Optimierung

Man begegnet in unserer Umwelt sehr oft gewissen Grössen, die entweder zu minimieren (Kosten, Zeiten, Kraftaufwand, $\dots$ ) oder zu maximieren (Gewinne, Ausnutzung, Nutzeffekt, $\dots$ ) sind. Handelt es sich dabei um mehrere Variablen, die durch lineare Ungleichungen miteinander verbunden sind, so können diese Aufgaben mathematisch mit der linearen Optimierung gelöst werden.

Im folgenden lässt sich der reale Zusammenhang durch eine differenzierbare Funktion mit nur einer Variablen beschreiben. Die Differenzialrechnung liefert dann mit ihren Methoden der Extremwertermittlung die Lösung des gestellten Problems.

Note 1

Bei manchen Problemstellungen können Randextrema vorkommen. Mit den Bezeichnungen aus der Abbildung erreicht im Punkte $R$ die Funktion ihr globales Maximum (Randextremum). Im Punkt $Q$ erreicht sie ein lokales Maximum, während sie in $P$ sowohl ein globales als auch ein lokales Minimum erreicht.

In den folgenden Aufgaben spielen Randextrema aber keine Rolle.

Exercise 1: Summe maximieren

Zerlege die Zahl 144 so in zwei Summanden, dass ihr Produkt möglichst gross wird.

Solution

Die beiden Summanden sind $x$ und $y=144-x$ . Das Produkt ist somit $xy=x(144-x)=-x^2+144x$ . Das Maximum ist der Scheitelpunkt $x_S=-\frac{144}{-2}=72$ und somit $y=72$ . Das kriegt man auch über $(-x^2+144x)'=-2x+144\stackrel{!}{=}0$ .

Exercise 2: Rechteck maximieren

Zeichne in einem Koordinatensystem die Parabel mit der Gleichung

f(x) = 6 - \frac{x^2}{4}.

Dem Abschnitt der Parabel, der oberhalb der $x$ -Achse liegt, ist ein Rechteck mit möglichst grossem Inhalt einzubeschreiben.

Solution

Der Inhalt ist $A(x)=xy=x(6-0.25x^2)=-0.25x^3+6x$ . Maximal wird er bei $A'(x)=-0.75x^2+6=0$ , also $x=\pm2\sqrt{2}$ . Damit ist $A(2\sqrt{2})=8\sqrt{2}$ .

Exercise 3: Pelati Büchse

Eine kreiszylinderförmige Büchse hat den Inhalt $1\,\mathrm{l}$ . Welche Abmessungen hat diese Büchse, wenn ihre Oberfläche, bestehend aus Mantel und Grundflächen, minimal werden soll?

Solution

$O=2\pi r^2+2\pi rh$ und $V=\pi r^2h$ . Es folgt $h=\frac{V}{\pi r^2}$ und eingesetzt $O(r)=2\pi r^2+2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^2}=2\pi r^2+\frac{2V}{r}$ . Daher $4\pi r-\frac{2V}{r^2}\stackrel{!}{=}0$ und daraus

\begin{align*} 4\pi r &= \frac{2V}{r^2}\\ r^3 &= \frac{V}{2\pi}\\ r &= \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} \end{align*}

Das ergibt für einen Liter Inhalt $r\approx5.4\,\mathrm{cm}$ . Die Höhe beträgt

h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{V}{\pi \left(\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}\right)^2}=\frac{V}{ \left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{\pi}V}{2}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{2\sqrt{V}}{\sqrt{\pi}}}^2=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}=2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}=2r

(Pelati Büchse kommentiert)

Exercise 4: Heizkessel

Ein Heizkessel besteht aus einem Zylinder mit aufgesetzter Halbkugel. Er soll $2000\,\mathrm{Liter}$ fassen und möglichst wenig Wärme abstrahlen. Berechne seine Höhe und den Radius des Zylinders bzw. der Halbkugel.

Solution

Wir müssen die Oberfläche minimieren: $O(r,h)=\pi r^2+2\pi r\cdot h+2\pi r^2=\pi r(3r+2h)=3\pi r^2+2\pi rh$ . Aus der Nebenbedingung für das Volumen haben wir

\begin{align*} V(r,h) &= \pi r^2h+\frac{2}{3}\pi r^3\\ V-\frac{2}{3}\pi r^3 &= \pi r^2h\\ h &= \frac{V}{\pi r^2}-\frac{2\pi r^3}{3\pi r^2}=\frac{3V-2\pi r^3}{3\pi r^2} \end{align*}

und damit

O(r) = 3\pi r^2+2\pi rh = 3\pi r^2+2\pi r\frac{3V-2\pi r^3}{3\pi r^2}=3\pi r^2+\frac{2V}{r}-\frac{4\pi r^2}{3}=\frac{2V}{r}+\frac{5\pi r^2}{3}

Wir finden den Minimalwert von $0$ für $r$ über die Ableitung

O'(r)=-\frac{2V}{r^2}+\frac{10\pi}{3}r\stackrel{!}{=}0.

