Polynome

Exercise 1: hoch

Berechne:

a) $2^3$

b) $(\tfrac{1}{3})^2$

c) $x^5$

Solution

a) $2^3 = 2\cdot 2\cdot 2 = 8$

b) $(\tfrac{1}{3})^2 = \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3} = \tfrac{1}{9}$

c) $x^5 = x\cdot x\cdot x\cdot x\cdot x$

Definition 1: n-te Potenz

Sei $a\in\mathbb{R}$ . Für das Produkt $a \cdot a \cdot \dotsc \cdot a$ aus $n$ gleichen Faktoren $a$ schreibt man kurz $a^n$ und nennt es die $n$ -te Potenz von $a$ . Man sagt, $a$ wird mit $n$ potenziert oder kurz « $a$ hoch $n$ »:

a^n := \underbrace{a \cdot a \cdot \dotsc \cdot a}_{n\text{ Faktoren}} \quad n \in \{2, 3, 4, \dotsc\}

$a$ heisst Basis, $n$ heisst Exponent.

Definition 2: a hoch 1 und a hoch 0

Wir setzen:

a^1 := a \quad\text{ und }\quad a^0 := 1\quad (a\neq0).

Note 1

Einem Anfänger unterlaufen oft zwei typische Denkfehler:

Fehler: Verwechslung von $a^3$ mit $a \cdot 3$ . Man verwechselt Potenzieren mit Multiplizieren:
- Richtig:

a^3 = a \cdot a \cdot a

Falsch:

a^3 \neq a \cdot 3

 - $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ (richtig)
 - $5 \cdot 3 = 15$ (falsch)

2. Fehler: Falsches Kürzen von Potenzen; ein häufiger Irrtum:

a^3 - a^2 \neq a

Das ist falsch! Denn $a^3 - a^2$ lässt sich nicht zu $a$ vereinfachen – falls dies gewünscht ist, rechnet man aus: $7^3 - 7^2 = 343 - 49 = 294 \neq 7$ .

Example 1

Multiplikation:

2^3 \cdot 2^4 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = 2^{3+4} = 2^7

Die Basis bleibt dieselbe, die Exponenten werden addiert.

Division:

\frac{2^5}{2^2} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \not{2} \cdot \not{2}}{\not{2} \cdot \not{2}} = 2^{5-2} = 2^3

Die Basis bleibt dieselbe, die Exponenten werden subtrahiert. Das gilt allgemein – nicht nur für die Basis 2:

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \quad \text{und} \quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}

Theorem 1: Erstes und zweites Potenzgesetz

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \quad \text{für } a \in \mathbb{R}, m,n \in \mathbb{N}

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

a^m : a^n = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \quad \text{für } a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, m,n \in \mathbb{N}, m > n

Proof

Sei $a \in \mathbb{R}$ , $m,n \in \mathbb{N}$ . Dann gilt nach Definition der Potenz:

a^m \cdot a^n = \underbrace{(a \cdot \dotsb \cdot a)}_{m \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{(a \cdot \dotsb \cdot a)}_{n \text{ Faktoren}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \dotsb \cdot a}_{m+n \text{ Faktoren}} = a^{m+n}

Für die Division (mit $a \neq 0$ und $m > n$ ) gilt:

\frac{a^m}{a^n} = \frac{\overbrace{a \cdot \dotsb \cdot a}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{a \cdot \dotsb \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}}

Durch Kürzen von $n$ Faktoren in Zähler und Nenner bleiben im Zähler genau $m-n$ Faktoren übrig:

\frac{a^m}{a^n} = \underbrace{a \cdot \dotsb \cdot a}_{m-n \text{ Faktoren}} = a^{m-n}

Daraus folgt die jeweilige Behauptung.

Example 2

(2^3)^4 = 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 \cdot 2^3 = 2^{3+3+3+3} = 2^{12}

Die Basis bleibt dieselbe, die Exponenten werden multipliziert. Das gilt allgemein – nicht nur für die Basis 2:

(a^3)^4 = a^3 \cdot a^3 \cdot a^3 \cdot a^3 = a^{3+3+3+3} = a^{12}

Allgemein gilt:

Es gibt $n$ Faktoren der Form $a^m$ .
Also:

(a^m)^n = a^{m + m + \dots + m} = a^{m \cdot n}

Theorem 2: Drittes Potenzgesetz

Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten miteinander multipliziert und die Basis beibehält.

