Graphen- & Funktionsanalyse

Symmetrien

Wir unterscheiden zwei Arten von Symmetrien, die bei Graphen von Funktionen auftauchen können. Diese Charakterisierungen gelten für Funktionen allgemein.

Achsialsymmetrie bezüglich yy-Achse

Definition 1: gerade Funktion

Der Graph einer Funktion ff ist achsialsymmetrisch zur yy-Achse oder wird gerade genannt, wenn

f(−x)=f(x)f(-x) = f(x)

für alle x∈Dx\in\mathbb{D} gilt.

Hier am Beispiel einer Parabel:

Zentralsymmetrie bezüglich Ursprung

Definition 2: ungerade Funktion

Der Graph einer Funktion ff ist punktsymmetrisch zum Ursprung oder wird ungerade genannt, wenn

−f(−x)=f(x)-f(-x) = f(x)

für alle x∈Dx\in\mathbb{D} gilt.

Hier am Beispiel der kubischen Funktion:

Um das qualitative Verhalten einer Funktion besser zu verstehen, lohnt es sich, ihren Graphen zu betrachten. Dazu müsste man die Werte aus einer umfangreichen Wertetabelle in ein Koordinatensystem übertragen. In vielen Fällen kann man den Graphen schnell skizzieren, wenn man nur einige markante Punkte des Graphen kennt und untersucht, wie sich die Funktionswerte verhalten, falls die xx-Werte gegen ∞\infty bzw. −∞-\infty streben.

Exercise 1: Gerade und ungerade Winkelfunktion

Nenne eine gerade und eine ungerade Winkelfunktion.

Solution

Man nehme die Sinusfunktion, deren Graphen punktsymmetrisch zum Ursprung ist und den Graphen der Cosinusfunktion als achsialsymmetrisch zur yy-Achse.

Lokale Extrema

Definition 3: relatives Minimum/Maximum

Der Punkt (x0∣f(x0))(x_0\mid f(x_0)) heisst relatives Minimum oder Tiefpunkt, falls

f(x)>f(x0)f(x)>f(x_0)

für alle xx in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0x_0.

(x0∣f(x0))(x_0\mid f(x_0)) heisst relatives Maximum oder Hochpunkt, falls

f(x)<f(x0)f(x)<f(x_0)

für alle xx in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0x_0.

Wie man diese Punkte rechnerisch findet, beschreiben die folgenden beiden Sätze.

Theorem 1

Hat die Funktion ff an der Stelle x0x_0 ein relatives Minimum oder Maximum, dann gilt

f′(x0)=0.f'(x_0)=0.
Proof

In einem relativen Hoch- bzw. Tiefpunkt (x0∣f(x0))(x_0\mid f(x_0)) hat der Graph der Funktion ff Steigung 00; also ist dort f′(x0)=0f'(x_0)=0.

(Min Max kommentiert)

Beachte, dass diese Bedingung für eine Extremalstelle notwendig aber nicht hinreichend ist. Um zu entscheiden, ob sich an der Stelle x0x_0 ein lokales Minimum oder Maximum befindet, hilft folgende Notiz: Ist f′′(x0)>0f''(x_0)>0, dann ist der Graph von ff dort linksgekrümmt; ist f′′(x0)<0f''(x_0)<0, dann ist der Graph von ff dort rechtsgekrümmt.

Note 1

Wenn ff ein lokales Minimum in x0x_0 hat, dann ist dort f′(x0)=0f'(x_0)=0 und f′′(x0)>0f''(x_0)>0. Und wenn ff ein lokales Maximum in x0x_0 hat, dann ist dort f′(x0)=0f'(x_0)=0 und f′′(x0)<0f''(x_0)<0.

Wendepunkte

Das letzte Resultat wirft die Frage auf, wie ein Punkt (x0∣f(x0))(x_0\mid f(x_0)) von ff interpretiert werden soll, falls dort f′(x0)=0f'(x_0)=0 und f′′(x0)=0f''(x_0)=0 ist. Wenn wir uns daran erinnern, dass die erste Ableitung einer Funktion die Steigung und die zweite Ableitung die Krümmung in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0x_0 angibt, dann bedeutet f′′(x0)=0f''(x_0)=0 also, dass dort der Graph von ff keine Krümmung besitzt: Man spricht von einem Wendepunkt von ff an der Stelle x0x_0, wenn f′′(x0)=0f''(x_0)=0 und f′′′(x0)≠0f'''(x_0)\neq0.

Definition 4: Terrassenpunkt

Man nennt einen Punkt (x0∣f(x0))(x_0\mid f(x_0)) Terrassenpunkt oder Sattelpunkt von ff, falls f′(x0)=0f'(x_0)=0, f′′(x0)=0f''(x_0)=0 und f′′′(x0)≠0f'''(x_0)\neq0 ist.

