuzufügen. Betrachten wir ein Zufallsexperiment mit drei Ereignissen $A$ , $B$ und $C$ . Wir können den folgenden Baum bilden:

Hier,

p_1=p(A) \text{ und }p_2=p(A^\prime)

und alle anderen Wahrscheinlichkeiten sind bedingte Wahrscheinlichkeiten. Zum Beispiel ist $p_3$ die Wahrscheinlichkeit, dass $B$ eintritt, wenn $A$ eingetreten ist

p_3=p(B\vert A)

und $p_7$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass $C$ eintritt, wenn $A$ und $B$ eingetreten sind

p_7=p(C|A \cap B)

Das Produkt der Zweigwahrscheinlichkeiten $p_1\cdot p_3\cdot p_7$ ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass $A$ , $B$ und $C$ gleichzeitig aufgetreten sind:

p(A\cap B \cap C)=p_1\cdot p_3\cdot p_7

Definition 2

Eine andere Möglichkeit, den Baum zu erweitern, besteht darin, mehr als zwei Zweige pro Knoten zu verwenden. Man betrachte also drei Ereignisse $A_1, A_2$ und $A_3$ , die eine Partition des Stichprobenraums $S$ bilden, und drei weitere Ereignisse $B_1, B_2$ und $B_3$ , die ebenfalls eine Partition von $S$ bilden. Wir erinnern uns, dass eine Partition den Stichprobenraum unterteilt und die Ereignisse sind disjunkt. Wann immer das Experiment durchgeführt wird, wird also genau eines der Ereignisse $A_1, A_2$ und $A_3$ eintreten, und auch genau eines der Ereignisse $B_1, B_2$ und $B_3$ wird eintreten. Also

p(A_1)+p(A_2)+p(A_3)=1

und

p(B_1)+p(B_2)+p(B_3)=1

(wie bei dem Baum mit zwei Zweigen pro Knoten, wo die Partitionen $A$ und $A^\prime$ sowie $B$ und $B^\prime$ waren). Wir zeichnen den Baum wie folgt:

Hier sind noch ein paar Aufgaben dazu.

Exercise 1

F1

In einer Stadt lesen $30\%$ der Bevölkerung die Zeitung A, von diesen $50\%$ die Zeitung B und von diesen $10\%$ die Zeitung C. Eine Person wird zufällig aus der Stadt ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person alle drei Zeitungen liest?

F2

Eine Schachtel enthält 4 blaue Kugeln und 5 rote Kugeln. Vier Kugeln werden zufällig ohne Zurücklegen ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass

genau $4$ blaue Kugeln gezogen werden.
genau $3$ blaue Kugeln gezogen werden.
keine blaue Kugel gezogen wird.
eine blaue Kugel gezogen wird, falls die drei vorherigen Kugeln rot waren.

F3

Eine Schachtel enthält 4 blaue Kugeln und 5 rote Kugeln. Vier Kugeln werden zufällig mit Zurücklegen ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit für die Auswahl

genau $4$ blauen Kugeln.
genau $3$ blauen Kugeln.
einer blauen Kugel, falls die vorherigen drei Kugeln rot waren.

F4

Eine kleine Brauerei hat drei Abfüllmaschinen. Maschine A füllt $40\%$ aller Flaschen ab, Maschine B und C füllen jeweils $30\%$ ab. $5\%$ der von A abgefüllten Flaschen, $4\%$ der von B abgefüllten Flaschen und $3\%$ der von C abgefüllten Flaschen werden aus irgendeinem Grund zurückgewiesen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Flasche, die von A oder B abgefüllt wird, zurückgewiesen wird?

F5

Eine Schachtel enthält 2 blaue Kugeln, 3 rote Kugeln und 4 gelbe Kugeln. Zwei Kugeln werden zufällig und ohne Ersatz ausgewählt. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass

die ausgewählten Kugeln unterschiedliche Farben haben?
die erste Kugel gelb ist, falls die letzte Kugel blau ist?

Solution

Allgemeinere Bäume

F1

F2

F3

F4

F5

A1

A2

A3

A4

A5