(a^m)^n = a^{m \cdot n}, \quad \text{für } m,n \in \mathbb{N}

Proof

Sei $a \in \mathbb{R}$ , $m,n \in \mathbb{N}$ . Dann gilt:

(a^m)^n = \underbrace{a^m \cdot a^m \cdot \dotsb \cdot a^m}_{n\text{ Faktoren }a^m}

Nach der Potenzregel für gleiche Basen gilt:

a^m \cdot a^m \cdot \dotsb \cdot a^m = a^{m + m + \dotsb + m} = a^{m \cdot n}

Denn man addiert den Exponenten $m$ genau $n$ -mal, woraus die Behauptung folgt.

Exercise 2: Vereinfachen und Berechnen

Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich:

a) $5^3 \cdot 5^7$

b) $\frac{10^9}{10^4}$

c) $x^5 \cdot x^2 \cdot x$

d) $(y^4)^3$

e) Berechne: $3^2 \cdot 3^3$

Solution

a) $5^{3+7} = 5^{10}$

b) $10^{9-4} = 10^5$

c) $x^{5+2+1} = x^8$

d) $y^{4 \cdot 3} = y^{12}$

e) $3^{2+3} = 3^5 = 243$

Exercise 3: Quadratzahl

Berechne die Quadrate der Zahlen von 1 bis 20 und lerne sie auswendig.

Solution

$1^2 = 1$ , $2^2 = 4$ , $3^2 = 9$ , $4^2 = 16$ , $5^2 = 25$ , $6^2 = 36$ , $7^2 = 49$ , $8^2 = 64$ , $9^2 = 81$ , $10^2 = 100$ , $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $14^2 = 196$ , $15^2 = 225$ , $16^2 = 256$ , $17^2 = 289$ , $18^2 = 324$ , $19^2 = 361$ , $20^2 = 400$

$21^2 = 441$ , $22^2 = 484$ , $23^2 = 529$ , $24^2 = 576$ , $25^2 = 625$

Exercise 4: Dritte Potenz

Wie lauten die dritten Potenzen der Zahlen von 1 bis 10?

Solution

$1^3 = 1$ , $2^3 = 8$ , $3^3 = 27$ , $4^3 = 64$ , $5^3 = 125$ , $6^3 = 216$ , $7^3 = 343$ , $8^3 = 512$ , $9^3 = 729$ , $10^3 = 1000$

Exercise 5: Zweierpotenzen

Berechne die Potenzen von 2 bis zum Exponenten 10 und lerne sie auswendig.

Solution

$n$	$2^n$
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024

Definition 3: Polynom

Ein Polynom in einer Variablen $x$ ist ein Term, der als Summe von Vielfachen von Potenzen von $x$ mit nicht-negativen ganzen Exponenten $k\in\mathbb{N}_0$ geschrieben werden kann.

Die allgemeine Form eines Polynoms ist:

P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_2x^2 + a_1 x + a_0

Dabei gilt:

Die Zahlen $a_n, a_{n-1}, \dots, a_0$ sind die Koeffizienten des Polynoms; sie sind in der Regel reelle Zahlen.
Das grösste $n$ mit $a_n \neq 0$ heisst der Grad des Polynoms; $a_n$ heisst dann Leitkoeffizient.

Example 3: Beispiele für Polynome in x

$P(x) = 5x^3 - 2x^2 + 7x - 1$ ist ein Polynom 3. Grades.
$Q(x) = x^2 - 4$ ist ein Polynom 2. Grades.
$R(x) = 8$ ist ein Polynom 0. Grades (ein konstantes Polynom).

Terme wie $3x^{-2}$ oder $\sqrt{x}$ sind keine Polynome, da die Exponenten der Variablen keine nicht-negativen ganzen Zahlen sind.

Exercise 6: Binome

Berechne den Wert des Binoms $a - b^2$ für:

a) $a = 9,\ b = 4$

b) $a = 1,\ b = -3$

c) $a = -2,\ b = 5$

d) $a = \frac{4}{5},\ b = -0.5$

Solution

a) $9 - 4^2 = 9 - 16 = -7$

b) $1 - (-3)^2 = 1 - 9 = -8$

c) $-2 - 5^2 = -2 - 25 = -27$

d) $\frac{4}{5} - (-0.5)^2 = \frac{4}{5} - 0.25 = \frac{16}{20} - \frac{5}{20} = \frac{11}{20}$

Exercise 7: Polynomwerte

Berechne die Polynomwerte $P(10)$ , $P(0)$ , $P(-10)$ :

a) $P(k) = 6k^3 + 7k^2 + 8k + 9$

b) $P(z) = z^3 - z^2 - 5z$

Solution

a) $P(10) = 6000 + 700 + 80 + 9 = 6789$ , $P(0) = 9$ , $P(-10) = -6000 + 700 - 80 + 9 = -5371$

b) $P(10) = 1000 - 100 - 50 = 850$ , $P(0) = 0$ , $P(-10) = -1000 - 100 + 50 = -1050$

Exercise 8: Rechne

Fülle die Tabelle aus.

