Terme

Historisches zum «Buchstabenrechnen»

Das Bild «Typus Arithmeticae» stammt aus Gregor Reischs Margarita Philosophica (1503). Es zeigt die Personifikation der Arithmetik als Dame, die in der Mitte thront.

Links: Boethius, der mit arabischen Ziffern schreibt («Rechnen auf der Feder»).
Rechts: Pythagoras, der mit einem Abakus arbeitet («Rechnen auf der Linie»).

Die Dame Arithmetica hält in jeder Hand ein aufgeschlagenes Buch – vermutlich eines mit arabischen Ziffern (Boethius) und eines mit dem Namen «Pythagoras». Auf ihrem Gewand findet sich ein sogenanntes Labdoma-Symbol, abgeleitet von Platons Lehre über die sieben Zahlen der Weltseele ( $\Lambda$ , Harmonie der Sphären). Arithmetica blickt wohlwollend auf Boethius – die neuere Methode mit arabischen Zahlen galt als überlegen – und nur am Rande zu Pythagoras.

Typus Arithmeticae stammt aus der Margarita Philosophica, einem umfassenden Lehrbuch der Renaissance, das 1503 von Gregor Reisch veröffentlicht wurde. Die Darstellung gehört zu den Quadrivium-Fächern (Arithmetik, Geometrie, Musik, Astronomie), personifiziert als klassische Allegorie. Das Bild illustriert den Übergang von traditionellen Rechenmethoden zu moderner, schriftbasierter Mathematik – ein Sinnbild für den Erkenntnisfortschritt der Renaissance.

Variablen

Im bisherigen Mathematikunterricht wurden schon oft sogenannte Platzhalter verwendet. Statt des umgangssprachlichen Wortes «Platzhalter» verwendet man in der mathematischen Fachsprache den Begriff «Variable». Wir merken uns:

Definition 1: Variable

Ein Zeichen, das man als Platzhalter für Zahlen verwendet, nennt man Variable.

Als Variablen werden in der Regel Buchstaben benutzt. Diese Buchstaben selbst sind natürlich keine Zahlen. Wenn wir trotzdem von einer «Zahl $x$ » sprechen, so ist das ein kurzer Ausdruck für «die Zahl, die wir uns für die Variable $x$ eingesetzt denken». Ebenso ist die «Summe aus den Zahlen $a$ und $b$ » eine Kurzform für «die Summe aus den für $a$ und $b$ eingesetzten Zahlen». Aufgrund dieser Vereinbarung kann man also mit Buchstaben wie mit Zahlen rechnen.

Note 1

Rechenausdrücke, in denen Variablen vorkommen, erhalten erst dann die Bedeutung von Zahlen, wenn man alle Variablen durch Zahlen ersetzt. Dabei ist es wichtig zu wissen, welche Zahlen für eine bestimmte Variable eingesetzt werden dürfen. Man nennt die Gesamtheit dieser Zahlen die Grundmenge für diese Variable. Innerhalb desselben Rechenausdrucks bzw. derselben Gleichung oder Ungleichung müssen beim Einsetzen gleiche Variablen durch gleiche Zahlen ersetzt werden.

Exercise 1: Würfelvolumen

Gib die Formel für den Rauminhalt $V$ eines Würfels mit der Kantenlänge $k$ an.

Solution

$V=k^3$

Exercise 2: Quader

a) Nach welcher Formel wird die Oberfläche $S$ eines Quaders mit den Kantenlängen $h$ , $b$ , $t$ berechnet? Zeichne einen Quader.

b) Berechne $S$ für die Quader mit den Kanten: i) $\qty{2}{cm}$ , $\qty{3}{cm}$ , $\qty{5}{cm}$ ii) $\qty{4}{dm}$ , $\qty{6}{dm}$ , $\qty{10}{dm}$ iii) $\qty{2.5}{dm}$ , $\qty{1.25}{cm}$ und $\qty{4}{m}$

Solution

a) $S=2\cdot(hb+bt+ht)$

i) $a=\qty{2}{cm}$ , $b=\qty{3}{cm}$ , $c=\qty{5}{cm}$ , $S_1=\qty{62}{cm^2}$

ii) $a=\qty{4}{dm}$ , $b=\qty{6}{dm}$ , $c=\qty{10}{dm}$ , $S_2=\qty{248}{dm^2}$

iii) $a=\qty{2.5}{dm}$ , $b=\qty{1.25}{cm}$ , $c=\qty{4}{m}$ , $S_3=\qty{21062.5}{cm^2}$

Exercise 3: Pyramide

Berechne das Volumen einer $h$ hohen, geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche der Seitenlänge $k$ .