Lösen nach $r$ :

\begin{align*} -\frac{2V}{r^2}+\frac{10\pi}{3}r &= 0\\ \frac{10\pi}{3}r &= \frac{2V}{r^2}\\ r^3 &= \frac{3V}{5\pi}\\ r &= \sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}} \end{align*}

Für $V=2\,\mathrm{m^3}$ ergibt dies $r\approx1.56\,\mathrm{m}$ ; für

\begin{align*} h &= \frac{3V-2\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}\right)^3}{3\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}\right)^2}=\frac{3V- \frac{6V}{5}}{3\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}\right)^2} = \frac{\frac{9V}{5}}{3\pi \left(\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}\right)^2}\\ &= \frac{\frac{3V}{5\pi}}{\left(\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}\right)^2}=\sqrt[3]{\frac{3V}{5\pi}}=r \end{align*}

Exercise 5: 🧩

Ein Auto beansprucht in einem Tunnel mindestens einen Strassenabschnitt der Länge $L+s_R+s_B$ , wobei $L$ der durchschnittlichen Länge eines Autos, $s_R=tv$ dem Reaktionsweg, $s_B=\frac{v^2}{2a}$ dem Bremsweg, also $s_R+s_B$ dem Anhalteweg entsprechen. ( $a$ : Bremsverzögerung, $t$ : Reaktionszeit, $v$ : Momentangeschwindigkeit) Ein Stau vor dem Tunnel kann am schnellsten abgebaut werden, wenn ein maximaler Autodurchfluss im Tunnel erzeugt wird. Der Autodurchfluss $D$ wird durch die Anzahl Autos, die pro Stunde maximal in den Tunnel einfahren können, definiert:

D(v):=\frac{3600v}{L+tv+\frac{v^2}{2a}}

Für welche Geschwindigkeit wird dieser Durchfluss maximal? Wie viele Autos können pro Stunde in den Tunnel einfahren? (Realistische Werte: $L=5\,\mathrm{m}, a=5\,\mathrm{m/s^2}, t=1.2\,\mathrm{s}$ )

Hinweis: Statt des Maximums von $D$ kann einfacher das Minimum von $\frac{1}{D}$ ermittelt werden.

Solution

Wir nehmen $\left(\frac{3600v}{L+tv+\frac{v^2}{2a}}\right)^{-1}=\frac{L+tv+\frac{v^2}{2a}}{3600v}$ und leiten ab:

\frac{(t+\frac{v}{a})3600v-(L+tv+\frac{v^2}{2a})\cdot3600}{(3600v)^2}=\frac{(t+\frac{v}{a})-(L/v+t+\frac{v}{2a})}{3600v}=\frac{\frac{v}{2a}-\frac{L}{v}}{3600v}

Wir haben den Extremwert bei $\frac{v}{2a}-\frac{L}{v}=0\Leftrightarrow v=\sqrt{2La}$ . Nach unserem Modell spielen nur die Bremsen und die Fahrzeuglänge eine Rolle.

Exercise 6: 🧩

Die Funktion

f(t)=c\left(\mathrm{e}^{-at}-\mathrm{e}^{-bt}\right)

mit $c>0, b>a>0, t\geq0$ wird gebraucht, um die Konzentration einer Drogeninjektion in die Blutbahn in Abhängigkeit der Zeit t zu beschreiben.

a) Überprüfe den Funktionsterm für $t = 0$ und zeige, dass $f(t) >0$ für $t >0$ ist.

b) Zu welchem Zeitpunkt (in Abhängigkeit der drei Parameter a, b und c) erreicht die Konzentration ihr Maximum?

