Wachstum

1. Wenn etwas in jedem Zeitschritt immer um den gleichen Betrag zunimmt (oder abnimmt), wächst es linear. Etwa beim Strassenbau: jede 3 Wochen verlängert sich die Strasse um $150m$. Besitzt die Strasse in der Woche $1$ die Länge $20m$, so haben wir:

   $$\begin{array}{llllll} \text{Länge} & 20 \xrightarrow[]{+150}& 170\xrightarrow[]{+150} & 320 \xrightarrow[]{+150}& 470 \xrightarrow[]{+150}& ... & y\\ \text{Woche} & 1 & 4 & 7 & 11 & ... & x\\ \end{array}$$

   Tragen wir die Punkte in einem Koordinatensystem auf, so sehen wir, dass die Punkte eine Gerade bilden (hier nicht gezeigt). Daraus lässt sich die Funktion ableiten:

   1. Da es eine Gerade ist, muss es eine lineare Funktion sein: $f(x)=ax+b$.
   2. Die Steigung $a$ ist $a=\frac{150}{3}=50$, also $f(x)=50x+b$
   3. Der Punkt $(1|20)$ ist auf der Geraden, also muss gelten $f(1)=20$, daher $50\cdot 1+b=20$, also $b=-30$.

   Es ist also $f(x)=50x-30$.

2. Wenn etwas in in jedem Zeitschritt sich mit dem gleichen Faktor multipliziert, wächst es exponentiell. Zum Beispiel: jede 3 Jahre verdoppelt sich die Kaninchenzahl. Angenommen, im Jahr 0 hat es $6$ Kaninchen, dann haben wir das folgende:

   $$\begin{array}{llllll} \text{Anzahl} & 6 \xrightarrow[]{\cdot 2}& 12\xrightarrow[]{\cdot 2} & 24 \xrightarrow[]{\cdot 2}& 48 \xrightarrow[]{\cdot 2}& ... & y\\ \text{Jahre} & 0 & 3 & 6 & 9 & ... & x\\ \end{array}$$

   Beachte, dass wir in jedem Zeitschritt $\cdot 2$ rechnen. Wir haben also für die Funktion $f$, welche das Wachstum beschreibt, dass

   $$\begin{array}{lll} f(0) &=& 6 & \\ f(3) &=& 6\cdot 2^1 & \text{nach 1 Zeitschritt}\\ f(6) &=& 6\cdot 2^2 & \text{nach 2 Zeitschritten}\\ f(9) &=& 6\cdot 2^3 & \text{nach 3 Zeitschritten}\\ ... \end{array}$$

   Um zu berechnen, wie gross die Anzahl Kaninchen nach $x$ Jaren ist, müssenwir wissen, wie viele Zeitschritte wir brauchen um von $0$ nach $x$ Jahren zu kommen, wobei die Schrittgrösse $3$ ist. Dies sind $\frac{x}{3}$ Schritte. Also muss gelten

   $$f(x)=6\cdot 2^\frac{x}{3}$$

1. lineares Wachstum: $f(x)=0.5+\frac{x}{4}\cdot0.6=0.15x+0.5$

   • Höhe: $f(13.5)=0.15\cdot 13.5+0.5=2.525$

   • Jahr: finde $x$ mit

     $$\begin{array}{lll} 0.15\cdot x+0.5&=&100\\ 0.15x &=& 99.5\\ x&=&663.\overline{3} \end{array}$$

2. exponentielles Wachstum: $f(x)=0.5\cdot 2.2^{x/4}$

   • Höhe: $f(13.5)=0.5\cdot 2.2^{13.5/4}=7.1556$

   • Jahr: finde $x$ mit

     $$\begin{array}{lll} 0.5\cdot 2.2^{x/4}&=&100\\ 2.2^{x/4} &=& 200\\ \log(2.2^{x/4})&=&\log(200)\\ \frac{x}{4}\cdot \log(2.2)&=&\log(200)\\ x&=&4\cdot\frac{\log(200)}{\log(2.2)}=26.87 \end{array}$$

$f(x)=2\cdot 1.02^x$ ($x$ in Stunden).

1. $21$ Minuten sind $\frac{21}{60}=0.35$ Stunden. Also nach $21$ Minuten ist der Druck $f(0.35)=2\cdot 1.02^0.35=2.0139$ Bar.
2. Finde $x$ mit $2\cdot 1.02^x=4$, also $1.02^x=2$, also x=\log_{1.02}(2}=35.003.

$f(x)=30\cdot 0.95^{x/2}$ ($x$ in Monaten)

1. $1$ Jahr ist $12$ Monate, also $f(12)=30\cdot 0.95^{12/2}=22.053$ g.
2. Finde $x$ mit $30\cdot 0.95^{x/2}=15$, also $0.95^{x/2}=0.5$, also $\frac{x}{2}=\frac{\log(0.5)}{\log(0.95)}=13.513$, also $x=27.026$.
3. Finde $x$ mit $30\cdot 0.95^{x/2}=1$, also $0.95^{x/2}=\frac{1}{30}=0.0\overline{3}$, und somit x=2\cdot \log_{0.95}(0.0\overline{3})}=132.618.

Hier sind die ersten paar Werte:

• Nach einem Jahr ist das Vermögen: $240+10\% \text{ von 240}$, also $240+0.1\cdot 240 =264$
• Nach zwei Jahren ist das Vermögen: $264+10\% \text{ von 264}$, also $264+0.1\cdot 264 =290.4$
• Nach drei Jahren ist das Vermögen: $290.4+10\% \text{ von 290.4}$, also $290.4+0.1\cdot 290.4 =319.44$

Wir sehen also, dass sich das Vermögen nicht linear wächst, da due Zunahme nicht konstant bleibt. Von $240$ zu $265$ ist es $24$, von $265$ zu $290.4$ ist es aber $26.4$. Ist es also exponentielles Wachstum? In der Tat, in jedem Zeitschritt wird das Vermögen mit dem gleichen Faktor $1.1$ multipliziert: $240\cdot 1.1=264$, $264\cdot 1.1 = 290.4$, $294\cdot 1.1= 319.44$.

Die Funktion, welches das Vermögen zur Zeit $x$ beschreibt, ist also