Exponentialfunktion und Logarithmus

Exercise 1: Grundbegriffe

Erkläre:

  1. Was ist eine Exponentialfunktion? Gib ein Beispiel.

  2. Wie sieht der Graph einer Exponentialfunktion aus? Brauche eine Wertetabelle, um den Graph zu skizzieren.

  3. Wie ist der Logarithmus definiert? Was ist die Basis des Logarithmus?

Solution

  1. Eine Funktion wo der Input xx im Exponenten ist. Zum Beispiel

    • f(x)=2xf(x)=2^x
    • g(x)=5⋅10xg(x)=5\cdot 10^x
    • h(x)=2.5⋅5x3h(x)=2.5\cdot 5^\frac{x}{3}

  2. Wir skizzieren den Graph der Funktion f(x)=2xf(x)=2^x. Wertetabelle und Skizze sind unten gezeigt:

  1. Der Logarithmus log⁡10(100)\log_{10}(100) beantwortet die Frage: 1010 hoch was ist 100100, daher 10was=10010^\text{was}=100. Die Antwort ist 22, wir können also schreiben log⁡10(100)=2\log_{10}(100)=2. Die 1010 wir die Basis des Logarithmus genannt.

Wir können auch andere Basen brauchen, zum Beispiel, was ist log⁡2(16)=\log_2(16)=? Wir müssen uns nun also Fragen: 22 hoch was ist 1616, daher 2was=162^\text{was}=16, und die Antwort ist 44, also log⁡2(16)=4\log_2(16)=4.

Exercise 2: Logarithmus bestimmen

  1. Bestimme

    1. log⁡10(1000)\log_{10}(1000)
    2. log⁡10(0.1)\log_{10}(0.1)
    3. log⁡10(10)\log_{10}(\sqrt{10})
    4. log⁡3(3x)\log_3(3^x)

  2. Löse die Gleichung

    3⋅4x=153\cdot 4^x = 15
Solution
    1. log⁡10(1000)=3\log_{10}(1000)=3 da 103=100010^3=1000

  2. log⁡10(0.1)=−1\log_{10}(0.1)=-1, da 10−1=0.110^{-1}=0.1

  3. log⁡10(10)=0.5\log_{10}(\sqrt{10})=0.5, da 101/2=1010^{1/2}=\sqrt{10}

  4. log⁡3(3x)=x\log_3(3^x)=x, da die Frage "3 hoch was ist 3 hoch xx" als Antwort xx hat.

  5. Die wichtigste Eigenschaft zum Lösen dieser Gleichung ist, dass log⁡a(ax)=x\log_a(a^x)=x. Wir haben also

    3⋅4x=15∣:34x=5∣log⁡4(.)log⁡4(4x)=log⁡4(5)x=1.16\begin{array}{rlll} 3\cdot 4^x &=& 15 &\vert :3\\ 4^x&=&5 &\vert \log_4(.)\\ \log_{4}(4^x) &=& \log_{4}(5)\\ x&=&1.16 & \\ \end{array}