Solution

$V=\frac{1}{3}k^2h$

Exercise 4: Relationen

Stelle die folgenden Aussagen als Formel dar:

a) Die Zahl $x$ ist 9-mal so gross wie die Zahl $a$ .

b) Die Zahl $y$ ist um $15$ grösser als die Zahl $u$ .

c) Die Zahl $z$ ist um $12.3$ kleiner als die Zahl $v$ .

d) Die Zahl $s$ ist ebenso gross wie die Summe der Zahlen $u$ und $v$ .

e) Die Zahl $d$ ist gleich der Differenz der Zahlen $a$ und $v$ .

f) Man erhält die Zahl $x$ , indem man vom Produkt der Zahlen $p$ und $q$ die kleinste zweistellige Zahl abzieht.

g) Das Fünffache der Summe aus $a$ und $b$ ergibt die Zahl $c$ .

h) Die Hälfte der Zahl $u$ ist um $3$ grösser als das Dreifache der Zahl $v$ .

Solution

a) $x=9\cdot a$

b) $y=u+15$

c) $z=v-12.3$

d) $s=u+v$

e) $d=a-v$

f) $x=p\cdot q-10$

g) $c=5\cdot(a+b)$

h) $\dfrac{u}{2}=3\cdot v+3$

Exercise 5: In Worten

Formuliere in Worten:

a) $x+12=2y$

b) $5\cdot a=\frac{b}{3}$

c) $z=u\cdot v-1$

d) $(p+q)\cdot(p-q)=1$

Solution

a) Wenn man zu $x$ die Zahl $12$ addiert, erhält man das Doppelte von $y$ . (Oder: $x$ ist um $12$ kleiner als das Doppelte von $y$ .)

b) Das Fünffache von $a$ ist gleich dem Drittel von $b$ .

c) $z$ ist um $1$ kleiner als das Produkt von $u$ und $v$ .

d) Das Produkt aus der Summe und der Differenz der Zahlen $p$ und $q$ hat den Wert $1$ .

Exercise 6: Würfeloberfläche

a) Wie kann man allgemein aus der Kantenlänge $k$ eines Würfels seine Oberfläche $S$ berechnen? Fertige eine Skizze an.

b) Was ergibt sich, wenn man für $k$ die Werte $\qty{1}{cm}$ , $\qty{2}{cm}$ , $\qty{4}{cm}$ bzw. $\qty{8}{cm}$ in diese Oberflächenformel einsetzt? Wie ändert sich demnach $S$ beim Verdoppeln der Kantenlänge?

Solution

a) $S=6k^2$

i) $k=\qty{1}{cm}$ : $S=\qty{6}{cm^2}$

ii) $k=\qty{2}{cm}$ : $S=\qty{24}{cm^2}$

iii) $k=\qty{4}{cm}$ : $S=\qty{96}{cm^2}$

iv) $k=\qty{8}{cm}$ : $S=\qty{384}{cm^2}$

Zur doppelten Kantenlänge gehört die vierfache Oberfläche; denn $\tilde{S} = 6\cdot (2k)^2 = 6\cdot 4\cdot k^2 = 4\cdot 6k^2 = 4\cdot S$ .

Exercise 7: Folgen

a) Welche Werte nimmt $z=2\cdot n-1$ an, wenn man für $n$ nacheinander die natürlichen Zahlen einsetzt?

b) Welche Grundmenge muss man für die Variable $n$ wählen, damit man aus $z=2\cdot n-7$ alle ungeraden Zahlen erhält?

Solution

a) $z=1,3,5,\dots$ — also alle ungeraden Zahlen.

b) $n\in\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$

Exercise 8: Gemeinsame Teiler

Setze in $x=5-d$ für $d$ der Reihe nach die geraden Zahlen $2,4,6,\dots$ ein. Welche gemeinsamen Teiler haben alle so erhaltenen Zahlen $x$ ?

Solution

$x=3,1,-1,\dots$ . Alle Ergebnisse sind ungerade Zahlen mit $1$ als einzigem gemeinsamen Teiler.

Exercise 9: Dreistellige Zahl mit 5

Gib den Wert derjenigen dreistelligen Zahl $y$ an, deren erste Stelle $n$ ist, während an zweiter Stelle $5$ und an dritter Stelle $m$ steht. Welche Ziffern kommen für $n$ bzw. für $m$ infrage?