$x$	$5x-6$	$\tfrac{1}{2}x+8$	$-x^3+x^2$	$-x^2-10x-1$
a) 4
b) -4
c) 19
d)		7.5

Solution

$x$	$5x-6$	$\tfrac{1}{2}x+8$	$-x^3+x^2$	$-x^2-10x-1$
a) 4	14	10	-48	-57
b) -4	-26	6	80	23
c) 19	89	17.5	-6498	-552
d) -1	-11	7.5	2	8

Exercise 9: Rechne nochmals

Fülle die Tabelle aus.

$y$	$3y+1$	$6y+2$	$9y+3$	$-3y-1$	$-6y-2$
a) 3
b)		14
c) -7
d) 1.5

Solution

$y$	$3y+1$	$6y+2$	$9y+3$	$-3y-1$	$-6y-2$
a) 3	10	20	30	-10	-20
b) 2	7	14	21	-7	-14
c) -7	-20	-40	-60	20	40
d) 1.5	5.5	11	16.5	-5.5	-11

Exercise 10: Polynome addieren

Addiere die Polynome.

a) $(4m - 17) + (11m - 6)$

b) $x^2 - 3x - 2 + (-x^2 + x + 2)$

Solution

a) $15m - 23$

b) $-2x$

Exercise 11: Polynome addieren II

Addiere:

a) $136a - 75b + 19a + 28b$

b) $-7r^2 - 6r + 8r^2 - 5r$

c) $-3x^2y + 7xy^2 + 8x^2y - 2xy^2$

d) $-\frac{5}{3}x^2y + \frac{5}{2} xy^2$

Solution

a) $155a - 47b$

b) $r^2 - 11r$

c) $5x^2y + 5xy^2$

d) $-\frac{5}{3} x^2y + \frac{5}{2} xy^2$

Exercise 12: Polynome subtrahieren

Subtrahiere das untere Polynom vom oberen.

a) $3a - 5b$

$9a + 7b$

b) $-2c - d$

$6c - d$

c) $-8z + 7$

$-8z - 12$

d) $x^2 + \tfrac{3}{5} y^2$

$-x^2 + \tfrac{13}{15} y^2$

Solution

a) $-6a - 12b$

b) $-8c$

c) $19$

d) $2x^2 - \frac{4}{15} y^2$

Exercise 13: Vereinfache

Vereinfache:

a) $2w - (5w + 10) - 4w - (8w - 7) - 1 + (8w - 9w)$

b) $u - (2b + 3c + 4) + (-5a + 6b - 7) - (8c - 9d) + 9b - 10c - 11$

Solution

a) $-16w - 4$

b) $-5a + 13b - 21c + 9d + u - 22$

Exercise 14: Multipliziere

Multipliziere:

a) $3(2a + 5b)$

b) $(-2)(9c - d)$

c) $(-n)(-n + 8)$

d) $(-x - 2y)(-3)$

e) $(4z - 1)(2z^2)$

f) $(6s - 5t)(-0.5u)$

Solution

a) $6a + 15b$

b) $-18c + 2d$

c) $n^2 - 8n$

d) $3x + 6y$

e) $8z^3 - 2z^2$

f) $-3su + 2.5tu$

Exercise 15: Zusammenfassen

Fasse die folgenden Terme zusammen:

a) $(11m - 17) + (11m - 6)$

b) $5n^2 + 8n + (n^3 - 5n^2)$

c) $-2r - 2r + r^2 + r^2$

d) $(2ef + e - 5f) - 9e - 6f + 3$

Solution

a) $11m - 17 + 11m - 6 = 22m - 23$

b) $n^3 + (5n^2 - 5n^2) + 8n = n^3 + 8n$

c) $-4r + 2r^2$

d) $2ef + e - 5f - 9e - 6f + 3 = 2ef - 8e - 11f + 3$

Exercise 16: Minus

Vereinfache die Terme:

a) $a - (b + c + d)$

b) $4r - 5y + 6z - (3r + 2y - 18z)$

c) $12 + 8r - (r^2 + 2r - 4)$

d) $2a^3 - 3a^2b - (a^3 + ab^2 + ab)$

Solution

a) $a - b - c - d$

b) $4r - 5y + 6z - 3r - 2y + 18z = r - 7y + 24z$

c) $12 + 8r - r^2 - 2r + 4 = -r^2 + 6r + 16$

d) $2a^3 - 3a^2b - a^3 - ab^2 - ab = a^3 - 3a^2b - ab^2 - ab$

Exercise 17: Vereinfache

Vereinfache die folgenden Ausdrücke:

a) $a - (b - c)$

b) $a - (-b + c)$

c) $a - (-b - c)$

d) $8m - 9m$

e) $10 - (-n - 3r)$

f) $nf - 2n^2 + 5t$

Solution

a) $a - b + c$

b) $a + b - c$

c) $a + b + c$

d) $-m$

e) $10 + n + 3r$

f) $nf - 2n^2 + 5t$

Exercise 18: Erstes Binom

Multipliziere aus:

a) $(2x + 3)^2$

b) $(4c + 5d)^2$

c) $(r^2 + 17)^2$

Solution

a) $4x^2 + 12x + 9$

b) $16c^2 + 40cd + 25d^2$

c) $r^4 + 34r^2 + 289$

Exercise 19: Erstes Binom II

Multipliziere aus:

a) $(a + 11)^2$

b) $(3m^2 + 0.4)^2$

c) $(5b + 23)^2$

Solution

a) $a^2 + 22a + 121$

b) $9m^4 + 2.4m^2 + 0.16$

c) $25b^2 + 230b + 529$

Exercise 20: Multiplizieren

Multipliziere:

a) $(4 + 2b)(3a - b)$

b) $(4z - y)(5x + 2y)$

c) $(-c + d)(-c + 12d)$

Solution

a) $12a - 4b + 6ab - 2b^2$

b) $20xz + 8yz - 5xy - 2y^2$

c) $c^2 - 13cd + 12d^2$

Exercise 21: Multiplizieren II

Multipliziere:

a) $(4x^2 - 5x + 6)(3x - 1)$

b) $(a + 1)(a^2 - a - 1)$

c) $(y - 1)(4y^2 + 3y - 1)$

Solution

a) $12x^3 - 19x^2 + 23x - 6$

b) $a^3 - 2a - 1$

c) $4y^3 - y^2 - 4y + 1$

Exercise 22: Multiplizieren III

Multipliziere:

a) $2(a + b)(c - d)$

b) $-4(p - 2)(-p + 8)$

c) $5(2x - 1)(3x + 1)$

d) $(y + 3)(y - 6)(-y)$

Solution

a) $2ac - 2ad + 2bc - 2bd$

b) $4p^2 - 40p + 64$

c) $30x^2 - 5x - 5$

d) $-y^3 + 3y^2 + 18y$

Exercise 23: Kürzen

Kürze und vereinfache:

a) $-2a^3b^3 : (-2ab)$

b) $119u^4z : (-7u^2z)$

c) $-28a^3yz^4 : 16az$

Solution

a) $a^2b^2$

b) $-17u^2$

c) $-\frac{7}{4} a^2 y z^3$

Exercise 24: Kürzen II

Kürze und vereinfache:

a) $(8a - 8b) : 8$

b) $(uv + vw) : v$

c) $(15z^2 + 5z) : (5z)$

d) $(-\tfrac{5}{3} r) : (r)$

Solution

a) $a - b$

b) $u + w$

c) $3z + 1$

d) $-\frac{5}{3}$

Exercise 25: Ausmultiplizieren

Multipliziere aus:

a) $(a + b)(4a + 4b)$

b) $(2n - 2)(3n - 3)$

c) $(1.5u - 1.5v)(6u + 6v)$

Solution

a) $4a^2 + 8ab + 4b^2$

b) $6n^2 - 12n + 6$

c) $9u^2 - 9v^2$

Exercise 26: Ausmultiplizieren III

Multipliziere aus:

a) $(5p - 1)(3p - 2)$

b) $(x + 1)(y - z)$

c) $(a + b)(x - 5y - 7)$

d) $(3p^2 + 2p - 7)(u - v)$

Solution

a) $15p^2 - 13p + 2$

b) $xy - xz + y - z$

c) $ax + bx - 5ay - 5by - 7a - 7b$

d) $3p^2u + 2pu - 7u - 3p^2v - 2pv + 7v$

Exercise 27: Ausmultiplizieren IV

Multipliziere aus:

a) $4(p + q)(v - 2w)$

b) $t(t - 1)(2t + 9)$

c) $a^2(a + 1)(2ab - c)$

d) $15(3e - 2)(2q - 1)$

Solution

a) $4pv - 8pw + 4qv - 8qw$

b) $2t^3 + 7t^2 - 9t$

c) $2a^4b - a^3c + 2a^3b - a^2c$

d) $90eq - 45e - 60q + 30$

Polynome

Potenzen

Potenzen mit gleicher Basis multiplizieren bzw. dividieren

Potenzieren einer Potenz

Zu Polynomen