Solution

a) $f(0)=0$ und weil $b>a$ ist $\mathrm{e}^{-at}>\mathrm{e}^{-bt}$ und mit $c>0$ also $f(t)>0$ .

b) Einen Extremwert hat man unter der Bdeingung: $\dot{f}(t)=c(\mathrm{e}^{-at}(-a)+\mathrm{e}^{-bt}(b))=0$ . Es folgt $\frac{b}{a}=\mathrm{e}^{(b-a)t}$ und somit $(b-a)t=\ln(\frac{b}{a})$ . Schliesslich $t=\frac{\ln(\frac{b}{a})}{b-a}$

Exercise 7: Gedämpfte Schwingung

Durch die Funktionen vom Typ

f(t)=A\mathrm{e}^{-\alpha t}\sin(\omega t)

mit $t>0$ lassen sich Schwingungen beschreiben, die durch nicht zu starke Reibung abgebremst werden. Berechne das erste Maximum und das erste Minimum der Funktion, falls $A = 1$ , $\alpha = 0.3$ und $\omega=2$ .

Solution

$\dot{f}(t)=A(\mathrm{e}^{-\alpha t}\cdot(-\alpha)\sin(\omega t)+\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\omega t)\cdot\omega)\stackrel{!}{=}0$ . Daher muss $\frac{\sin(\omega t)}{\cos(\omega t)}=\frac{\omega}{\alpha}$ und schliesslich $t=\frac{1}{\omega}\arctan(\frac{\omega}{\alpha})$ .

(gedämpfte Schwingung kommentiert)

Exercise 8: Kaffeestube

In einer alten Mühle soll ein Kaffee eröffnet werden. Den zylinderförmigen Wassertank, der im kegelförmigen Dach untergebracht wird, will man so bauen, dass sein Volumen möglichst gross wird. Der Durchmesser des Dachs beträgt $3\,\mathrm{m}$ und die Höhe $2.5\,\mathrm{m}$ . Wie müssen die Abmessungen des Tanks gewählt werden und welches Volumen fasst er?

Open in GeoGebra

Solution

Die Dachschräge modellieren wir zu $f(x)=-\frac{2.5}{1.5}x+2.5$ . Das Volumen des Behälters ist $V=\pi r^2\cdot(-\frac{2.5}{1.5}r+2.5)=-\frac{5\pi}{3}r^3+\frac{5\pi}{2}r^2$ . Der Extremwert $V'(r)=-5\pi r^2+5\pi r\stackrel{!}{=}0$ ergibt $r_1=0$ und $r_2=1$ . Wir nehmen also $r=1$ und damit $h=-\frac{5}{3}+\frac{5}{2}=\frac{5}{6}$ , $V=\frac{5\pi}{6}$ .

Abschliessend zu Extremalaufgaben wollen wir untersuchen, ob die Liter-Milchbeutel optimale Abmessungen haben, das heisst bei zur Verfügung stehendem Verpackungsmaterial den grösstmöglichen Volumeninhalt aufweisen. Wir werden dabei auf ein Ergebnis stossen, dass uns auf den ersten Blick erstaunen mag. (Tetrapack kommentiert)

Mathemtik in der Wirtschaft

Mathematik und Wirtschaft

Die in den Wirtschaftswissenschaften häufig benutzten Funktionen sind

Kostenfunktion $K(x)$
Stückkostenfunktion $k(x)=\frac{K(x)}{x}$
Preisfunktion $p(x)$
Erlösfunktion $E(x)=x\cdot p(x)$
Gewinnfunktion $G(x)=E(x)-K(x)$
Angebotsfunktion $p_A(x)$

Verändert man eine Produktion von $x_0$ Einheiten auf $x_1$ Einheiten, so entsteht ein Kostenzuwachs $\Delta K$ . Der Differenzenquotient

\frac{\Delta K(x)}{\Delta x}=\frac{K(x_1)-K(x_0)}{x_1-x_0}

entspricht dem durchschnittlichen Kostenzuwachs. Wenn die Funktion $K$ differenzierbar ist, gibt der differenzialquotient

K'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{K(x_0+h)-K(x_0)}{h}

die Grenzkosten, auch marginale Kosten genannt, bei der Produktion von $x_0$ Einheiten an.Durch $K'(x_0)$ erhält man die Produktionskosten für eine zusätzliche Einheit, wenn schon $x_0$ Einheiten produziert werden. In ganz ähnlicher Weise sind marginaler Preis, Grenzerlös, Grenznutzen oder Grenzneigung zum Konsum durch Differenzialquotienten definiert. Beispielsweise gibt

\frac{dG(x_0)}{\mathrm{d}x}

in erster Näherung an, um wie viele Einheiten sich der Gewinn verändert, wenn die unabhängige Variable, die Ausbringung eines Gutes, sich um eine Einheit, von $x_0$ auf $x_0 + 1$ , verändert.

Vom Regenbogen

Eine Extremwertaufgabe, die im Regenbogen steckt. (Regenbogen kommentiert)