Solution

$y=100\cdot n+50+m$

$n\in\{1,2,\dots,9\}$

$m\in\{0,1,\dots,9\}$

Exercise 10: Wahr oder falsch?

Entscheide, ob die Aussagen wahr oder nicht wahr sind:

a) $\frac{1}{2}\in\Q$

b) $0.5\notin\Q$

c) $1\in\Q$

d) $\N\in\Q$

e) $\N\cap\Q=\emptyset$

f) $\N\cup\Q=\N$

Solution

a) $\frac{1}{2}$ ist eine Bruchzahl, wahr.

b) $0.5$ ist keine Bruchzahl, falsch (denn $0.5=\frac{1}{2}$ ).

c) $1$ ist eine Bruchzahl, wahr.

d) Die Menge der natürlichen Zahlen ist ein Element der Menge der rationalen Zahlen, falsch; Teilmenge wäre z. B. richtig.

e) Der Schnitt von $\N$ und $\Q$ ist nicht leer, sondern gleich $\N$ . (z. B. $1\in\N\cap\Q$ ), also falsch.

f) Die Vereinigung $\N\cup\Q=\Q$ (nicht $\N$ ), falsch.

Terme

Die Verwendung der Bezeichnung Term wird durch folgende Definition geregelt:

Definition 2: Term

Jede Zahl ist ein Term.
Jede Variable ist ein Term.
Summe, Differenz, Produkt und Quotient zweier Terme sind ebenfalls wieder Terme.

Teil 3 der Definition besagt (zusammen mit 1 und 2), dass jeder mithilfe der vier Grundrechenarten aus Zahlen und Variablen gebildete Rechenausdruck ein Term ist.

Für die Schreibweisen mehrfach zusammengesetzter Terme gelten die bekannten Vereinbarungen.

Note 2: Operatoren-Hierarchie

Klammern haben absoluten Vorrang.
Punkt geht vor Strich.
Der Bruchstrich ersetzt Klammern um Zähler und Nenner.

Example 1

$(42-2)\cdot3=40\cdot3=120$
$42-2\cdot3=42-6=36$
$\dfrac{a-3}{b+5}=(a-3):(b+5)$

Note 3

Bei einem Produkt darf vor einer Variablen oder vor einer Klammer der Malpunkt weggelassen werden.

Bei gemischten Zahlen werden ein Pluszeichen und Klammern weggelassen. So bedeutet $5\frac{1}{2}\cdot3$ ausführlich $(5+\frac{1}{2})\cdot3$ . Wir vermeiden grundsätzlich diese sogenannte «Krämerschreibweise».

Exercise 11: T_1 und T_2

Gegeben sind die Terme $T_1 = x+2$ und $T_2 = 3-y$ . Notiere die folgenden Terme und überlege bei Produkten, ob der Malpunkt geschrieben werden muss:

a) $T_1+T_2$

b) $T_2-T_1$

c) $T_1\cdot T_2$

d) $-T_2$

e) $2\cdot T_1$

f) $\dfrac{1}{T_1}$

g) $2-T_1\cdot T_2$

h) $T_1:(T_2:T_1)$

i) $T_1:T_2:T_1$

j) $T_2:(T_1:T_2)$

k) $T_1-(T_2-T_1)$

l) $\dfrac{1}{T_1}+\dfrac{1}{T_2}$

Solution

a) $(x+2)+(3-y) = x+2+3-y = 5+x-y$

b) $(3-y)-(x+2) = 3-y-x-2 = 1-x-y$

c) $(x+2)(3-y)$

d) $-(3-y) = -3 + y$

e) $2(x+2)$

f) $\dfrac{1}{x+2}$

g) $2-(x+2)(3-y)$

h) $(x+2):\bigl((3-y):(x+2)\bigr)$

i) $(x+2):(3-y):(x+2)$

j) $(3-y):\bigl((x+2):(3-y)\bigr)$

k) $(x+2)-\bigl((3-y)-(x+2)\bigr)$

l) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{1}{3-y}$

Exercise 12: Minimalismus bei Klammern

Vereinfache die Schreibweise der folgenden Terme, indem du unnötige Klammern und Malpunkte vermeidest.

