Zeitschritte verändern

Betrachte nochmals das Beispiel mit den Bäumen:

\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & 1000 &\xrightarrow[]{\cdot 2}& 2000 &\xrightarrow[]{\cdot 2} & ... & \xrightarrow[]{\cdot 2} & y\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 &\xrightarrow[]{+10} & 2030 &\xrightarrow[]{+5} & ... &\xrightarrow[]{+5} & x\\ \end{array}

Für den Zeitschritt $\tau=10$ Jahre beträgt der Wachstumsfaktor $u=2$ . Wie hoch ist der Wachstumsfaktor $u$ für die Schrittweite $\tau=5$ , d.h. um welchen Faktor erhöht sich die Anzahl der Bäume alle $5$ Jahre? Es ist klar, dass $u$ kleiner als $2$ sein wird, aber wie lautet die genaue Zahl? Um das herauszufinden, zeichnen wir erneut das Diagramm, aber mit der Schrittweite $\tau=5$ :

\begin{array}{rllll} \text{Anzahl Bäume}:& 500 &\xrightarrow[]{\cdot u} & ? &\xrightarrow[]{\cdot u}& 1000\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+5} & 2015 &\xrightarrow[]{+5} & 2020\\ \end{array}

Es gilt:

\begin{array}{rll} 500\cdot u\cdot u &=& 1000\\ 500 u^2&=& 2\quad \vert :500\\ u^2 &=& 2\quad \vert \sqrt{}\\ u&=&\sqrt{2} \end{array}

Wir sehen also, dass wenn wir den Zeitschritt halbieren, wir den neue Wachstumsfaktor bekommen, in dem wir die Wurzel nehmen (oder hoch $1/2$ rechnen). Und wenn wir den Zeitschritt verdoppeln, daher für $\tau=20$ ?

\begin{array}{rr} \text{Anzahl Bäume}:& 500 & \xrightarrow[]{\cdot 2} & 1000 & \xrightarrow[]{\cdot 2} & 2000\\ \text{Zeit}:& 2010 & \xrightarrow[]{+10} & 2020 & \xrightarrow[]{+10} & 2030\\ \end{array}

Und um von $2010$ auf $2030$ zu kommen, müssen wir $u$ quadrieren:

u=2\cdot 2=2^2 = 4

Allgemein haben wir die folgende Regel:

Theorem 1: Änderung des Zeitschritts

Proof

Wir wollen das beweisen. Nehmen wir an, die Menge zum Zeitpunkt $x_0$ sei $y_0$ . Für den Zeitschritt $\tau$ ist der Wachstumsfaktor $u$ , wir haben also

f(x)=y_0\cdot u^{(x-x_0)/\tau}

Wir gross ist der Wachstumsfaktor für den Zeitschritt $a\tau$ ? Wir können die Grösse $y$ zur Zeit $x_0+a\tau$ mit $f$ berechnen:

\begin{array}{lll} f(x_0+\tau)&=&y_0\cdot u^{(x_0+a\tau-x_0)/\tau}\\ &=&y_0\cdot u^a\\ \end{array}

Wir sehen also, dass wir $y_0$ mit dem Faktor $u^a$ multiplizieren müssen, um von $x_0$ zu $x_0+a\tau$ zu gelangen. Der neue Wachstumsfaktor ist also $u^a$ .

Eine Grösse wachse exponentiell mit Wachstumsfaktor $u$ für den Zeitschritt $\tau$ . Wird der Zeitschritt mit $a$ multipliziert ( $a$ eine positive Zahl), so ist der neue Wachstumsfaktor gegeben durch $u^a$ :

\begin{array}{rcl} +\tau &\rightarrow& \cdot u\\ +a\tau &\rightarrow & \cdot u^a \end{array}

Im obigen Beispiel hatten wir eine Schrittweite $\tau=10$ und der Wachstumsfaktor war $u=2$ . Wir haben dann gesehen, dass für die Schrittweite $5$ (d.h. $a=0.5$ ) der Wachstumsfaktor $2^{0.5}=\sqrt{2}$ ist, und für die Schrittweite $20$ (d.h. $a=2$ ) haben wir gesehen, dass der Wachstumsfaktor $2^2=4$ ist.

Exercise 1

Die Anzahl der Zellen in eine Petrischale beträgt $5$ , und die Zellen verdoppeln sich jede Viertelstunde. Bestimme den Wachstumsfaktor für

jede Stunde
alle $10$ Minuten

Solution

Wir messen die Zeit in Stunden. Der Wachstumsfaktor ist $u=2$ für $\tau=\frac{1}{4}$ Stunde.

$a=4$ , also wird die Zellzahl jede Stunde mit $2^4=\underline{16}$ multipliziert.
$10$ Minuten sind 2/3 einer Viertelstunde, also $a=\frac{2}{3}$ . Die Anzahl Zellen multipliziert sich also alle $10$ Minuten mit dem Faktor $2^\frac{2}{3}=\underline{1.587}$ .