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Exercise 1
  1. Sie haben ein Grundstück geerbt, das 1960 für 3000030 000 gekauft wurde. Der Wert des Grundstücks stieg um ca. 5%5\% pro Jahr. Wie hoch ist der ungefähre Wert des Grundstücks im Jahr 20112011?
  2. Bei normaler Atmung wird etwa 12%12\% der vorhandenen Luft in der Lunge nach jedem Atemzug ersetzt. Die Luftmenge am Anfang sei 500mL. Schreibe ein exponentielles Zerfallsmodell für die Menge der anfänglichen Luft, die in der Lunge nach jedem Atemzug verbleibt. Wie viel von der anfänglichen Luft ist nach 24 Atemzügen noch vorhanden?
  3. Ein Erwachsener nimmt 400 mg Ibuprofen ein. Nach jeweils zwei Stunden nimmt die Ibuprofenmenge im Körper um etwa 29%29\% ab. Wie viel Ibuprofen ist nach 15 Minuten noch vorhanden?
  4. Die Anzahl der Keime nimmt exponentiell zu. Um 8:00 Uhr waren es 2400, um 12:00 Uhr waren es 36000. Wie viele Keime gibt es um 9:00 Uhr?
  5. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der unten dargestellten Exponentialfunktionen:
  6. Angenommen, Sie haben 700700 Dollar auf ein Konto eingezahlt, das 5.80%5.80\% Zinsen pro Jahr zahlt. Wie viel Geld werden Sie am Ende von 5 Jahren auf dem Konto haben, wenn die Zinsen vierteljährlich ausgezahlt werden, d.h. jedes Quartal eines Jahres erhalten Sie 5.80/4=1.45%5.80/4=1.45\% Zinsen?
  7. Das berühmte Mooresche Gesetz besagt, dass sich (grob gesagt) alle 1.5 Jahre die Computerleistung (die Geschwindigkeit, mit der ein Computer Informationen verarbeiten kann) verdoppelt. Um wie viel steigt die Computerleistung alle 3 Jahre und wie viel jedes halbe Jahr?
  8. Der Energieverbrauch verdoppelt sich alle zwanzig Jahre. Um wie viel Prozent steigt der Energieverbrauch jedes Jahr?
  9. Das Gewicht eines Hundes beträgt in der zweiten Woche 0.72kg0.72kg, in der achten Woche 2.18kg2.18kg. Bestimme das Gewicht des Hundes in Woche 2121
    1. wenn das Wachstum linear ist. Wie ist die Steigung der linearen Funktion, die das Wachstum beschreibt?
    2. wenn das Wachstum exponentiell ist. Wie gross ist der Wachstumsfaktor und die Wachstumsrate für jede Woche?
  10. Betrachte die Punkte A(−2∣5)A(-2\vert 5) und B(2.5∣1.7)B(2.5\vert 1.7).
    1. Bestimme die Funktionsgleichung der Geraden ff, die durch AA und BB verläuft. Liegt der Punkt P(100∣−70)P(100\vert -70) auf der Geraden?
    2. Bestimme die Funktionsgleichung der Exponentialfunktion ff, deren Graph durch AA und BB geht. Liegt der Punkt P(10∣0.084)P(10\vert 0.084) auf dem Graphen?
  11. Die Halbwertszeit der radioaktiven Substanz Radon-222 beträgt 3.83.8 Tage. Das bedeutet, dass sich die Masse der Substanz alle 3.83.8 Tage halbiert. Um wie viel Prozent reduziert sich die Substanz jeden

    1. Tag?

    2. Minute?

    3. Woche?

Solution
  1. eigentlich 9.
    1. f(x)=0.72+1.46⋅x−26=0.243‾x+0.23‾f(x)=0.72+1.46\cdot \frac{x-2}{6} = 0.24\overline{3}x+0.2\overline{3}, die Steigung also a=0.243‾‾a=\underline{0.24\overline{3}} und das Gewicht bei x=21x=21 ist f(21)=5.343kg‾f(21)=\underline{5.343kg}
    2. f(x)=0.72⋅3.027‾x−26f(x)=0.72\cdot 3.02\overline{7}^\frac{x-2}{6}, also das Gewicht bei x=21x=21 ist f(21)=24.037kg‾f(21)=\underline{24.037kg}. Da f(3)=0.866kgf(3)=0.866 kg ist der Wachstumsfaktor für jede Woche u=0.8660.72=1.2027‾u=\frac{0.866}{0.72}=\underline{1.2027}, die Wachstumsrate also 20.27%‾\underline{20.27\%}.
  2. eigentlich 10.
    1. f(x)=−0.73‾x+3.53‾f(x)=-0.7\overline{3}x+3.5\overline{3}. Da f(100)=−69.8f(100)=-69.8, ist P(100∣−70)P(100\vert -70) nicht auf der Geraden.
    2. f(x)=5⋅0.34x+24.5f(x)=5\cdot 0.34^{\frac{x+2}{4.5}}. Da f(10)=0.2185...f(10)=0.2185..., ist P(10∣0.084)P(10\vert 0.084) nicht auf dem Graphen von ff.
  3. eigentlich 11.
    1. Wachstumsfaktor für jede Tag ist u=0.513.8=0.83326u=0.5^{\frac{1}{3.8}}=0.83326. Wachstumsrate ist p=−16.673%‾p=\underline{-16.673\%}.
    2. Wachstumsfaktor für jede Minute ist u=0.513.8⋅24⋅60=0.99987u=0.5^{\frac{1}{3.8\cdot 24\cdot 60}}=0.99987. Wachstumsrate ist p=−0.0126%‾p=\underline{-0.0126\%}
    3. Wachstumsfaktor für jede Woche ist u=0.573.8=0.27891u=0.5^\frac{7}{3.8}=0.27891. Wachstumsrate ist p=−72.108%‾p=\underline{-72.108\%}.