Note 2

Ein Terrassenpunkt ist also ein spezieller Wendepunkt, nämlich ein Wendepunkt mit Horizontaltangente.

Überblick

f′(x0)=0f'(x_0)=0 f′′(x0)=0f''(x_0)=0
Note 3

Die Umkehrung dieser Sätze gilt nicht.

Exercise 2: Umkehrung gilt nicht

Überprüfe obige Aussage anhand einfacher Gegenbeispiele. Betrachte

f(x)=x3undg(x)=x4f(x)=x^3\quad\text{und}\quad g(x)=x^4

in x0=0x_0=0.

Solution

a) Für f(x)=x3f(x)=x^3 ist f′(x)=3x2f'(x)=3x^2, f′′(x)=6xf''(x)=6x und f′′′(x)=6f'''(x)=6. Aber ff hat in x0=0x_0=0 keine Extremalstelle, dafür aber einen Terrassenpunkt.

b) Es ist g′(x)=4x3g'(x)=4x^3, g′′(x)=12x2g''(x)=12x^2 und g′′′(x)=24xg'''(x)=24x. Betrachte gg in x0=0x_0=0, um zu sehen, dass der Graph von gg dort sein Minimum hat, da insbesondere g′′′(0)=0g'''(0)=0.

Example 1

Ich liefere noch ein Standardbeispiel zu Nullstellen, Extrema und Wendepunkte:

Wir betrachten die Funktion

f(x)=x3−x.f(x)=x^3-x.
  • Die Nullstellen finden wir wegen x3−x=x(x2−1)=x(x−1)(x+1)=!0x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)\stackrel{!}{=}0 bei x1=0x_1=0, x2=1x_2=1 und x3=−1x_3=-1.
  • Für die Extrema lösen wir f′(x)=3x2−1=!0f'(x)=3x^2-1\stackrel{!}{=}0. Es folgt unmittelbar x1,2=±13=±33x_{1,2}=\pm\sqrt{\frac{1}{3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}. Wegen f′′(x)=6xf''(x)=6x ist das Minimum an der Stelle 33\frac{\sqrt{3}}{3} und das Maximum bei −33-\frac{\sqrt{3}}{3}.
  • Eine mögliche Wendestelle liegt wegen f′′(x)=6x=!0f''(x)=6x\stackrel{!}{=}0 bei xw=0x_w=0. Wegen f′′′(xw)=6≠0f'''(x_w)=6\neq0 ist dort auch eine.
Exercise 3: Parabel hat keinen Wendepunkt

Zeige, dass eine beliebige quadratische Funktion keinen Wendepunkt hat.

Solution

Eine Parabel hat die Form f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c mit a≠0a\neq0. Es ist f′(x)=2ax+bf'(x)=2ax+b und f′′(x)=2a≠0f''(x)=2a\neq0. Also kann ff keinen Wendepunkt haben.

Exercise 4: Kurvendiskussion

Bestimme die Nullstellen, Extrema und Wendestellen der Funktion

f(x)=x3−2x2−5x+6.f(x) = x^3-2x^2-5x+6.

Zeige zuerst, dass ff bei x=1x=1 eine Nullstelle hat und bestimme anschliessend die restlichen.

Solution

Es ist f(1)=13−2⋅12−5⋅1+6=0f(1)=1^3-2\cdot1^2-5\cdot1+6=0. Mit Polynomdivision finden wir

(x3−2x2−5x+6)÷(x−1)=x2−x−6−(x3−x2)‾−x2−5x+6−(x2+x)‾−6x+6−(−6x+6)‾0\begin{align*} &(x^3-2x^2-5x+6) \div (x-1) = x^2-x-6\\ &\underline{-(x^3-x^2)}\\ &-x^2-5x+6\\ &\underline{-(x^2+x)}\\ &-6x+6\\ &\underline{-(-6x+6)}\\ &0 \end{align*}

Es folgt x2−x−6=(x−3)(x+2)=0x^2-x-6=(x-3)(x+2)=0 und also x2=3x_2=3, x3=−2x_3=-2. Damit haben wir alle Nullstellen. Für die Extrema brauchen wir erst f′(x)=!0⇔3x2−4x−5=0f'(x)\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow 3x^2-4x-5=0, also x=4±42−4⋅3⋅(−5)6=4±766=4±2196=2±193x=\frac{4\pm\sqrt{4^2-4\cdot3\cdot(-5)}}{6}=\frac{4\pm\sqrt{76}}{6}=\frac{4\pm2\sqrt{19}}{6}=\frac{2\pm\sqrt{19}}{3}. Die Wendestellen berechnen wir zu f′′(x)=6x−4=!0f''(x)=6x-4\stackrel{!}{=}0, also x=23x=\frac{2}{3}; f′′′(x)=6f'''(x)=6. Man kann die Extremwerte noch klassifizieren und den Graphen zur Kontrolle plotten.