a) $2+(a\cdot b)$

b) $2:(a-b)$

c) $2\cdot(a\cdot b)$

d) $7\cdot5\cdot(x+3)$

e) $7\cdot x\cdot(x+3)$

f) $(x-2)(x+3)\cdot7$

g) $(10-x\cdot5)$

h) $3y:(1\frac{1}{2})$

i) $5y-(6)=1$

j) $\dfrac{ac}{b+a}:\dfrac{2c}{1}$

k) $\dfrac{u}{(5:v)+1}$

l) $\dfrac{u}{5:0+1}$

Solution

a) $2+ab$

b) $2:(a-b)$

c) $2ab$

d) $35(x+3)$

e) $7x(x+3)$

f) $7(x-2)(x+3)$

g) $10-5x$

h) $\dfrac{3y}{1.5}$

i) $5y-6=1$

j) $\dfrac{ac}{b+a}:\dfrac{2c}{1}$

k) $u:\left(\dfrac{5}{v}+1\right)$

l) $u:(5:0+1)$

Exercise 13: 🧩

Berechne und vergleiche:

a) $100:50\cdot10-5$

b) $100:(50-10)\cdot5$

c) $100:(50-10\cdot5)$

Solution

a) $100:50\cdot10-5=2\cdot10-5=20-5=15$

b) $100:(50-10)\cdot5=100:40\cdot5=2.5\cdot5=12.5$

c) $100:(50-10\cdot5)=100:(50-50)=100:0$ , also nicht definiert

Exercise 14: 🧩

Notiere die folgenden Terme:

a) Die Summe aus der Variablen $z$ und dem Produkt von $7$ und $y$ .

b) Die Differenz mit dem Produkt $uv$ als Minuend und $u+v$ als Subtrahend.

c) Der Bruch mit Zähler $\frac{3}{4}$ und Nenner: Summe aus $5p$ und dem dritten Teil von $q$ .

d) Das Produkt aus $(15-z)$ und dem Quotienten $z:5$ .

e) Der Quotient aus $xy$ und $(x+y)$ .

f) Der Quotient mit Dividend $b$ und Divisor: $7(12-3a)+1$ .

Solution

a) $z+7y$

b) $uv-(u+v)$

c) $\dfrac{3/4}{\,5p+\dfrac{q}{3}\,}$

d) $(15-z)\cdot\dfrac{z}{5}$

e) $\dfrac{xy}{x+y}$

f) $\dfrac{b}{7(12-3a)+1}$

Die Einsetzungen in die Variable eines Terms werden stets aus einer Grundmenge $\mathbb{G}$ genommen, welche grundsätzlich eine Teilmenge von $\R$ ist.

Definition 3: Zahlenterm

Jeder Term, der eine Zahl aus $\R$ darstellt, heisst Zahlenterm.

Dabei interessiert man sich besonders für diejenigen Einsetzungen, die auf einen Zahlenterm führen.

Definition 4: Definitionsmenge

Gegeben sei ein Term $T(x)$ und eine Grundmenge $\mathbb{G}$ . Die Menge $\mathbb{D}$ aller Zahlen $a\in\mathbb{G}$ , für die $T(a)$ ein Zahlenterm ist, heisst Definitionsmenge von $T(x)$ bezüglich der Grundmenge $\mathbb{G}$ . Kürzer:

\mathbb{D}=\{\,a\in \mathbb{G}\mid T(a)\ \text{ist Zahlenterm}\,\}.

Note 4

Wir sprechen die Notation

T(x)

als « $T$ von $x$ » aus; sie verdeutlicht, dass der Term $T$ von der Variablen $x$ abhängt.

Wir schreiben beispielsweise für den Term

T(x) = \frac{3x-2}{4-x^2},

in den wir für die Variable $x$ den Wert $5$ einsetzen:

T(5) = \frac{3\cdot 5-2}{4-5^2} = \frac{15-2}{4-25} = \frac{13}{-21} = -\frac{13}{21}

und sagen « $T$ von $5$ ist gleich minus $13$ Einundzwanzigstel».

Exercise 15: Zahlenterm

Gegeben ist der Term

T(x)=\dfrac{2x-5}{16-2x}.

Setze für die Variable $x$ die angegebenen Zahlen ein und entscheide jeweils, ob ein Zahlenterm entsteht. Gib dann die Zahl in möglichst einfacher Form an.

a) $5$

b) $3$

c) $1.5$

d) $64$

e) $8$

f) $7.99$

g) $100$

Solution

a) $\dfrac{5}{6}$

b) $\dfrac{1}{10}$

c) $-\dfrac{2}{13}$

d) $-\dfrac{123}{112}$

e) nicht definiert

f) $549$

g) $-\dfrac{195}{184}$

Termumformungen

Terme – also auch Variablen – stehen für reelle Zahlen. Beim Rechnen mit Termen denken wir uns jede Variable durch eine geeignete Zahl ersetzt. Dadurch wird der Term selbst zu einer reellen Zahl, und es kann mit ihm wie mit einer reellen Zahl gerechnet werden.