Exercise 5: Kurvendiskussion II

Gib dir eine ganzrationale Funktion vor (z.B. f(x)=4x3−3x+1f(x)=4x^3-3x+1) und untersuche diese nach Nullstellen, Extrema und Wendestellen. Überprüfe deine Berechnungen z.B. mit GeoGebra.

Solution

Es ist f(−1)=−4+3+1=0f(-1)=-4+3+1=0, also ist x1=−1x_1=-1 Nullstelle. (4x3−3x+1)÷(x+1)=4x2−4x+1=0(4x^3-3x+1)\div(x+1)=4x^2-4x+1=0 und es folgt x2,3=4±16−168=12x_{2,3}=\frac{4\pm\sqrt{16-16}}{8}=\frac{1}{2}. Extremwerte f′(x)=12x2−2=!0⇔x=±16f'(x)=12x^2-2\stackrel{!}{=}0\Leftrightarrow x=\pm\frac{1}{6}, f′′(x)=24xf''(x)=24x. Wendestelle bei 00. Man kann die Extremwerte noch klassifizieren.

Exercise 6

Analysiere

f(x)=3sin⁡(2x)f(x) = 3\sin(2x)

über dem Intervall [−π2,π2][-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}].

Solution

  • Nullstellen:

    f(x)=!03sin⁡(2x)=02x=arcsin⁡(0)x=0\begin{align*} f(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ 3\sin(2x) &= 0\\ 2x &= \arcsin(0)\\ x &= 0 \end{align*}

  • yy-Achsen-Schnittpunkt: f(0)=3sin⁡(2⋅0)=0f(0) = 3\sin(2\cdot0) = 0

  • Extrema:

    f′(x)=!06cos⁡(2x)=02x=arccos⁡(0)x=π4\begin{align*} f'(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ 6\cos(2x) &= 0\\ 2x &= \arccos(0)\\ x &= \frac{\pi}{4} \end{align*}

    Lokales Minimum oder Maximum?

    f′′(x)=−12sin⁡(2x)f''(x) = -12\sin(2x). f′′(π4)=−12sin⁡(π2)=−12<0f''(\frac{\pi}{4}) = -12\sin(\frac{\pi}{2}) = -12 < 0; also lokales Maximum. (Wegen der Periodizität der Sinusfunktion müsste man nach weiteren Extrema ausschau halten.)

  • Wendestellen:

    f′′(x)=!0−12sin⁡(2x)=02x=arcsin⁡(0)x=0\begin{align*} f''(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ -12\sin(2x) &= 0\\ 2x &= \arcsin(0)\\ x &= 0 \end{align*}

    Check f′′′(x)=−24cos⁡(2x)f'''(x) = -24\cos(2x): f′′′(0)=−24≠0f'''(0) = -24 \neq 0, also Wendestelle.

Exercise 7

Analysiere

f(x)=xe−x.f(x) = x\mathrm{e}^{-x}.
Solution

  • Nullstellen:

    f(x)=!0xe−x=0x=0\begin{align*} f(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ x\mathrm{e}^{-x} &= 0\\ x &= 0 \end{align*}

    ist einzige Nullstelle, da e−x≠0∀x∈R\mathrm{e}^{-x} \neq 0\quad\forall x\in\mathbb{R}.

  • yy-Achsen-Schnittpunkt: f(0)=0⋅e−0=0⋅1=0f(0) = 0\cdot\mathrm{e}^{-0} = 0\cdot 1 = 0

  • Extrema:

    f′(x)=!01⋅e−x+xe−x⋅(−1)=0e−x−xe−x=0e−x(1−x)=0x=1\begin{align*} f'(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ 1\cdot\mathrm{e}^{-x} + x\mathrm{e}^{-x}\cdot(-1) &= 0\\ \mathrm{e}^{-x} - x\mathrm{e}^{-x} &= 0\\ \mathrm{e}^{-x}(1 - x) &= 0\\ x &= 1 \end{align*}

    ist einzige Lösung (gleiches Argument wie oben).

    Lokales Minimum oder Maximum?

    f′′(x)=−e−x(1−x)+e−x⋅(−1)=e−x(x−2)f''(x) = -\mathrm{e}^{-x}(1 - x) + \mathrm{e}^{-x}\cdot(-1) = \mathrm{e}^{-x}(x-2); es ist f′′(1)=e−1(1−2)=−1e<0f''(1) = \mathrm{e}^{-1}(1-2) = -\frac{1}{\mathrm{e}} < 0, also haben wir ein lokales Maximum bei x=1x=1.

  • Wendestellen:

    f′′(x)=!0e−x(x−2)=0x=2\begin{align*} f''(x) &\stackrel{!}{=} 0\\ \mathrm{e}^{-x}(x-2) &= 0\\ x &= 2 \end{align*}

    ist einzige Lösung.

    Check f′′′(x)=−e−x(x−2)+e−x⋅1=3e−x−xe−xf'''(x) = -\mathrm{e}^{-x}(x-2) + \mathrm{e}^{-x}\cdot1 = 3\mathrm{e}^{-x}-x\mathrm{e}^{-x}; f′′′(2)=3e−2−2e−2=1e2≠0f'''(2) = 3\mathrm{e}^{-2}-2\mathrm{e}^{-2} = \frac{1}{\mathrm{e}^2} \neq 0, also ist x=2x=2 eine Wendestelle.

Exercise 8: Kurvendiskussion Sinus

Zeichne die Sinusfunktion

f(x)=sin⁡(x)f(x) = \sin{(x)}

im Intervall [−4π,4π][-4\pi,4\pi]. Gib danach für ff Nullstellen, Symmetrie, Extrema und Wendestellen auf dem Definitionsbereich D=R\mathbb{D}=\mathbb{R} an. Zeichne mit einer andern Farbe ins gleiche Koordinatensystem die erste und zweite Ableitung von ff ein.

Solution

Nullstellen sind bei sin⁡(x)=0\sin(x)=0 und es folgt x=kπx=k\pi mit k∈Zk\in\mathbb{Z}. Extrema bei cos⁡(x)=0⇒x=π2+kπ\cos(x)=0\Rightarrow{}x=\frac{\pi}{2}+k\pi und Wendestellen bei x=kπx=k\pi mit k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Exercise 9: Kurvendiskussion Glockenkurve

Die Funktion

g(x)=e−x2g(x)=\mathrm{e}^{-x^2}

spielt in der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik eine beherrschende Rolle im Zusammenhang mit der Normal- oder Gaussschen Verteilung. Berechne

a) (Definitions- und Wertemenge,) Nullstellen und yy-Achsen-Schnittpunkt.

b) lim⁡x→±∞f(x)\lim_{x\to\pm\infty}f(x))

c) Finde Extremwerte und Wendepunkte des Graphen.

Solution

a) D=R\mathbb{D}=\mathbb{R}, W=(0,1]\mathbb{W}=(0,1]; Nullstellen haben wir keine, da f(x)>0∀x∈Rf(x)>0\quad\forall x\in\mathbb{R}; f(0)=e−02=e0=1f(0) = \mathrm{e}^{-0^2} = \mathrm{e}^{0} = 1.

g(−x)=e−(−x)2=e−x2=g(x)g(-x)=\mathrm{e}^{-(-x)^2}=\mathrm{e}^{-x^2}=g(x), also symmetrisch zur yy-Achse.

b) Wegen dem Quadrat wird der Grenzwert für beide Varianten ±\pm gleich sein. Wegen e−x2=1ex2\mathrm{e}^{-x^2}=\frac{1}{\mathrm{e}^{x^2}}, wird der Graph im Limit gegen 00 gehen.

c) g′(x)=0g'(x)=0 ist notwendig. g′(x)=e−x2⋅(−2x)=0⇔x=0g'(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\cdot(-2x)=0\Leftrightarrow x=0, da e−x2>0∀x∈R\mathrm{e}^{-x^2}>0\quad\forall x\in\mathbb{R}. Betrachten wir noch g′′(x)=e−x2⋅(−2x)⋅(−2x)+e−x2⋅(−2)=2e−x2(2x2−1)g''(x)=\mathrm{e}^{-x^2}\cdot(-2x)\cdot(-2x)+\mathrm{e}^{-x^2}\cdot(-2)=2\mathrm{e}^{-x^2}(2x^2-1) und somit g′′(0)=2e0(−1)=−2<0g''(0)=2\mathrm{e}^{0}(-1)=-2<0 impliziert ein Maximum bei x=0x=0.

Für Wendestellen müssen wir g′′(x)=2e−x2(2x2−1)⇔x=±22g''(x)=2\mathrm{e}^{-x^2}(2x^2-1)\Leftrightarrow x=\pm\frac{\sqrt{2}}{2} lösen, done.

(Gauss'sche Glockenkurve analysiert)