Also gelten die Rechengesetze für reelle Zahlen auch für das Rechnen mit Termen. Mithilfe der Rechengesetze kann man Terme in andere Terme umwandeln – vor allem will man natürlich komplizierte Terme vereinfachen. Wir zeigen dieses Umformen von Termen mittels der Rechengesetze an einigen Beispielen.

Note 5: Rechengesetze der Addition

Kommutativgesetz: $a+b=b+a$

Beispiele: $2x+3=3+2x$ ; $1-x=-x+1$
Assoziativgesetz: $(a+b)+c=a+(b+c)=a+b+c$

Beispiel: $(3x+1)+12=3x+(1+12)=3x+13$
$0$ als neutrales Element: $a+0=0+a=a$

Beispiel: $3x+0=3x$
Inverse Elemente: $a+(-a)=a-a=0$

Beispiele: $3.7x-3.7x=0$ ; $(3x+5y+8)-(3x+5y+8)=0$

Note 6: Rechengesetze der Multiplikation

Kommutativgesetz: $a\cdot b=b\cdot a$

Beispiele: $x\cdot3=3\cdot x=3x$ ; $(-3)\cdot x=x\cdot(-3)=-3x$
Assoziativgesetz: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)=a\cdot b\cdot c$

Beispiele: $2\cdot(4\cdot x)=(2\cdot4)\cdot x=8x$ ; $(-3)\cdot((-2.1)\cdot x)=6.3x$
$1$ als neutrales Element: $1\cdot a=a\cdot1=a$

Beispiele: $1\cdot x=x$ ; $x=x\cdot1$
Inverse Elemente (für $a\ne0$ ): $a\cdot\dfrac{1}{a}=1$

Beispiele: $3x\cdot\dfrac{1}{3x}=1$ ; $(2.7x)\cdot\dfrac{1}{2.7x}=1$

Note 7: Distributivgesetz

Ausmultiplizieren: $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

Beispiele: $3\cdot(x+2)=3x+6$ ; $(-1)\cdot(x-7)=-x+7$
Ausklammern: $a\cdot b+a\cdot c=a\cdot(b+c)$

Beispiele: $2x+2y=2(x+y)$ ; $2x+3x=(2+3)x=5x$ ; $2x+x=(2+1)x=3x$

Exercise 16: Ausmultiplizieren

Multipliziere aus und vereinfache, wenn möglich:

a) $3(0.9x-0.3)$

b) $7(r+s)$

c) $(p-q)\cdot3$

d) $a(a-b)$

e) $(0.5c+3d)\cdot6$

f) $3\cdot2(a+3b)$

g) $x(3x-5y)$

h) $-5a(a-8)$

i) $(8x+2xz)\cdot y$

j) $3-(-2u-5v)$

k) $-8\cdot2(-1r+3z)$

l) $-2x(-9x-4.5x)$

Solution

a) $2.7x-0.9$

b) $7r+7s$

c) $3p-3q$

d) $a^2-ab$

e) $3c+18d$

f) $6a+18b$

g) $3x^2-5xy$

h) $-5a^2+40a$

i) $8xy+2xyz$

j) $3+2u+5v$

k) $16r-48z$

l) $18x^2+9x^2=27x^2$

Exercise 17: Zusammenfassen

Fasse gleichartige Terme zusammen:

a) $3x-4x$

b) $7.2x-x$

c) $a+2a-3a$

d) $0.1b-0.01b$

e) $3s+2s$

f) $13a-10a$

g) $b\cdot y+\dfrac{3}{8}b\cdot y$

h) $10.5rs-11.5rs$

i) $3.7uv-uv$

j) $1985abc-1648abe$

k) $0.003rst-0.3rst$

l) $-59x^3-45x^3y$

Solution

a) $-x$

b) $6.2x$

c) $0$

d) $0.09b$

e) $5s$

f) $3a$

g) $\dfrac{11}{8}by$

h) $-rs$

i) $2.7uv$

j) Term kann nicht vereinfacht werden (unterschiedliche Variablen)

k) $-0.297rst$

l) $-59x^3-45x^3y$